2008年广东省揭东县地都中学高一数学竞赛试题

2008 年广东省揭东县地都中学高一数学竞赛试题 本卷满分为 120 分，考试时间为 100 分钟 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分。 1已知集合 ，集合 ，映射 表示,(),MabaRb1,0P:fx 把集合 中的元素 映射到集合 中仍为 ，则以 为坐标的点组成的集合 有元素（ xPx,aS ）个 A2 B4 C6 D8 2设 为 的边 的中点， 为 内一点，且满足, ，则DAAB25APDBC （ ） APBCS A. B. C. D. 352515310 3. 设 a，b 是夹角为 30的异面直线，则满足条件“ ， ，且 ”ab 的平面 ， （ ） A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对 4已知 是函数 的一个零点， 是函数()log208,(1)afx 的一个零点，则 的值为（ ）()208xga A1 B2008 C D4016208 5函数 的定义域为 D，若满足 在 D 内是单调函数， 存在 使()fx()fx,mnD 在 上的值域为 ，那么就称 为“好函数”。现有f,mn1,2n()yfx 是“好函数”，则 的取值范围是（ ()log(),xak(0,1ak ） A B C D(0,)1(,)4(,)41(0,4 6若 ，则 等于（ ）3,sinlog3 A B C Dsinsin1sincos1 7如图，一个棱长为 的立方体内有 1 个大球和 8 个小球，a 大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切 且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角 都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切， 变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余（ ）。 A B (63)2a(63)a C D5858 8若 为完全平方数，则正整数 n 满足 （ ）27104n A B C D9197219731970 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分。 9已知当 时，函数 取最大值，则函数6xsicosyxasincoyax 图象的一条对称轴为 . 10已知向量 满足 ，若 ，则 .cba, bacc,)(,01bc 11如图是一个长方体 ABCD-A1B1C1D1截去几个角后的 多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6, CC1=3.则这个多面体的体积为 . 12把一根长为 7 米的铁丝截下两段（也可以直接截成 两段），这两段的长度差不超过 1 米，分别以这两段为圆 的周长围成两个圆，则这两个圆的面积之和的最大值为 三、解答题：本大题共 4 小题，共 54 分。 13. （本大题满分 10 分） 能否将下列数组中的数填入 33 的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、 每列、两条对角线上的 3 个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能， 请给予证明.（）2,4,6,8,12,18,24,36,48； （）2,4,6,8,12,18,24,36,72. D CB A C 1 A1 O 3 O2 O1 H G FEDC B A 金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 14（本大题满分 10 分） 已知定义域为 R 的函数 是奇函数，求 的值。abxfx12ba, 15（本小题 12 分）已知函数 .2()cos()3cos21,4fxxxR （1）求函数 单调递增区间；f （2）若 ，不等式 的解集为 B， ，求|(),42Ayfx3xmA 实数 的取值范围。m 16(本小题满分 16 分) 设 ,若 , , .2()3fxabxc0a)(f0)1(f （1）求证：方程 在区间（0，1）内有两个不等的实数根；(f （2）若 都为正整数，求 的最小值。,abcc 得分 评卷人得分 评卷人 2008 地都中学高一数学竞赛试题（解答） 本卷满分为 120 分，考试时间为 100 分钟 1已知集合 ，集合 ，映射 表示,(),MabaRb1,0P:fx 把集合 中的元素 映射到集合 中仍为 ，则以 为坐标的点组成的集合 有元素 xPx,aS （ C ） 个 A2 B4 C6 D8 【分析】显然 ， 有 6 组解，MP1101,0aaabbb 有 6 个元素，选 C。S 2设 为 的边 的中点， 为 内一点，且满足, ，则DABPAB25APDBC （ C ）APBCS A. B. C. D. 352515310 【分析】如图 DEBC2ADPA 四边形 DPEB 为平行四边形， ，选 C。 1sin52PABCBSD 3. 设 a，b 是夹角为 30的异面直线，则满足条件“ ， ，且 ”ab 的平面 ， 答： D A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对 解 任作 a 的平面 ，可以作无数个. 在 b 上任取一点 M，过 M 作 的垂 线. b 与 垂线确定的平面 垂直于 . 选 D EP D C BA 金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 4已知当 时，函数 取最大值，则函数 图象的6xsincosyxasincoyax 一条对称轴为 （ A ） A B C D3366 【分析】当 时，函数 取最大值，6xsincosyxa21312a 解得： ， ， 是它的一条对称轴，选3ai2i()6ax A。 4已知 是函数 的一个零点， 是函数()log08,(1)afx 的一个零点，则 的值为 （ B ）()208xga A1 B2008 C D4016208 【分析】如图： 是曲线 与曲线 交点 A 的横2yxlogayx 坐标， 是曲线 与曲线 交点 B 的横坐标，08x 函数 与 互为反函数，A 与 B 关于直线 y=x 对称logayxxy 即 为点 A 的纵坐标， ，选 B208 5函数 的定义域为 D，若满足 在 D 内是单调函数， 存在 使()fx()fx,mnD 在 上的值域为 ，那么就称 为“好函数”。现有f,mn1,2n()yfx 是“好函数”，则 的取值范围是 ()log(),xak(0,1ak （ C ） A B C D(0,)1(,)4(,)41(0,4 【分析】因为函数 在其定义域内为增函数，则若函数log,01xafka 为“好函数”，方程 必有两个不同实数根，()yfx()2f log()2xak ，方程 有两个不同的正数根，2ak20xak0tk 选 C。1(0,)4 6若 ，则 等于（ ）3,sinlog3 A B C Dsinsin1sincos1 解： 333 1loglogsinlogsinsin3logsi0, 7如图，一个棱长为 的立方体内有 1 个大球和 8 个小球，大球与立方体的六个面都相切，a 每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱 锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩 余 （ D ）A B C D(63)2a(63)a5382a(538)a 【分析】大球的半径为 ，设小球的半径 ，则r133322(3)rara 设小球切截面 CDE 于 F，则 45rAa 设 ，利用等积法求得 ，所以ACx932x2(538)CHAFa 选 D。 8若 为完全平方数，则正整数 n 满足 （ ）27104n A B C D9n972171970 【分析】 ，当 ，即27105494524()n 524 时，上式为完全平方数。1 当 时，有 ，9n2719452427(27)27() 1)nnnnn 所以上式不可能为完全平方数。选 B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 8 分，共 48 分。 9已知当 时，函数 取最大值，则函数 图象的xsincosyxasincoyax 一条对称轴为 3 【分析】当 时，函数 取最大值，6xsincosyxa21312a 解得： ， ， 是它的一条对称轴。3ai2i()6ax O 3 O2 O1 H G FEDC B A 金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 10已知向量 满足 ，若 ，则 .cba, bacc,)(,01bc1 【分析】 且(),ab0 ， 21cc c 11如图是一个长方体 ABCD-A1B1C1D1截去几个角后的 多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6, CC1=3.则这个多面体的体积为 48 . 【分析】从三视图看，顶点 已被截去，所以这个多面体如上图，其体积为1,BD 。34623468V 12把一根长为 7 米的铁丝截下两段（也可以直接截成 两段），这两段的长度差不超过 1 米，分别以这两段为圆 的周长围成两个圆，则这两个圆的面积之和的最大值为 平方米 254 【分析】设这两段的长度分别为 米、 米xy 则 、 满足关系 ，其平面区域为右上图所示阴影部分，两圆的面积之和为xy07|1yx ，看成是个圆的方程，这个圆经过点 或 时， 最大，其最大值 24s (4,3)A(,)Bs 为 平方米。5 得分 评卷人 主主主 主主主 主主主 B AC BD B C 1 A1 C1A1 C1 A1 D CB A C 1 A1 三、解答题：本大题共 4 小题，共 48 分。 13. （本大题满分 10 分） 能否将下列数组中的数填入 33 的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、 每列、两条对角线上的 3 个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能， 请给予证明.（）2,4,6,8,12,18,24,36,48； （）2,4,6,8,12,18,24,36,72. 解（）不能. 因为若每行的积都相等，则 9 个数的积是立方数. 但是 24681218243648=21+2+1+3+2+1+3+2+43 =21938 不是立方数，12 故不能. （）可以. 如右表 表中每行、每列及对角线的积都是 2623. 14（本大题满分 10 分） 已知定义域为 R 的函数 是奇函数，求 的值。abxfx12ba, （本大题满分 12 分） 解：因为 是定义域为 R 的奇函数，所以 ，即 ，解得 ,xf 0f021a1b 从而 ，又由 ，即 ，解得abfx121ff42 15（本小题 112 分）已知函数 .2()cos()3cos21,4fxxxR （1）求函数 单调递增区间；f （2）若 ，不等式 的解集为 B， ，求|(),42Ayfx 3xmA得分 评卷人 36 2 24 8 12 18 6 72 4 金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 实数 的取值范围。m 【解】（1） ，()1cos(2)3cos1in23cos2in()3fxxxx 由 解得： ，23kk 5kk 在区间 上单调递增。8 分()fx5,12Z （2） ， ，又解得,463x1,2A(3,)Bm 而 ，得AB2m4 16(本小题满分 16 分) 设 ,若 , , .()3fxabxc0a)(f0)1(f （1）求证：方程 在区间（0，1）内有两个不等的实数根；(f （2）若 都为正整数，求 的最小值。,abcc 【证明】（1） ， ， ，()f()320fab0abc 由得： ，由得： ，0ab2 由得： ， 代入得： 2cc 由得： 4 分 对称轴 ，又1(,)3xa