中国数学史概略

中国数学史概略 中国古代文明概述 中国是世界文明古国之一，地处亚洲东部，濒太平洋西岸。黄河流域和长江流域是中华民族文化的摇 篮，大约在公元前 2000 年，在黄河中下游产生了第一个奴隶制国家夏朝（前 2033?-前 1562?）,共经 历十三世、十六王。其后又有奴隶制国家商（前 562 年？1066 年？,共历十七世三十一王）和西周前 1027 年?前 771 年,共历约二百五十七年，传十一世、十二王。随后出现了中国历史上的第一次全国 性大分裂形成的时期春秋（前 770 年-前 476 年）战国（前 403 年-前 221 年），春秋后期,中国文明 进入封建时代,到公元前 221 年秦王赢政统一全国,出现了中国历史上第一个封建帝制国家秦朝（前 221 年前 206 年）,在以后的时间里,中国封建文明在秦帝国的封建体制的基础不断完善地持续发展,经 历了统一强盛的西汉（公元前 206 年公元 8 年）帝国、东汉王朝（公元 25 年公元 220 年）、战乱频 仍与分裂的三国时期（公元 208 年-公元 280 年）、西晋（公元 265 年公元 316 年）与东晋王朝（公元 317 年公元 420 年）、汉民族以外的少数民族统治的南朝（公元 420 年公元 589 年）与北朝（公元 386 年公元 518 年）。到了公元 581 年，由隋再次统一了全国，建立了大一统的隋朝（公元 581618 年），接着经历了强大富庶文化繁荣的大唐王朝（公元 618 年907 年）、北方少数民族政权辽（公元 916 年-公元 1125 年）、经济和文化发达的北宋（公元 960 年公元 1127 年）与南宋（公元 1127 年-公元 1279 年）、蒙古族建立的控制范围扩张至整个西亚地区的疆域最大的元朝（公元 1271 年-1368 年）、元 朝灭亡后，汉族人在华夏大地上重新建立起来的封建王朝明朝（公元 1368 年-公元 1644 年），明王 朝于 17 世纪中为少数民族女真族（满族）建立的清朝（公元 1616 年-公元 1911 年）所代替。清朝是中国 最后一个封建帝制国家。自此之后，中国脱离了帝制而转入了现代民主国家。 中国文明与古代埃及、美索不达米亚、印度文明一样，都是古老的农耕文明，但与其他文明截然不同， 它其持续发展两千余年之久，在世界文明史上是绝无仅有的。这种文明十分注重社会事务的管理，强调实 际与经验，关心人和自然的和谐与人伦社会的秩序，儒家思想作为调解社会矛盾、维系这一文明持续发展 的重要思想基础。 中国的起源与早期发展 据易系辞记载：上古结绳而治，后世圣人易之以书契。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多 记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有 13 个独立符号，记数用合文书写，其中 有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。 算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是 筹算在春秋时代已很普遍。 用算筹记数，有纵、横两种方式： 表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间法则是：一纵十横， 百立千僵，千、十相望，万、百相当，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条 件。 筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就 的。 在几何学方面史记夏本记中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已 发现勾三股四弦五这个勾股定理西方称勾股定理的特例。战国时期，齐国人着的考工记汇总 了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。 战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著 名的有墨经中关于某些几何名词的定义和命题，例如：圆，一中同长也、平，同高也等等。 墨家还给出有穷和无穷的定义。庄子记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题， 强调抽象的数学思想，例如至大无外谓之大一，至小无内谓之小一、一尺之棰，日取其半，万世不 竭等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性 和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。 此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的易经已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。 中国数学体系的形成与奠基 这一时期包括从秦汉、魏晋、南北朝，共 400 年间的数学发展历史。秦汉是中国古代数学体系的形成 时期，为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。 现传中国历史最早的数学专著是 1984 年在湖北江陵张家山出土的成书于西汉初的汉简算数书， 与其同时出土的一本汉简历谱所记乃吕后二年（公元前 186 年），所以该书的成书年代至晚是公元前 186 年（应该在此前）。 西汉末年公元前一世纪编纂的周髀算经，尽管是谈论盖天说宇宙论的天文学著作，但包含许 多数学内容，在数学方面主要有两项成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)测太阳高、远的陈子 测日法，为后来重差术（勾股测量法）的先驱。此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。 九章算术是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年公元 前一世纪。全书采用问题集的形式编写，共收集了 246 个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少 广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、 关于勾股测量的计算等。在代数方面，方程章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学 史上都是最早的记载；书中关于线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。就九章算术的特 点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。它的 一些成就如十进制值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世 界数学的发展。 魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中赵爽（生卒年代不详）和刘徽（生卒年代不详）的 工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。三国吴人赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早 的数学家之一，对周髀算经做了详尽的注释,在勾股圆方图注中用几何方法严格证明了勾股定理， 他的方法已体现了割补原理的思想。赵爽还提出了用几何方法求解二次方程的新方法。263 年，三国魏人 刘徽注释九章算术，在九章算术注中不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，系 统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，而且在其论述中多有创造，在卷 1方田中创立割圆 术（即用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的办法），为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学 的算法，他运用“割圆术”得出圆周率的近似值为 3927/1250（即 3.1416）；在商功章中，为解决球 体积公式的问题而构造了“牟合方盖”的几何模型，为祖暅获得正确结果开辟了道路；为建立多面体体积 理论，运用极限方法成功地证明了阳马术；他还撰著海岛算经，发扬了古代勾股测量术-重差术。 南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。出现了孙子算经、夏侯 阳算经、张丘建算经等算学著作。约于公元四-五世纪成书的孙子算经给出物不知数问题 并作了解答，导致求解一次同余组问题在中国的滥畅；张丘建算经的百鸡问题引出三个未知数的 不定方程组问题。 公元五世纪，祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性，他们在九章算术刘徽注的基础上， 将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。他们同时在天文学上也有突出的 贡献。其著作缀术已失传，根据史料记载，他们在数学上主要有三项成就：(1)计算圆周率精确到小 数点后第六位，得到 3.1415926 3.1415927，并求得 的约率为 22/7，密率为 355/113，其中密率 是分子分母在 1000 以内的最佳值，欧洲直到十六世纪德国人鄂图（valentinus otto）和荷兰人安托尼兹 （a.anthonisz)才得出同样结果；(2)祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积的正确公式，并提出“幂势 既同则积不容异“的体积原理，即二立体等高处截面积均相等则二体体积相等的定理。欧洲十七世纪意大 利数学家卡瓦列利（bonaventura cavalieri）才提出同一定理；(3)发展了二次与三次方程的解法。 同时代的天文历学家何承天创调日法，以有理分数逼近实数，发展了古代的不定分析与数值逼近算法。 中国数学教育制度的建立 隋朝大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通撰缉古算经，主要是通过土木工程中计算 土方、工程的分工与验收以及仓库和地窖计算等实际问题，讨论如何以几何方式建立三次多项式方程，发 展了九章算术中的少广、勾股章中开方理论。 隋唐时期是中国封建官僚制度建立时期，随着科举制度与国子监制度的确立，数学教育有了长足的发 展。656 年国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，由太史令李淳风等人编纂注释算经十书包括 周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、张丘建算经、夏侯阳算经、缉 古算经、五曹算经、五经算术和缀术，作为算学馆学生用的课本。对保存古代数学经典 起了重要的作用。 由于南北朝时期的一些重大天文发现在隋唐之交开始落实到历法编算中，使唐代历法中出现一些重要 的数学成果。公元 600 年，隋代刘焯在制订皇极历时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式，这 在数学史上是一项杰出的创造，唐代僧一行在其大衍历中将其发展为不等间距二次内插公式。 唐朝后期，计算技术有了进一步的改进和普及，出现很多种实用算术书，对于乘除算法力求简捷。 中国数学发展的高峰 唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣， 科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪宋、元两代，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空 前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的黄帝 九章算法细草11 世纪中叶，刘益的议古根源12 世纪中叶，秦九韶的数书九章 1247，李冶的测圆海镜1248和益古演段1259，杨辉的详解九章算法1261、 日用算法1262和杨辉算法1274-1275，朱世杰的算学启蒙1299和四元玉鉴 1303等等。 宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，也是当时世界数学的巅峰。其中主要的工 作有： 公元 1050 年左右，北宋贾宪（生卒年代不详）在黄帝九章算法细草中创造了开任意高次幂的 “增乘开方法”，公元 1819 年英国人霍纳（william george horner）才得出同样的方法。贾宪还列出了 二项式定理系数表，欧洲到十七世纪才出现类似的“巴斯加三角”。（黄帝九章算法细草已佚） 公元 10881095 年间，北宋沈括从“酒家积罂”数与“层坛”体积等生产实践问题提出了“隙积术” ，开始对高阶等差级数的求和进行研究，并创立了正确的求和公式。沈括还提出“会圆术”，得出了我国 古代数学史上第一个求弧长的近似公式。他还运用运筹思想分析和研究了后勤供粮与运兵进退的关系等问 题。 公元 1247 年，南宋秦九韶在数书九章中推广了增乘开方法，叙述了高次方程的数值解法，他列 举了二十多个来自实践的高次方程的解法，最高为十次方程。欧洲到十六世纪意大利人菲尔洛（scipio del ferro）才提出三次方程的解法。秦九韶还系统地研究了一次同余式理论。 公元 1248 年，李冶（李治，公元 1192 一 1279 年）著的测圆海镜是第一部系统论述“天元术” （一元高次方程）的著作，这在数学史上是一项杰出的成果。在测圆海镜序中，李冶批判了轻视科 学实践，以数学为“九九贱技”、“玩物丧志”等谬论。 公元 1261 年，南宋杨辉（生卒年代不详）在详解九章算法中用“垛积术”求出几类高阶等差级 数之和。公元 1274 年他在乘除通变本末中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。 公元 1280 年，元代王恂、郭守敬等制订授时历时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方 法求出相当于现在球面三角的两个公式。 公元 1303 年，元代朱世杰（生卒年代不详）著四元玉鉴，他把“天元术”推广为“四元术” （四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元 1775 年法国人别朱（etienne bezout）才提出同 样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到 公元 1670 年英国人格里高利（james gregory)和公元 1676 一 1678 年间牛顿（issac newton）才提出内 插法的一般公式。 公元十四世纪我国人民已使用珠算盘。在现代计算机出现之前，珠算盘是世界上简便而有效的计算工 具。 中国数学的衰落与日用数学的发展 这一时期指十四世纪中叶明王朝建立到明末的 1582 年。数学除珠算外出现全面衰弱的局面，当中涉 及到中算的局限、十三世纪的考试制度中已删减数学内容、明代大兴八段考试制度等复杂的问题，不少中 外数学史家仍探讨当中涉及的原因。 明代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算读本，及至程大位的直指算法统宗1592问世， 珠算理论已成系统，标志着从筹算到珠算转变的完成。但由于珠算流行，筹算几乎绝迹，建立在筹算基础 上的古代数学也逐渐失传，数学出现长期停滞。 西方初等数学的传入与中西合璧 十六世纪末开始，西方传教士开始到中国活动，由于明清王朝制定天文历法的需要，传教士开始将与 天文历算有关的西方初等数学知识传入中国，中国数学家在“西学中源”思想支配下，数学研究出现了一 个中西融合贯通的局面。 十六世纪末，西方传教士和中国学者合译了许多西方数学专着。其中第一部且有重大影响的是意大利 传教士利马窦和徐光启合译的几何原本前 6 卷1607，其严谨的逻辑体系和演译方法深受徐光启推 崇。徐光启本人撰写的测量异同和勾股义便应用了几何原本的逻辑推理方法论证中国的勾股 测望术。此外，几何原本课本中绝大部份的名词都是首创，且沿用至今。在输入的西方数学中仅次于 几何的是三角学。在此之前，三角学只有零星的知识，而此后获得迅速发展。介绍西方三角学的著作有邓 玉函编译的大测2 卷，1631、割圆八线表6 卷和罗雅谷的测量全义10 卷，1631。 在徐光启主持编译的崇祯历书137 卷，1629-1633中，介绍了有关圆椎曲线的数学知识。 入清以后，会通中西数学的杰出代表是梅文鼎，他坚信中国传统数学必有精理，对古代名著做了 深入的研究，同时又能正确对待西方数学，使之在中国扎根，对清代中期数学研究的高潮是有积极影响的。 与他同时代的数学家还有王锡阐和年希尧等人。 清康熙帝爱好科学研究，他御定的数理精蕴 53 卷，1723，是一部比较全面的初等数学书，对当时的数学研究有一定影响。 传统数学的整理与复兴 乾嘉年间形成一个以考据学为主的干嘉学派，编成四库全书，其中数学著作有算经十书和宋 元时期的著作，为保存濒于湮没的数学典籍做出重要贡献。 在研究传统数学时，许多数学家还有发明创造，例如有谈天三友之称的焦循、汪莱及李锐作出不 少重要的工作。李善兰在垛积比类约 1859中得到三角自乘垛求和公式，现在称之为李善兰恒 等式。这些工作较宋元时期的数学进了一步。阮元、李锐等人编写了一部天文学家和数学家传记畴人 传46 卷1795-1810，开数学史研究之先河。 西方数学再次东进 1840 年鸦战争后，闭关锁国政策被迫中止。同文馆内添设算学，上海江南制造局内添设翻译馆， 由此开始第二次翻译引进的高潮。主要译者和著作有：李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的几何原本 后 9 卷1857，使中国有了完整的几何原本中译本；代数学13 卷1859；代微积拾级 18 卷1859。李善兰与英国传教士艾约瑟合译圆锥曲线说3 卷，华蘅芳与英国传教士傅兰雅合译 代数术25 卷1872，微积溯源8 卷1874，决疑数学10 卷1880等。在这些译着中， 创造了许多数学名词和术语，至今仍在应用。 1898 年建立京师大学堂，同文馆并入。1905 年废除科举， 建立西方式学校教育，使用的课本也与西方其它各国相仿。 中国现代数学的建立 这一时期是从 20 世纪初至今的一段时间，常以 1949 年新中国成立为标志划分为两个阶段。 中国近现代数学开始于清末民初的留学活动。较早出国学习数学的有 1903 年留日的冯祖荀，1908 年 留美的郑之蕃，1910 年留美的胡明复和赵元任，1911 年留美的姜立夫，1912 年留法的何鲁，1913 年留日 的陈建功和留比利时的熊庆来1915 年转留法，1919 年留日的苏步青等人。他们中的多数回国后成为 著名数学家和数学教育家，为中国近现代数学发展做出重要贡献。其中胡明复 1917 年取得美国哈佛大学 博士学位，成为第一位获得博士学位的中国数学家。随着留学人员的回国，各地大学的数学教育有了起色。 最初只有北京大学 1912 年成立时建立的数学系，1920 年姜立夫在天津南开大学创建数学系，1921 年和 1926 年熊庆来分别在东南大学今南京大学和清华大学建立数学系，不久武汉大学、齐鲁大学、浙江 大学、中山大学陆续设立了数学系，到 1932 年各地已有 32 所大学设立了数学系或数理系。1930 年熊庆 来在清华大学首创数学研究部，开始招收研究生，陈省身、吴大任成为国内最早的数学研究生。三十年代 出国学习数学的还有江泽涵1927、陈省身1934、华罗庚1936、许宝騤1936等人，他们都 成为中国现代数学发展的骨干力量。同时外国数学家也有来华讲学的，例如英国的罗素1920，美国的 伯克霍夫1934、奥斯古德1934、维纳1935，法国的阿达马1936等人。1935 年中国数学 会成立大会在上海召开，共有 33 名代表出席。1936 年中国数学会学报和数学杂志相继问世，这 些标志着中国现代数学研究的进一步发展。 解放以前的数学研究集中在纯数学领域，在国内外共发表论 着 600 余种。在分析学方面，陈建功的三角级数论，熊庆来的亚纯函数与整函数论研究是代表作，另外还 有泛函分析、变分法、微分方程与积分方程的成果；在数论与代数方面，华罗庚等人的解析数论、几何数 论和代数数论以及近世代数研究取得令世人瞩目的成果;在几何与拓扑学方面，苏步青的微分几何学，江 泽涵的代数拓扑学，陈省身的纤维丛理论和示性类理论等研究做了开创性的工作：在概率论与数理统计方 面，许宝騤在一元和多元分析方面得到许多基本定理及严密证明。此外，李俨和钱宝琮开创了中国数学史 的研究，他们在古算史料的注释整理和考证分析方面做了许多奠基性的工作，使我国的民族文化遗产重放 光彩。 1949 年 11 月即成立中国科学院。1951 年 3 月中国数学学报复刊1952 年改为数学学报， 1951 年 10 月中国数学杂志复刊1953 年改为数学通报。1951 年 8 月中国数学会召开建国后 第一次国代表大会，讨论了数学发展方向和各类学校数学教学改革问题。 建国后的数学研究取得长足进步。50 年代初期就出版了华罗庚的堆栈素数论1953、苏步青 的射影曲线概论1954、陈建功的直角函数级数的和1954和李俨的中算史论丛5 集 1954-1955等专着，到 1966 年，共发表各种数学论文约 2 万余篇。除了在数论、代数、几何、拓扑、 函数论、概率论与数理统计、数学史等学科继续取得新成果外，还在微分方程、计算技术、运筹学、数理 逻辑与数学基础等分支有所突破，有许多论着达到世界先进水平，同时培养和成长起一大批优秀数学家。 60 年代后期，中国的数学研究基本停止，教育瘫痪、人员丧失、对外交流中断，后经多方努力状况 略有改变。1970 年数学学报恢复出版，并创刊数学的实践与认识。1973 年陈景润在中国科学 上发表大偶数表示为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和的论文，在哥德巴赫猜想的研究中取 得突出成就。此外中国数学家在函数论、马尔可夫过程、概率应用、运筹学、优选法等方面也有一定创见。 1978 年 11 月中国数学会召开第三次代表大会，标志着中国数学的复苏。1978 年恢复全国数学竞赛， 1985 年中国开始参加国际数学奥林匹克数学竞赛。1981 年陈景润等数学家获国家自然科学奖励。1983 年 国家首批授于 18 名中青年学者以博士学位，其中数学工作者占 2/3。1986 年中国第一次派代表参加国际 数学家大会，加入国际数学联合会，吴文俊应邀作了关于中国古代数学