北京市延庆区2017届高考一模考试数学试题（理）含答案

延庆区 2015 2016 学年度一模统一考试 高三数学（理科） 2016 年 3 月 本试卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟 第卷（选择题） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 有一项是符合题目要求的 . | 0 2 , | 1 A x x B x x ，则 （ ） A. | 0 1 B. | 0或 1x C. | 1 2 D. | 0 2 1 （ ） B 1i C. 1 i D 1 i ，若 ,a b b ，则“ a ”是“ /b ”的 （ ） 该三棱锥的 最长棱的长为 （ ） A 2 B. 3 D. 5 若输出的 a 的值为 15，则判断框应填写 （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 1 1 1 1 2 正（主）视图 侧（左）视图 俯 视 图 （ 4 题图） 21 1 否 是 结束 输出 a ?i （ 5 题图） 开始 0, 0 2 0 1 3年年 201 4年年 2 0 1 5年年 1 季度 2 季度 3 季度 4 季度 1 季度 2 季度 3 季度 4 季度 1 季度 2013 年 2 0 1 4 年 2 0 1 5 年 年份 增长率 /% q ，则下面说法中 不正确 的是 （ ） 是等比数列 k ， 1k ，112k k ka a aC对于 n ，都有2 0D若21则对于任意 n ，都有1市 生产总值增速（累计， %）的折线统计图，据 该市 统计局初步核算， 2015年一季度全 市 生产总值 为 1552. 38 亿元，与去年同 一时期相比增长 12. 9%（如图，折线图中其它数据类同）根据统计图 得出正确判断是 （ ） A 近三年 该市 生产总值 为负增长 B. 近三年 该市 生产总值 为正增长 C该市 生产总值 2013 年到 2014 年 为负增长， 2014 年到 2015 年为正增长 、 B、 C 的判断都不正确 )函数 ()图像 分别如图（ 1）、图（ 2）所示，方程 ( ( ) 0f g x ，( ( ) 0g f x 的实根的个数分别为 , （ ） A 3 B 7 C 10 D 14 第 卷（非选择题） 二、 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9. 某校高一学雷锋志愿小组共有 8 人，其中一班、二班、三班、四班各 2 人，现在从中任选3 人，要求每班至多选 1人，不同的选取方法的种数为 . 10. 2022 年冬奥会高山滑雪项目将在延庆小海坨山举行。小明想测量一下小海坨山的高度，他在延庆城区（海拔约 500 米）一块平地上仰望小海坨山顶，仰角 15 度，他向小海坨山方向直行 3400 米后，再仰望小海坨山顶，此时仰角 30 度，问小明测的小海坨山海拔约有 米 . 在边长为 a 的 正六边形 ， A . 1 （ 图 2） x y 0 1 （ 11 题图） A B C D E 0 1 2 1 （ 图 1） x y 径为 2 的 O 中， 90， D 为 延长线交 O 于点，则线段 长为 . 知2 5a ，3 3a ，则5 (大或小 ）值为 . 在直线1 : 2 0l x y 上，动点 Q 在直线2 : 6 0l x y 上，设线段 00( , ) 2200( 2 ) ( 2 ) 8 ，则 2200取值范围是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 明过程或演算步骤 . 15.（本小题满分 13 分） 已知函数 231( ) s i n 2 c o x x x . （ ） 求 () 小正周期和单调增区间 ； （ ）当 5 , 12 12x 时，求函数 () 16.（本小题满分 13 分） 在一次水稻试验田验收活动中，将甲、乙 两种水稻随机抽取各 6 株样品，单株籽粒数制成 如图所示的茎叶图： （ ）一粒水稻约为 ，每亩水稻约为 6 万株，估计甲种水稻亩产约为多少公斤？ （ ）分别从 甲、乙两种水稻样品中任取一株，甲品种中选出的籽粒数记为 a ，乙品种中选出的籽8 16 9 6 17 1 5 8 6 18 2 4 6 5 19 4 甲 乙 A B O D E （ 12 题图） 粒数记为 b ，求 的概率 . （ ） 如从甲品种的 6 株中任选 2 株，记选到的超过 187 粒的株数为 ，求 的分布列和数学期望 . 17.（本小题满分 14 分） 如图，已知在四棱锥 S 中，底面 边长为 2 的 菱 形， 60，侧面 正三角形，侧面 底面 E 为线段 中点 . （ ） 求证： 底面 （ ） 求证：二面角 A 为直二面角； （）在侧棱 是否存在一点 M ，使得 平面 如果存在，求 果不存在，说明理由 . 18.（本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) e ,xf x x R ( )求函数 ()x 处的切线方程； ( )若 0m ， 讨论函数 2( ) ( ) ( 1 )g x f x m x 零点的个数 S A B C D E O 19.（本小题满分 14 分） 已知椭圆 22: 1 ( 0 )a 的长轴长为 22，离心率 22e. （ ）求 椭圆 G 的 方程 ； （ ）设过椭圆 G 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 G 的另一个交点为 B ， 与 x 轴交于点 C ， 线段 中点为 D ， 线段 垂直平分线 分别 交 x 轴、 y 轴于 P 、 Q 两点 . 问：是否存在直线 l 使 与 的面积相等 （ O 为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线 l 的方程；若不存在，说明理由 . 20.（本小题满分 13 分） 已知数列 0)a q q， 对任意 * 都有m p m pa a a 从数列 将它们按原来顺序组成一个数列，称之为数列 （ ） 求4a； （ ） 求数列 （ ） 证明：当 0q 且 1q 时， 数列 延庆区 2015 2016 学年度一模统一考试 A D Q 高三数学（理科答案） 2016 年 3 月 一、选择题： )0485( C A A D C D B C 二、 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 11. 232a12. 35513. 大， 1 14. 8,16 三、解答题： )0365( 15. （本小题满分 13 分） 解： （ ） 3 1 c o s 2 1( ) s i n 22 2 2xf x x 2 分31s i n 2 c o s 2 122 s 2 ) 16x 4 分 所以， ()小正周期为 22T . 5 分 由 2 2 2 ( )2 6 2k x k k Z 6 分 得 ()63k x k k Z 7 分 ()调增区间为 , ( )63k k k Z . 8 分 （ ）当 5 , 1 2 1 2x 时， 22 , 6 3 3x ， 9 分 所以，当 262x ，即3x 时， () ； 11 分 当 263x ，即12x 时， ()12. 13 分 16.（本小题满分 13 分） 解： （ ）甲种水稻样本单株平均数为 182 粒，把样本平均数看做总体平均数，则甲种水稻亩产约为 0 . 0 0 0 1 1 8 2 6 0 0 0 0 1 0 9 2 公斤 . 2 分 （ ） 6 2 5 2 2 5()6 6 9P a b . 7 分 （） 的可能取值为 0,1,2 ， 24262( 0 )5 ， 1124268( 1 )15 ， 22261( 2 )15 ， 的分布列为： 2 8 1 20 1 25 1 5 1 5 3E . 13 分 17. （本小题满分 14 分） （ ） 证明：因为 正三角形， E 为线段 中点，所以 D ， 又因为 侧面 底面 侧面 面 D ， 平面 所以， 底面 3 分 （ ） 证明：如图，取 次为 x 轴、 y 轴建立空间直角坐标系 . 则 (0, 1,0)A 、 ( 3, 0, 0)B 、 (0,1,0)C 、 31( , , 3 )22S . 5 分 证明一： 3 3 1( , , 3 )22 ， ( 3 , 1, 0 ) ， ( 3 , 1, 0 ) ， 设平面 法向量为1 1 1( , , )m x y z，平面 法向量为2 2 2( , , )n x y z， 0m B S m B S 1 1 13 3 1 3022x y z ， 1 0m B A m B A 1130 ， 2 取1 1x，由 1 2 解得113 , 1 ，所以 (1, 3 ,1)m ； 7 分 0m B S m B S 2 2 23 3 1 3022x y z ， 3 0m B C m B C 2230 ， 4 取2 1x ，由 3 4 解得223 , 2， 所以 (1, 3 , 2)n . 9 分 因为 1 1 3 3 1 2 0 ， 所以平面 平面 所以， 二面角 A 为直二面角 . 10 分 证明二：取 中点为 F ，因为 2S，所以 S ， 又 3 1 3( , , )4 4 2F ，所以 3 3 3( , , )442， 3 3 3 3 3( , , ) ( 3 , 1 , 0 ) 0 04 4 2 4 4A F B C ， 所以 C ， 又 ,C 平面 C B ， 所以 平面 又 平面 所以平面 平面 所以， 二面角 A 为直二面角 . 10 分 （）假设存在满足题设的点 M ，设 ( , , ) , x y ， 则 S ，即 3 3 1( 3 , , ) ( , , 3 )22x y z ， 解得 3 3 1( 3 , , 3 )22M ， 则 3 3 1( 3 , , 3 )22 ， 12 分 向量 方向量为 (1, 0, 0)i ， 33 302i O M ， 解得 23. 13 分 当 23时， D ，又 C ，所以 平面 所以，在棱 存在一点 M ，使得 平面 23 14 分 18. （本小题满分 13 分） 解： ( ) () xf x e ， (1) ， 切点为 (1, )e ， 则切线方程为 ( 1)y e e x ，即 0ex y . 3 分 ( ) 函数 2( ) ( ) ( 1 )g x f x m x 零点的个数即是方程 2( ) ( 1 ) 0f x m x 根的个数，等价于两个函数2() ( 1)与函数 图象交点的 个数 4 分 3( 3 )() x 5 分 当 ( ,0)x 时， ( ) 0,() ,0) 上单调递增； 6 分 当 (0,2)x 时 ， ( ) 0,， ()0,3) 上单调递减 ； 7 分 当 (3, )x 时 ， ( ) 0,， ()3, ) 上单调递增， 8 分 (),0( 上 有 最小值为 3(3)4. 9 分 当 3(0, )4，函数2() ( 1)与函数 图象交点的 个数 为 1； 10 分 当 34，函数2() ( 1)与函数 图象交点的 个 数 为 2； 11 分 当 3( , )4 时，曲 函数2() ( 1)与函数 图象交点的 个数 为 3. 12 分 综上所述， 当 3( , )4 时 ，函数 () 34，函数 ()当 3(0, )4函数 () 13 分 19. （本小题满分 14 分） 解： （ ） 22 2 2 , , 2 , 12ca a . 2 2 2 1b a c ， 2 2:12 . 3 分 （ ） 假设满足题设条件的 直线 l 存在，则 直线 l 的斜率存在且不等于零 . 由 （ ） 知 (0,1)A ，设 直线 l 的方程为 1y . 5 分 令 0y ，解得 1， 1( , 0). 12 | |A O CS k. 7 分 22112y y 消去 y ，得 22( 2 1 ) 4 0k x k x ， 8 分 2221( , )2 1 2 1kD . 9 分 直线 方程： y2112122()21kx k ， 10 分 21( 0 , )21Q k . 11 分 2222 | | (1 )( 2 1 )A D . 12 分 因为 与 的面积相等，所以 与 的面积相等， 2222 | | (1 )( 2 1) 12| |k， 10 13 分 所以满足题设条 件的 直线 l 不存在 . 14 分 20. （本小题满分 13 分） （） 44 2 分 （ ） 对任意 * 都有m p m pa a a 成立 ，1 ( 0)a q