湖北省六校联合体2017届高三4月联考数学试题（理）含答案

2017 年春季湖北省六校联合体四月联考 高三数学理科试卷 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 3 4 0 A x x x ， 3B x x，则集合 （ ） A 3, 1 B 3,4 C 1,3 D 3,4 1 ) ( ) 2 2i x y i i ，其中 , x （ ） A 1 B 2 C 3 D 2 视图（单位： 如下图所示，则该几何体的体积是（ ） A 3 3 B 5 3 C 4 3 D 6 3 5 03 5 030y k ，若目标函数1 3z x y的最小值的 7 倍与2 7z x y的最大值相等，则实数 k 的值为（ ） A 1 B C D 2 d ，1 2若等比中项，则 k （ ） A 2 B 3 C 5 D 8 21的离心率为 233，且一个焦点与抛物线 2 8的焦点相同，则此双曲线的方程 是（ ） A 2 2 13y xB 2214 12C 22 13D 22112 4输出的 S 值为 条件框内应填写（ ） A 4?i B 6?i C 5?i D 5?i 在 2,2 的图象大致为（ ） ) 2 s i n s i n ( 3 )f x x x 是奇函数，其中 (0, )2，则函数( ) c o s ( 2 )g x x 的图象（ ） A关于点 ( ,0)12对称 B关于轴 512x 对称 C可由函数 ()单位得到 D可由函数 ()单位得到 1a，1 2nn a （ *）若11( 2 ) ( 1 )n a （ *），1 32b ，且数列 实数 的取值范围是（ ） A 45B 1 C 32D 23斜边上的高 成 0120 的二面角，已知直角边 43，46，那么下面说法正确的是（ ） A平面 平面 B四面体 D 的体积是 1663C二面角 A 的正切值是 425D 平面 成角的正弦值是 ) xf x e 有两个零点12,2则下面说法正确的是（ ） A122B C121有极小值点0x，且1 2 02x x x第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.设 ，向量 ( ,1)， (1, 2)b ，且 2 ( 2 1)( 1)的展开式中含 4x 项的系数是 （用数字作答） ， 2， 3， 4， 5， 6， 7 的 7 张电影票分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，每人至少一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为 21（ 0 ）上的动点 M 作圆 2222的两条切线，切点为 ，直线 x 轴和 y 轴的交点分别为 E 和 F ，则 面积的最小值是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知 ,三个内角 ,对边，且 c o s 3 s i a C b c . （ 1）求 A ； （ 2）若 7a ， 的面积为 332，求 b 与 c 的值 . 18. 如图，在四棱锥中 P ， 平面 /C ， D ，且2A D C D， 22， 2. （ 1）求证： C ； （ 2）在线段 ，是否存在一点 M ，使得二面角 M 的大小为 045 ，如果存在，求 平面 成角，如果不存在，请说明理由 . 19. 某单位共有 10 名员工，他们某年的收入如下表： 员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪（万元） 4 5 51 （ 1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数； （ 2）从该单位中任取 2 人，此 2 人中年薪收入高于 7 万的人数 记为 ，求 的分布列和期望； （ 3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为 4 万元， 元， 6 万元， 元，预测该员工第五年的年薪为多少？ 附：线性回归方程 y bx a中系数计算公式分别为： 121( ) ( ) 71 . 45()x y ， a y ，其中 , 20. 已知动圆 C 过定点2(1,0)F，并且内切于定圆 221 : ( 1 ) 1 6F x y . （ 1）求动圆圆心 C 的轨迹方程； （ 2）若 2 4上存在两个点 , 1）中曲线上有两个点 ,且2,M N ,N ，求四边形 面积的最小值 . 21. 已知函数 21( ) ( 1 ) 2 ( 1 ) l x x a x a x ， 23( ) ( 4 2 ) l x x x a x . （ 1）若 1a ，讨论函数 () （ 2）是否存在实数 a ，对任意12, ( 0 , )，12 有1212( ) ( ) 0f x f x 恒成立，若存在，求出 a 的范围，若不存在，请说明理由； （ 3）记 ( ) ( ) ( )h x f x g x，如果12,)1 2 14x x x， ()明： 122( ) 03 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 已知直线112:36 （ t 为参数），曲线1co s:（ 为参数） . （ 1）设 l 与1 （ 2）若把曲线12倍，纵坐标压缩 为原来的 32倍，得到曲线2C，设点 P 是曲线2它到直线 l 的距离的最大值 . 等式选讲 已知函数 ( ) 3f x x （ 1）解不等式： ( ) ( 1 ) 2f x f x ； （ 2）若 0a ，求证： ( ) ( 3 ) ( )f a x f a a f x. 2017 年春季湖北省重点高中联考协作体期中考试 高三数学 (理科 )试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 5 14. 15 15. 1200 16. 34答题 17.【解析】 （ 1） c o s 3 s i a C b c ，由正弦定理得： s i n c o s 3 s i n s i n s i n s i A C B C ，即 s i n c o s 3 s i n s i n s i n s i n A C A C ， 化简得： 3 s i n c o s 1， 1s 在 中， 0 A ， 66A ，得3A ， （ 2）由已知得 1 3 3s i 2 ，可得 6， 由已知及余弦定理得 22 2 c o s 7b c b c A ， 2( ) 25， 5 ， 联立方程组 65，可得 23或 32. 18.【解析】 （ 1）证明： 如图，由已知得四边形 直角梯形， 由已知 2 , 2 2A D C D B C ， 可得 是等腰直角三角形，即 C ， 又 平面 则 B ，又 C A ，所以 平面 所以 C . （ 2）存在，观察图形特点，点 M 可能是线段 一个三等分点（靠近点 D ），下面证明当 M 是线段 三等分点时，二面角 M 的大小为 045 ，过点 M 作 D于 N ，则 /A ，则 平面 过点 M 作 C 于 G ，连接 则 是二面角 M 的平面角， 因为 M 是线段 一个三等分点（靠近点 D ），则 22,233M N A N， 在四边形 求得 23则 045， 所以当 M 是线段 一个靠近点 D 的三等分点时，二面角 M 的大小为 045 ， 在三棱锥 M 中，可得 13M A B C A B M N，设点 B 到平面 距离是 h ， 13B M A C M A h， 则A B C M A N S h ，解得 2h ， 在 中，可得 22， 设 平面 成的角为 ，则 1s ， 所以 平面 成的角为 030 . 19.【解析】 （ 1）平均值为 11 万元，中位数为 7 万元 . （ 2）年薪高于 7 万的有 5 人，低于或等于 7 万的有 5 人； 取值为 0， 1， 2. 252102( 0 )9 ， 11552105( 1 )9 ， 252102( 2 )9 ， 所以 的分布列为 0 1 2 P 29 59 29 数学期望为 2 5 20 1 2 19 9 9E . （ 3）设 )4,3,2,1(, 6， 4 21( ) 2 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5 2 . 2 5 5 41( ) ( ) 1 . 5 2 0 . 5 0 . 5 0 . 5 0 1 . 5 2 . 5 7x y y （ - ） （ - ） （ - ） 121( ) ( ) 7 1 . 45()x y 6 1 . 4 2 . 5 2 . 5a y b x ， 得线性回归方程： . 可预测该员工第 5 年的年薪收入为 元 . 20.【解析】 （ 1）设动圆的半径为 r ，则2CF r，1 4CF r，所以1 2 1 24C F C F F F ， 由椭圆的定义知动圆 圆心 C 的轨迹是以12,2, 1，所以 3b ，动圆圆心 C 的轨迹方程是 22143. （ 2）当直线 率不存在时，直线 斜率 为 0，易得 4 , 4M N P Q，四边形面积 8S . 当直线 率存在时，设其方程为 ( 1 ) ( 0 )y k x k ，联立方程得 2( 1)4y k ，消元得 2 2 2 2( 2 4 ) 0k x k x k 设1 1 2 2( , ) , ( , )M x y N x y，则 12 2124 21xx 2222441 ( 2 ) 4 4M N k N ，直线 方程为 1 ( 1) ， 221 ( 1)143 ，得 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x x k 设3 3 4 4( , ) , ( , )P x y Q x y，则34 2212 28344 1 234 2222 2 2 21 8 4 1 2 1 2 ( 1 )1 ( ) 43 4 3 4 3 4k k k 四边形 面积 2 2 22 2 2 21 1 4 1 2 ( 1 ) ( 1 )( 4 ) ( ) 2 42 2 3 4 ( 3 4 ) N P Qk k k k ， 令 2 1 ， 1t ，上式 2211 332 4 2 4( 1 ) ( 3 1 ) 3 ( 1 ) ( 3 1 )t t t t ， 令 2 1 , ( 3 )t z z ， 2 1 48 1 8 1 8 13 3 1 1( 1 ) ( 3 1 ) 3 ( ) 1 022 1 103z z （ 3z ）， 13 ( ) 1 0 0z z ， 8 (1 0 ) 8S ， 综上可得 8S ，最小值为 8. 21.【解析】 （ 1） ()0, ) 2 ( 2 ) ( 1 )1 ( 1 ) 2 ( 1 )( ) ( 1 ) 2 ( 1 ) x x ax a x af x x a a x x x 若 12a ，则 3a ， 2 ( 2 )( ) 0， ()0, ) 上单调递增； 若 12a ，则 3a ，而 1a ， 13a， 当 ( 1, 2) 时， ( ) 0；当 (0, 1)及 (2, ) 时 ( ) 0， 所以 () 1,2)a 上单调递减，在 (0, 1)a 及 (2, ) 单调递增； 若 12a ，则 3a ，同理可得 ()2, 1)a 上单调递减，在 (0,2) 及 ( 1, )a 单调递增 . （ 2）假设存在 a ，对任意1 2 1 2, ( 0 , ) ,x x x x ，有1212( ) ( ) 0f x f x 恒成立， 不妨设120 ，只要2121( ) ( ) 0f x f x ，即 2 2 1 1( ) ( )f x a x f x a x ， 令 ( ) ( )g x f x ，只要 () (0, ) 上为增函数， 21( ) 2 ( 1 ) l x x x a x 2219( ) 22 ( 1 ) 2 ( 1 ) 24( ) 1 x x ag x xx x x 只要 ( ) 0在 (0, ) 恒成立，只要 992 0 ,48 ，故存在 9 ,8a 时，对任意1 2 1 2, ( 0 , ) ,x x x x ，有1212( ) ( ) 0f x f x 恒成立 . （ 3）由题意知， 2 2 213( ) ( 1 ) 2 ( 1 ) l n ( 4 2 ) l n 2 l x x a x a x x x a x x x a x 221 1 1 1 2 2 2 2( ) 2 l n 0 , ( ) 2 l n 0h x x x a x h x x x a x 两式相减，整理得2 1 2 1 2 2 112 l n ( ) ( ) ( )x x x x x a x ，所以 2121212 l n()x ，又因为 2( ) 2h x x ， 所以21 2 2 11 2 1 221 2 2 1 11332 6 2 2 1 ( ) ( 2 ) l n ( )3 2 3 32xx x x xh x x a x x x x 令2133(1 , 4 ) , ( ) l n 2x tt t ，则 2( 1 ) ( 4 )( ) 0( 2 ) ， 所以 ()t 在 (1,4) 上单调递减，故 ( ) (1) 0t 又1221 0 , ( ) 03 ，所以 122( ) 0322.【解析】 （ 1） l 的普通方程 3 ( 1)3，121，联立方程组223 ( 1)31 解得 l 与11,0)A ， 13( , )22B ，则 3 （ 2）2co （ 为参数），故点 P 的坐标是 13( c o s , s i n )22，从而点 P 到直线 l 的距离是1013 s i n ( ) 1c o s s i n 122222 ，由此当) 1时， d 取得最大值，且最大值为