湖南省衡阳市2017届高三第二次联考数学试题（理）含答案

2017 届高中毕业班联考（二） 理科数学 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . c o s i s （ i 为虚数单位），则 （ ） A B 1 C 2 D i l g 1A x y x ， 3 0，则有（ ） A 3 A B 1, 0 C A B R D 空间几 何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为（ ） A 6 B 2 33 C 4 D 23 0，且 0，设 p ：函数 111 2 2xf x g x 是偶函数； q ：函数 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 O ： 221交 x 轴正半轴于点 A ，在圆 O 上随机取一点 B ，则使 1B ） A 16B 1a， e 为自然对数的底数，则 a ， 1 的大小关系为（ ） A 1a a B 1a e C. 1e a D 1e a 输出 S 的值为 1 ，则判断框内，对于下列四个关于 n 的条件的 选项， 不能 填入的是（ ） A 3?n B 5?n C. 32?n D 203?n , 1 , , 1M x y x y y x y ， 2 22, 2 , 0N x y x y r r ，若 ，则 r 的取值范围为（ ） A 2 ,32B 1, 10 C. 2 , 102D 101,2 s i nf x t，其中 0 ， 0,2 ， 120f x f x，21m ， 3，将 单位得 ） A ,2B 2,63C. 5,36D 7,1 2 1 2 ： 221（ 0a ， 0b ）的两条渐近线互相垂直，1F，2 的左，右焦点， P 点在该双曲线的右支上且到直线 22的距离为 32，若128F，则双曲线的标准方程为（ ） A 22144B 22188C. 22116 16D以上答案都不对 n 项和为知 3551 3 4 ， 3881 3 2 ，则下列选项正确的是（ ） A12 12S ，5812 24S ，582S ，5812 24S ，58 2222 l n 144x a x . ，则 D 的最小值为（ ） A 22B 1 C. 2 D 2 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 3 的展开式中，各项系数的和为 p ，其二项式系数 之和为 q ，若 64 是 p 与q 的等比中项，则 n 幂势既同，则积不容异” ”是截面积，“势”是几何体的高 在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等 在空间直角坐标系 面内，若函数 21 , 1 , 0c o s , 0 , 2 的图象与 x 轴围成一个封闭的区域 A ，将区域 A 沿 z 轴的正方向平移 4 个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域 A 的面积相等，则此圆柱的体积为 正方体12，1 1 1 1A C B D E，直线 直线 成的角为 ，直线 平面11 ，则 912a ， 20 21 2，则12 a的最小值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算 步骤 .） ，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 4a ， 5c . （ 1）求边 b 的长； （ 2）若 1点 E ， F 分别在线段 ，当 12A E F A B 长 l 的最小值 . 多高中生也配上了手机 机抽取高三年级 50 名理科生的一次数学周练成绩，用茎叶图表示如下图： （ 1）根据茎叶图中的数据完成下面的 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？ 及格（ 60 ） 不及格 合计 很少使用手机 经常使用手机 合计 （ 2）从 50 人中，选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数列题，甲、乙独立解决此题的概率分别为1P，2P，2 ，则此二人适合结为学习上互帮互助的“师徒”，记 X 为两人中解决此题的人数，若 ，问两人是否适合结为“师徒”？ 参考公式及数据： 22 n a d b b c d a c b d ，其中 n a b c d . 2 0P K K 四棱锥 P 中， 平面 平面 面 D ，等腰直角三角形， 2 22P A P D C D . （ 1）证明：平面 平面 （ 2）若三棱锥 B 的体积为 13，求平面 平面 成二面角的余弦值 . ，动点 ,M x y 与两定点 2,0 ， 2,0 连线的斜率之积为14 . （ 1）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （ 2）设点 11,A x y， 22,B x 上相异的两点 . （ ）过点 A ， B 分别作抛物线 2 43的切线1l，2l，13,，证明： 0B （ ）若直线 B 的斜率之积为 14，证明：求出这个定值 . x x . （ 1）证明：当 1x 时， 2110xx ； （ 2）若函数 2g x f x x a x 有两个零点1x，2x（12 0a ），证明：122 13 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 1 c o s1 （ t 为参数， 0 ），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系 p . （ 1）若直线 l 与曲线1 A ， B ，点 1,1M ，证明： B 为定值； （ 2）将曲线1 ,伸缩变换 3后，得到曲线2 ,，求曲线2长的最大值 . 等式选讲 已知函数 1f x 0x（ 1）求不等式 1f x x的解集； （ 2）若对 , 0 0 ,x ，不等式 1f x x a x 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 2017 届衡阳市高三第二次联考数学（理）答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 14. 4 15. 6616. 692 三、解答题 （ 1）由 正弦定理及二倍角公式，得 ， 或2当2时 ，直角 易知 3b . 当 时 ，等腰 4b . （ 2）依题 可知： ，2C ， 3b ， 3 依题 ： 1 s E A F A 11 s F 1 1522 由 余弦定理 22 2 c o A E A F A E A F A 229A E A F ， 周长 l F 229A E A F 2 F 29A E A F 30 6. 当 302A E A F时 ，等号成立 . （ 1）由题意得列联表为： 由 列联 表 可得： 22 5 0 2 0 1 3 1 0 73 0 2 0 2 7 2 3K ， 所以，有 95%的把握认为经常使用手机对学习有影响 . （ 2）依题 ：解决此题的人数 X 可能 取值为 0,1,2， 可得分布列为 12 1 . 1 2E X P P 1 ， 12 0 . 3 2 0 . 3 ， 二人 适合 结为 “ 师徒 ”. （ 1） 依题 ： C D A D A B C D 面 面面 P A D C D A P， 又 D ， 平面 又 平面 平面 平面 （ 2） A B C D P C D C P C D平 面 平 面 平 面D ， 由（ 1） 知 面 1132B P A B P A P D 1 13 ， 取 点 O ， D ，平面 面 平面 以过点 O 且平行于 直线为 x 轴，如图建系，各点坐标如图 . 由 （ 1） 易知 平面 一法向量为 1, 0, 0m 设平面 法向量为 ,n x y zr . 1,1, 1 2 , 1, 1 00n C r 20x y zx y z ， 取 2x ， 2,1,3n r . mnur r 147ur r ， 故所求二面角的余弦值为 147 . （ 1） 依题意 ： 12 2 4 2 2 124x （ 2）（）设直线 直线 斜率为2k，设切线为： 3y t k x 2343y t k 2 4 3 4 3 1 2 0k y y t k ， 0 23 3 3 0k ， 12 1 ， 0B （）由 条件得：1 2 1 24 y y x x， 2 2 2 21 2 1 216y y x x22121 6 1 144 22124， 22121 . 2212A O A O B O A O B V u u r u 221 2 2 1 1 2 1 21 22 x y x y x x y y 22222 1 1 21 2 1 21 1 1 22 4 4 4x x x xx x x x 22121 12 . （ 1） 欲 证 2110xx 证 21l n 01xK x ， 2 21 01 Q ， 在 1, 上递增， 10K x K （ 2） 1xQ ， 21，取21xx x 1 2 1 212l n l n 2x x x . 21 1 122 2 2l n 0l n 0x x a xx x a x 12ln 121212x x 12122 10a x . 1 12g x a ， 121222 12 10a x x . 21 20g x ， 在 0, 上递减， 1 2 1 2232x x x xQ ， 故1 2 1 22 032x x x 2l n 0x x a x 2ln h ， 31 2 l x ， 令 1 2 x x x ，易知 0, 递减， 10s ， 01x， 0， ， 1x ， 0， ， 1h x h， 1x ， 0， 0x ， ， 要 合题意，如图， 01a， 10a ，右大于左，原题得证 （ 1） 曲线1C： 221. 221 c o s1 s 2 2 c o s s i n 1 0 ， 12 1M A M B t t