常州市武进区初中数学教师解题竞赛试题及参考答案2345678-

武进区初中数学教师解题竞赛试题 一、选择题（每题 6 分） 1、如果一个三角形的一条边是另一条边的 2 倍，并且有一个角是 30，那么这个三角形的 形状是 （ ） A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能唯一确定 2、如图，正比例函数 与反比例函数 的图象相交)0(kxyxy1 于 A、C 两点，过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于 B，连结 BC，若ABC 的 面积为 S，则 （ ） A、S1 B、S2 C、S3 D、S 的值不确定 3、某工厂第二季度比第一季度的产值增长了 x，第三季度的产值又比第二季度的产值增长 了 x。则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 （ ） A、2 x B、12 x C、 （1 x） x D、 （2 x） x 4、设 P ，Q ，则 P 与 Q 的大小关系是 （ ）0203 A、PQ B、PQ C、PQ D、不能确定 5、边长为整数，周长等于 21 的等腰三角形共有 （ ） A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个 6、如果 、 是两个不相等的实数，且满足 ， ，那么1x2 12031x1203x 等于 （ ）2 A、2003 B、2003 C、1 D、1 7、若实数 x，y 满足条件 ，则 的最大值是 （ ）0622yxxy22 A、14 B、15 C、16 D、不能确定 8、如图 1，图中平行四边形共有的个数是 （ ） A、40 B、38 C、36 D、30 A B C D P A B CD （图 1） （图 2） （图 3） 9、如图 2，矩形 ABCD 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于 1，则矩形 ABCD 的 面积等于 （ ） 2 A、152 B、143 C、132 D、108 10、如图 3，若 PAPB，APB2ACB，AC 与 PB 交于点 D，且 PB4，PD3， 则 ADDC 等于 （ ） A、6 B、7 C、12 D、16 二、填空题（每题 6 分） 11、ABC 中，AB ，AC2，BC 边上的高为 ，则 BC 边的长为。33 12、锐角ABC 中，a1，b2，则 c 边的取值范围是（用不等式表示） 。 13、若 a2b3c4,5a6b7c8，则 9a2b5c。 14、一个游泳池的形状如下面左边第一个图所示，现在以固定的流量向游泳池内注水，那么 能够大致表示水高 h 与时间 t 的关系应是在下面右边六个图像中的（填标号） 。 15、已知锐角ABC 中，A60，BD 和 CE 都是ABC 的高。如果ABC 的面积为 12，那 么四边形 BCDE 的面积为。 三、解答题（每题 12 分） 16、已知：不论 k 取什么实数，关于 x 的方程 （a、b 是常数）的根总1632kxak 是 x1，试求 a、b 的值。 17、如图，在直角坐标系 xOy 中，已知 A（12,0） ，B（0,9） ，C（3,0） ，D（0,4） ，Q 为线段 AB 上一动点，OQ 与过 O、C、D 三点的圆交于点 P。问 OPOQ 的值是否变化？证明你的结 论。 O A B C D P Q x y 3 18、请设计一种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，并且 使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形。画出必要的示意图，并附以简要的 文字说明。 19、某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超过最低限量 时，只付基本费 8 元和3am 定额损耗费 c 元（c5） ；若用水量超过 时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过3am 部分每 1 付 b 元的超额费。3m 某市一家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付费用如下表所示： 用水量（ ）3交水费（元） 一月份 9 9 二月份 15 19 三月份 22 33 根据上表的表格中的数据，求 a、b、c。 20、在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素对应相等，这两个三 角形也未必全等。 试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长。 为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整， 述理严密，结论明晰） 。 A B C D 4 武进区初中数学教师解题竞赛试题参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D A B D B C B B 二、填空题 11、4 或 2 12、 13、24 14、 15、9 c 三、解答题 16、解：把 x1 代入原方程并整理得（b4）k72a 要使等式（b4）k72a 不论 k 取什么实数均成立，只有 0274ab 解之得 ，2a4b 17、解：点 Q 在线段 AB 上运动的过程中，OPOQ 的值是不变的。 证明如下：连结 DC、PC ，CODBOARt31OADBC CODBOA 1A O、C、P、D 四点共圆 12 2A POCAOQ POCAOQ OPOQOCOA36AQ 18、解：如图，在 AD 边上任取一点 N，使点 N 不是边 AD 的中点。分别作出线段 AN、DN 的中 点 、 ，把AB 绕点 旋转 180得NM ，再把 CD1O21O1O 绕点 旋转 180得MN 。这样由MN 、MN 以2 2 及四边形 BC 拼成了一个MBC，显然这个三角形既不是等12 腰三角形，也不是直角三角形。 就是说，只要把当初的正方形 ABCD 沿 B 、C 剪两刀，则得1O2 到的三块图形就可以如图所示地拼成一个符合题意的三角形。 O A B C D P Q x y 1 2 A B C DO O M N1 2 5 下面再提供几种裁剪方案（仔细揣摩吧，一些说明就省了）： A B C DE F G M N A B C D E F G H A B C DEF G O A B C D E F G A B C D E F G O 19、解：设每月用水量为 x ，支付水费为 y 元。则3m acby,)(8 0, 由题意知：0c5 08c13 从表中可知，第二、三月份的水费均大于 13 元，故用水量 15 、22 均大于最低限量 a3m ，将 x15，x22 分别代入式，得3m cab)2(8 159 解得 b2， 2ac19 再分析一月份的用水量是否超过最低限量，不妨设 9a，将 x9 代入，得 982（9a）c，即 2ac17 与矛盾。 故 9a，则一月份的付款方式应选式，则 8c9， c1 代入式得，a10。 6 综上得 a10，b2，c1。 20、解：如下图，ABC 与 是相似的（相似比为 ） ，但它们并不全等，显然CBA 2 它们之中有五对元素是对应相等的。 22 A B C A B C 1 2 2 容易知道，要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的。设小ABC 的 三边长分别为 a、b、c，且不妨设 abc，由小ABC 到大 的相似比为 k，则BA k1。 的三边长分别为 ka、kb、kc，且 akakbkcCA 在ABC 中，与 中两边对应相等的两条边只可能是 b 与 cB bckc 在 中，与 b、c 对应相等的两条边只可能是 ka、kb ka 由 a 到 b、由 b 到 c 应具有相同的放大系数（用高中的数学语言来讲，a、b、c 成公比 为 k 的等比数列） ，这个系数恰为ABC 与 的相似比 k。CBA 下面考虑相似比 k 所受到的限制： ABC 的三边长分别为 ，且 a0，k1k2、 a2 解之得 1