2017年四川省凉山州高考数学二诊试卷（文科）含答案解析

2017 年四川省凉山州高考数学二诊试卷（文科） 一、选择题 1在复平面内，复数 z= （ i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2设集合 A=x R|x 1 0， B=x R|x 0， C=x R|x（ x 1） 0，则“x A B“是 “x C“的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3在等比数列 ，首项 ，若数列 前 n 项之积为 024，则该数列的公比的 值为（ ） A 2 B 2 C 2 D 3 4设函数 f（ x） =2x+ ），要得到 g（ x） =2x+ ）的图象，可将f（ x）的图象（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 5下列选项中，说法正确的是（ ） A命题 “ R， 0”的否定为 “ x R， x 0” B若非零向量 、 满足 | + |=| |+| |，则 与 共线 C命题 “在 ， A 30，则 ”的逆否命题为真命题 D设 公比为 q 的等比数列，则 “q 1”是 “递增数列 ”的充分必要条件 6已知实数 x， y 满足 ，则 z=x+2y 的最小值为（ ） A B 4 C 6 D 5 7执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 6，则判断框内 m 的取值范围是（ ） A（ 30， 42 B（ 20， 30） C（ 20， 30 D（ 20， 42） 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 9设 M， N 是直线 x+y 2=0 上的两点，若 M（ 1， 1），且 | ，则 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10三国魏人刘徽，自撰海岛算经，专论测高望远其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前後相去千步，令後表与前表相直从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合从後表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合问岛高几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰 A 的高度 两根高三丈的标杆 后两杆相距 000 步，使后标杆杆脚 D 与前标杆杆脚 B 与山峰脚 H 在同一直线上，从前标杆杆脚 B 退行 123步到 F，人眼著地观测到岛峰， A、 C、 F 三点共线，从后标杆杆脚 D 退行 127步到 G，人眼著地观测到岛峰， A、 E、 G 三点也共线，则山峰的高度 ） 步（古制： 1 步 =6 尺， 1 里 =180 丈 =1800 尺 =300 步） A 1250 B 1255 C 1230 D 1200 11设函数 f（ x） = 4x+15，数列 足 an=f（ n）， n N+，数列 前 n 项和 大时， n=（ ） A 14 B 15 C 14 或 15 D 15 或 16 12已知函数 f（ x） = ， g（ x） =2x，则函数 fg（ x） 的所有零点之和是（ ） A 2 B 2 C 1+ D 0 二、填空题 13已知等差数列 足： ， a1+4，则数列 通项公式为 14已知单位圆内有一封闭图形，现向单位圆内随机撒 N 颗黄豆，恰有 n 颗落在该封闭图形内，则该封闭图形的面积估计值为 15设抛物线 x 的焦点为 F，过 F 且倾斜角为 的直线交抛物线于 A、 B 两点，则 | 16在 ， a， b， c 是角 A， B， C 所对应边，且 a， b， c 成等比数列，则 + ）的取值范围是 三、解答题 17（ 12 分）海关对同时从 A， B， C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测 地区 A B C 数量 100 50 150 （ 1）求这 6 件样品中来自 A， B， C 各地区商品的数量； （ 2）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率 18（ 12 分）在 ，角 A， B， C 所对边分别是 a， b， c，若 A B）= （ 1）求证： A=B； （ 2）若 A= ， a= ，求 面积 19（ 12 分）如图，三棱锥 P ，平面 平面 ，点 D、 E 在线段 ，且 E=， C=2，点 F 在线段 ，且 （ 1）证明： 平面 （ 2）若 ，求四棱锥 P 体积 20（ 12 分）已知函数 f（ x） =2ax+a（ a R） （ 1）若曲线 y=f（ x）在点 P（ 1， f（ 1）处的切线与直线 2x+y 1=0 垂直，求a 的值； （ 2）讨论 f（ x）的 单调性 21（ 12 分）设椭圆 E： + =1（ a b 0）的左、右焦点 离心率 e= ，且点 直线 + =1 的距离为 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）设点 P（ 椭圆 E 上的一点（ 1），过点 P 作圆（ x+1） 2+的两条切线，切线与 y 轴交于 A、 B 两点，求 |取值范围 请考生在 22、 23 两题选一题作答 选修 4标系与参数方程 22（ 10 分）在直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），在以 O 为极点 x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 =2 （ 1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）若点 Q 是曲线 C 上的动点，求点 Q 到直线 l 的距离的最大值 选修 4等式选讲 23设函数 f（ x） =|2x+2| |x 2| （ ）求不等式 f（ x） 2 的解集； （ ）若 x R， f（ x） t 恒成立，求实数 t 的取值范围 2017 年四川省凉山州高考数学二诊试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1在复平面内，复数 z= （ i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第 三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、几何意义即可得出 【解答】 解：复数 z= = =i+1 对应的点（ 1， 1）位于第一象限 故选： A 【点评】 本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2设集合 A=x R|x 1 0， B=x R|x 0， C=x R|x（ x 1） 0，则“x A B“是 “x C“的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充 分条件与充要条件的判断 【分析】 利用不等式的解法化简集合 A， B， C，再利用集合的运算性质、简易逻辑的判定方法即可得出 【解答】 解：集合 A=x R|x 1 0=x|x 1， B=x R|x 0， C=x R|x（ x 1） 0=x|x 1，或 x 0， A B=x|x 0，或 x 1 则 “x A B“是 “x C“的充要条件 故选： C 【点评】 本题考查了不等式的解法、集合的运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3在等比数列 ，首项 ，若 数列 前 n 项之积为 024，则该数列的公比的值为（ ） A 2 B 2 C 2 D 3 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， 首项 ， 024， 15 +3+4=1024，即 10，解得 q= 2 故选： C 【点评】 本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 4设函数 f（ x） =2x+ ），要得到 g（ x） =2x+ ）的图象， 可将f（ x）的图象（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件根据诱导公式，函数 y=x+）的图象变换规律，可得结论 【解答】 解： f（ x） =2x+ ） =（ x+ ） ， g（ x） =2x+ ）=（ x+ ） =（ x+ + ） ， 将函数 g（ x） =2x+ ）的图象向左平移 个单位长度，可得有 y=（ x+ ） + =2x+ ）的图象 故选： A 【点评】 本题主要考查诱导公式，函数 y=x+）的图象变换规律，属于基础题 5下列选项中，说法正确的是（ ） A命题 “ R， 0”的否定为 “ x R， x 0” B若非零向量 、 满足 | + |=| |+| |，则 与 共线 C命题 “在 ， A 30，则 ”的逆否命题为真命题 D设 公比为 q 的等比数列，则 “q 1”是 “递增数列 ”的充分必要条件 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 由特称命 题的否定为全称命题，即可判断 A；由向量共线的条件，即可判断 B；由 A=150，可得 ，再结合原命题与逆否命题等价，即可判断 C；由 0， 0 q 1，即可判断 D 【解答】 解：对于 A，由特称命题的否定为全称命题，可得命题 “ R， 0” 的否定为 “ x R， x 0”，故 A 错； 对于 B，若非零向量 、 满足 | + |=| |+| |，则 ， 同向，则 与 共线，故B 正确 对于 C，命题 “在 ， A 30，则 ”为假命题，比如 A=150，则 再由原 命题与其逆否命题等价，则其逆否命题为假命题，故 C 错； 对于 D，设 公比为 q 的等比数列，则 “q 1”推不出 “递增数列 ”，比如 0，不为增函数； 反之，可得 0 q 1故不为充分必要条件，故 D 错 故选： B 【点评】 本题考查命题的真假判断，主要是命题的否定、四种命题的真假、充分必要条件的判断和向量共线的条件，考查判断和推理能力，属于基础题 6已知实数 x， y 满足 ，则 z=x+2y 的最小值为（ ） A B 4 C 6 D 5 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应 的平面区域，利用 z 的几何意义即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域， 由 z=x+2y，得 y= x+ ，平移直线 y= x+ ，由图象可知当直线经过点 直线 y= x+ 的截距最小，此时 z 最小， 由 ，得 ，即 B（ 1， 2） 此时 z= 1+2 （ 2） = 5 故选： D 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法 7执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 6，则判断框内 m 的取值范围是（ ） A（ 30， 42 B（ 20， 30） C（ 20， 30 D（ 20， 42） 【考点】 程序框图 【分析】 由程序框图依次求得程序运行的结果，再根据输出的 k 值判断运行的次数，从而求出输出的 S 值 【解答】 解：由程序框图知第一次运行第一次运行 S=0+2， k=2； 第二次运行 S=0+2+4， k=3； 第三次运行 S=0+2+4+6， k=4； 第四次运行 S=0+2+4+6+8， k=5； 第五次运行 S=0+2+4+6+8+10， k=6 输出 k=6， 程序运行了 5 次，此时 S=0+2+4+6+8+10=30， m 的取值范围 为 20 m 30 故选： C 【点评】 本题考查了循环结构的程序框图，根据程序运行的结果判断程序运行的次数是关键 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 根据三视图得出空间几何体是以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案 【解答】 解：根据三视图得出空间几何体是以俯视图为底面的四棱锥， 其底面面积 S= （ 2+4） 2=6， 高 h=3， 故体积 V= =6， 故选： A 【点评】 本题考查的知识点是棱锥 的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档 9设 M， N 是直线 x+y 2=0 上的两点，若 M（ 1， 1），且 | ，则 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 设 N（ x， y），根据 M， N 是直线 x+y 2=0 上的两点， M（ 1， 1），且 | ，求出 N 的坐标，再根据向量的数量积公式计算即可 【解答】 解： M， N 是直线 x+y 2=0 上的两点， M（ 1， 1），且 | ， 设 N（ x， y）， 则 ， 解得 或 ， =（ 0， 2）或（ 2， 0）， =2， 故选： B 【点评】 本题考查了坐标的运算和向量的数量积公式，属于基础题 10三国魏人刘徽，自撰海岛算经，专论测高望远其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前後相去千步，令後表与前表相直从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合从後表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合问岛高几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰 A 的高度 两根高三丈的标杆 后两杆相距 000 步，使后标杆杆脚 D 与前标杆杆脚 B 与山峰脚 H 在同一直线上，从前标杆杆脚 B 退行 123步到 F，人眼著地观测到岛峰， A、 C、 F 三点共线，从后标杆杆脚 D 退行 127步到 G，人眼著地观测到岛峰， A、 E、 G 三点也共线，则山峰的高度 ） 步（古制： 1 步 =6 尺， 1 里 =180 丈 =1800 尺 =300 步） A 1250 B 1255 C 1230 D 1200 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 根据 “平行线法 ”证得 后由相似三角形的对应边成比例即可求解线段 长度 【解答】 解： ， 又 ， 又 E， ， 即 ， 0750（步） =， 又 ， =1255（步） 故选： B 【点评】 本题考查利用数学知识解决实际问题，能够熟练运用三角形的相似解决是关键 11设函数 f（ x） = 4x+15，数列 足 an=f（ n）， n N+，数列 前 n 项和 大时， n=（ ） A 14 B 15 C 14 或 15 D 15 或 16 【考点】 二次函数的性质 【分析】 由题意， 4n+15 0，得 1 n 15，即可得出结论 【解答】 解：由题意， 4n+15 0， 1 n 15， 数列 前 n 项和 大时， n=14 或 15 故选： C 【点评】 本题考查数列的函数性质，考查学生解不等式的能力，比较基础 12已知函数 f（ x） = ， g（ x） =2x，则函数 fg（ x） 的所有零点之和是（ ） A 2 B 2 C 1+ D 0 【考点】 二分法的定义 【分析】 利用函数的解析式，化简函数 fg（ x） 的表达式，求出函数的零点，即可求解 【解答】 解： g（ x） =2x=（ x 1） 2 1， 当 g（ x） 0 时，即 x（ x 2） 0，解得 x 0 或 x 2， 当 g（ x） 0 时，即 x（ x 2） 0，解得 0 x 2， 当 x 0 或 x 2， fg（ x） = =0，即 2x 2=2，解得 x=0 或 x=2， 当 0 x 2， fg（ x） =2x+2=0，此时方程无解， 函数 fg（ x） 的所有零点之和是 0+2=2， 故选： A 【点评】 本题主要考察了函数的零点，函数的性质及应用，属于基本知识的考查 二、填空题 13已知等差数列 足： ， a1+4，则数列 通 项公式为 2n 1 【考点】 数列递推式 【分析】 由等差数列的性质可得 a1+ ，则 d=，由等差数列的通项公式 an=（ n 5），即可求得数列 通项公式 【解答】 解：由等差数列的性质可得 a1+ ， d=， 等差数列的通项公式 an=（ n 5） =2n 1， 数列 通项公式 n 1 【点评】 本题考查等差数列性质，考查计算能力，属于基础题 14已知单位圆内有一封闭图形，现向单位圆内随 机撒 N 颗黄豆，恰有 n 颗落在该封闭图形内，则该封闭图形的面积估计值为 【考点】 模拟方法估计概率 【分析】 设阴影部分的面积为 S，则 ，即可得出结论 【解答】 解：由题意，符合几何概型， 故设阴影部分的面积为 S，则 ， S= 故答案为 【点评】 本题考查了几何概型的应用及频率估计概率的思想应用，属于基础题 15设抛物线 x 的焦点为 F，过 F 且倾斜角为 的直线交抛物线于 A、 B 两点，则 | 8 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 根据抛物线解析式确定出焦点 F 坐标，根据直线 斜角表示出直线程，与抛物线解析式联立消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，设方程的两根为 A（ B（ 利用根与系数关系及两点间的距离公式求出 即可 【解答】 解：由题意得：抛物线 x 的焦点 F 为（ 1， 0）， 直线 斜角为 45， 直线 斜率为 1，即方程为 y=x 1， 联立抛物线方程，消去 y 得：（ x 1） 2=4x，即 6x+1=0， 设方程的两根为 A（ B（ 则有 x1+， ， 则 | =8， 故答案为： 8 【点评】 此题考查了抛物线的简单性质，根与系数关系，两点间的距离公式，以及直线的点斜式方程，熟练掌握抛物线的简单性质是解本题的关键 16在 ， a， b， c 是角 A， B， C 所对应边，且 a， b， c 成等比数列，则 + ）的取值范围是 （ ， ） 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；余弦定理 【分析】 设 a， b， c 分别为 a， 有 化简 + ） =q 即可 【解答】 解： ， A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， a， b， c 成等比 数列， a， b， c 分别为 a， 则有 ） =） = + ）的取值范围是：（ ， ） 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系、等比中项，及三角形三边的数量关系，属于中档题 三、解答题 17（ 12 分）（ 2017凉山州模拟）海关对同时从 A， B， C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测 地 区 A B C 数量 100 50 150 （ 1）求这 6 件样品中来自 A， B， C 各地区商品的数量； （ 2）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法 【分析】 （ 1）由题意知：用分层抽样的方法能求出这 6 件样品中来自 A， B， （ 2）在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，基本事件总数n= =15，这 2 件商品来自相同地区包含的基本事件个数 m= =4，由此能求出这 2 件商品来自相 同地区的概率 【解答】 解：（ 1）由题意知：用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测， 这 6 件样品中来自 A 地区商品的数量为： =2 件， 来自 B 地区商品的数量为： 6 =1 件， 来自 C 地区商品的数量为： 6 =3 件 （ 2）在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测， 基本事件总数 n= =15， 这 2 件商品来自相同地区包含的基本事件个数 m= =4， 这 2 件商品来自相同地区的概率 p= 【点评】 本题考查分层抽样的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的 合理运用 18（ 12 分）（ 2017凉山州模拟）在 ，角 A， B， C 所对边分别是 a，b， c，若 A B） = （ 1）求证： A=B； （ 2）若 A= ， a= ，求 面积 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1） A B） = 开利用正弦定理可得： 简即可证明 （ 2 ） A=B ， 可 得 b=a= c=2 可 得 S 3展开即可得出 【解答】 （ 1）证明： A B） = 利用正弦定理可得： 化为： A， B （ 0， ）， A=B （ 2）解： A=B， b=a= c=2 S 2 =333 = 【点评】 本题考查了正 弦定理、倍角公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19（ 12 分）（ 2017凉山州模拟）如图，三棱锥 P ，平面 平面 ，点 D、 E 在线段 ，且 E=， C=2，点 B 上，且 （ 1）证明： 平面 （ 2）若 ，求四棱锥 P 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由已知可得 平面 平面 得 平面 由 合线面垂直的判定可得 平面 （ 2）求解直角三角形可得三角形 面积，再由比例关系求得四边形 面积，可得四边形 面积，代入棱锥体积公式求得 四棱锥 P 体积 【解答】 （ 1）证明：在 ， C， C， E， 则 平面 平面 且平面 平面 C， 平面 ， 平面 （ 2）解： ， ，且 ， ， ， ： 3， S S ： 9， 则 ， ， ， 【点评】 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题 20（ 12 分）（ 2017凉山州模拟）已知函数 f（ x） =2ax+a（ a R） （ 1）若曲线 y=f（ x）在点 P（ 1， f（ 1）处的切线与直线 2x+y 1=0 垂直，求a 的值； （ 2）讨论 f（ x）的单调性 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的导数，计算 2 a= ，求出 a 的值即可； （ 2）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） = a， f（ 1） =2 a， 直线 2x+y 1=0 的斜率是 2， 故 2 a= ，解得： a= ； （ 2） f（ x） = ，（ x 0）， a 0 时， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， + ）递增， a 0 时，令 f（ x） 0，解得： 0 x ， 令 f（ x） 0，解得： x ， 故 f（ x）在（ 0， ）递增，在（ ， + ）递减 【点评】 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题 21（ 12 分）（ 2017凉山州模拟）设椭圆 E： + =1（ a b 0）的左、右焦点 离心率 e= ，且点 直线 + =1 的距离为 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）设点 P（ 椭圆 E 上的一点（ 1），过点 P 作圆（ x+1） 2+的两条切线，切线与 y 轴交于 A、 B 两点，求 |取值范围 【考 点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）设 c， 0）， c， 0），依题意有 ， 可得 c=1， a=2， b= ， （ 2）如图设圆的切线 方程为 y=k（ x +圆心（ 1， 0）到 ， |k（ ） |= （ 2） k+1=0，A（ 0， 设圆的切线 方程为 y=x +理可得 B（ 0，依题意 k 是方程（ 2） k+1=0 的两个实根 ， |=k 2= = 由，得 |=1+ =1+ 【解答】 解：（ 1）设 c， 0）， c， 0）， 依题意有 ， 又 a2=b2+ c=1， a=2， b= ， 椭圆 E 的方程为： （ 2）如图设圆的切线 方程为 y=k（ x +圆心（ 1， 0）到 距离为 1， |k（ ） |= （ 2） k+1=0 令 y=k（ x + x=0， y= A（ 0， 设圆的切 线 方程为 y=x + 同理可得 B（ 0， 依题意 k 是方程（ 2） k+1=0 的两个实根， k1+k= ， |=k 2= = ， |=1+ =1+ 1 2， |=1+ |取值范围为 【点评】 本题考查了椭圆