一次函数专题课(2)

一次函数专题课（2）一次函数与几何图形 姓名：_ 学习目标：1、熟练运用一次函数解决几何问题；2、进一步体会数形结合的思想方法； 3、体会一次函数与几何图形的内在联系. 学习过程： 一、自主预习： 1、 （2014山东烟台）如图，点 P 是ABCD 边上一动点，沿 AD C B 的路径移动，设 P 点经 过的路径长为 x，BAP 的面积是 y，则下列能大致反映 y 与 x 的函数关系的图象是（ ） A B C D. . 2、如图 1，在矩形 中，动点 从点 出发，沿 方向运动至点 处停MNPQRNPQM 止设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，如果 关于 的Rx yx 函数图象如图 2 所示，则当 时，点 应运动到（ ）9 A 处 B 处 C 处 D 处M 3、如图，在平面直角坐标系中，直线 y= 2x 6 与 x 轴、y 轴分别相 交于点 A、B，点 C 在 x 轴上，若 ABC 是等腰三角形，试求点 C 的坐标。 二、合作探究： 活动 1、 （2014 黑龙江龙东）如图，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 ABCD 中，AD 边的 中点处有一动点 P，动点 P 沿 PDCBAP 运动一周，则 P 点的纵坐标 y 与点 P 走过的路程 s 之间的函数关系用图象表示大致是（ ） 活动 2、如图，直线 y= 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，M 是 OB 上的一点，834 若将ABM 沿 AM 折叠，点 B 恰好落在 x 轴上的点 B处，试求直线 AM 的函数关系式。 Q P R M N （图 1） （图 2） 4 9 y xO x y A B O A M B B O x y 2 活动 3、(2014 年贵州黔东南 )在如图所示的平面直角坐标系中，点 P 是直线 y=x 上 的动点，A（1，0） ，B（2，0）是 x 轴上的两点，则 PA+PB 的最小值为 _ 三、自主练习： 1、 （2014四川巴中）如图，直线 y= x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， 把A0B 绕点 A 顺时针旋转 90后得到AO B，则点 B的坐标是 2、 （2014 四川广安）如图，在ABC 中，AC=BC，有一动点 P 从点 A 出发，沿 ACBA 匀速运动则 CP 的长度 s 与时间 t 之间的函数关系用图象描述大致 是（ ） 3、 （2014江苏苏州）如图，已知函数 y= x+b 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，与函数 y=x 的图象交于点 M，点 M 的横坐标为 2，在 x 轴上有一点 P（a，0） （其中 a2） ，过点 P 作 x 轴的 垂线，分别交函数 y= x+b 和 y=x 的图象于点 C、D （1）求点 A 的坐标； （2）若 OB=CD，求 a 的值 4、 （2014黑龙江龙东改编）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴正半轴上， 顶点 B 在 x 轴正半轴上，点 A、B 的坐标分别为（0，4） 、 （3，0） 。 （1）求点 D 的坐标 （2）求直线 BC 的解析式 （3）在直线 BC 上是否存在点 P，使PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不 存在，说明理由 3 一、自主预习： 1、考点：平行四边形的性质，函数图象 分析：分三段来考虑点 P 沿 AD 运动，BAP 的面积逐渐变大；点 P 沿 DC 移动，BAP 的面 积不变；点 P 沿 CB 的路径移动，BAP 的面积逐渐减小，据此选择即可 解答：点 P 沿 AD 运动， BAP 的面积逐渐变大；点 P 沿 DC 移动，BAP 的面积不变； 点 P 沿 CB 的路径移动，BAP 的面积逐渐减小故选： A 点评： 本题主要考查了动点问题的函数图象注意分段考虑 2、C 3、由题 A(3,0) B(0,-6)C(m，0)若ABC 是等腰三角形 情况 1：AB=AC AB= 所以此时 C 点坐标是(3 ，0)4545 情况 2：BC=AB 观察图像，此时 C 和 A 对称所以 C(-3，0) 情况 3：AC=BC (m-3)=m+6 -6m=27 m=-4.5 此时 C(-4.5，0) 综合以上 C 点坐标是(3 ，0)或者(-3，0)或者(-4.5 ，0)45 二、合作探究： 1、考点： 动点问题的函数图象. 分析： 将动点 P 的运动过程划分为 PD、DC、CB 、BA、AP 共 5 个阶段，分别进行分析，最后 得出结论 解答： 解：动点 P 运动过程中： 当 0s时，动点 P 在线段 PD 上运动，此时 y=2 保持不变； 当s时，动点 P 在线段 DC 上运动，此时 y 由 2 到 1 逐渐减少； 当s时，动点 P 在线段 CB 上运动，此时 y=1 保持不变； 当s时，动点 P 在线段 BA 上运动，此时 y 由 1 到 2 逐渐增大； 当s4 时，动点 P 在线段 AP 上运动，此时 y=2 保持不变 结合函数图象，只有 D 选项符合要求 故选 D 点评： 本题考查了动点运动过程中的函数图象把运动过程分解，进行分类讨论是解题的关键 2、解：当 x=0 时，y=8；当 y=0 时，x=6，OA=6， OB=8，AB=10，根据已知得到 BM=B M， AB=AB=10，OB=4 ，设 BM=x，则 BM=x，OM=8x，在直角BMO 中，x 2= （8x） 2+42， x=5，OM=3，M （0 ，3） ，设直线 AM 的解析式为 y=kx+b，把 M（0，3 ） ，A（ 6，0）代入其中 得: k= ，b=3，y= x+3 4 3、考点： 轴对称-最短路线问题；一次函数图象上点的坐标特征菁优网 分析： 利用一次函数图象上点的坐标性质得出 OA=1，进而利用勾股定理得出即可 解答： 解：如图所示：作 A 点关于直线 y=x 的对称点 A，连接 AB ，交直线 y=x 于点 P， 此时 PA+PB 最小，由题意可得出： OA=1，BO=2，PA=PA，PA+PB=A B= = 故答案为： 点评： 此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及一次函数图象上点的特征等知识，得出 P 点位置是解题关键 三、自主练习： 1、考点：一次函数的性质，旋转 分析：首先根据直线 AB 来求出点 A 和点 B 的坐标，B的横坐标等于 OA+OB，而纵坐标等于 OA， 进而得出 B的坐标 解答：直线 y=x +4 与 x 轴，y 轴分别交于 A（3，0） ，B （0，4）两点旋转前后三角形全等 由图易知点 B的纵坐标为 OA 长，即为 3，即横坐标为 OA+OB=OA+OB=3+4=7 故点 B的坐标是（7，3） 故答案为：（7，3） 点评：本题主要考查了对于图形翻转的理解，其中要考虑到点 B 和点 B位置的特殊性，以及点 B 的坐标与 OA 和 OB 的关系 2、 考点： 动点问题的函数图象 分析： 该题属于分段函数：点 P 在边 AC 上时，s 随 t 的增大而减小；当点 P 在边 BC 上时， s 随 t 的增大而增大；当点 P 在线段 BD 上时，s 随 t 的增大而减小；当点 P 在线段 AD 上时，s 随 t 的增大而增大 解答： 解：如图，过点 C 作 CDAB 于点 D 在ABC 中，AC=BC ， AD=BD 点 P 在边 AC 上时，s 随 t 的增大而减小故 A、B 错误； 当点 P 在边 BC 上时，s 随 t 的增大而增大； 当点 P 在线段 BD 上时，s 随 t 的增大而减小，点 P 与点 D 重合时，s 最小，但是 不等于零故 C 错误； 当点 P 在线段 AD 上时，s 随 t 的增大而增大故 D 正确 故选：D 点评： 本题考查了动点问题的函数图象用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识 图 3、 考点： 两条直线相交或平行问题 专题： 计算题 分析： （1）先利用直线 y=x 上的点的坐标特征得到点 M 的坐标为（2，2） ，再把 M（2，2）代入 y=x+b 可计算出 b=3，得到一次函数的解析式为 y=x+3 ，然后根据 x 轴上点的坐标特征 5 可确定 A 点坐标为（6，0） ； （2）先确定 B 点坐标为（0， 3） ，则 OB=CD=3，再表示出 C 点坐标为（a， a+3） ，D 点 坐标为（a，a） ，所以 a（ a+3）=3，然后解方程即可 解答： 解：（1）点 M 在直线 y=x 的图象上，且点 M 的横坐标为 2， 点 M 的坐标为（ 2，2） ， 把 M（2，2）代入 y= x+b 得1+b=2，解得 b=3， 一次函数的解析式为 y= x+3， 把 y=0 代入 y= x+3 得 x+3=0，解得 x=6， A 点坐标为（6，0） ； （2）把 x=0 代入 y= x+3 得 y=3， B 点坐标为（0，3） ， CD=OB，CD=3，PCx 轴， C 点坐标为（a ， a+3） ，D 点坐标为（a ，a） a（ a+3）=3，a=4 点评： 本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应 的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自 变量系数相同，即 k 值相同 4、 （2014黑龙江龙东改编）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴正半轴上， 顶点 B 在 x 轴正半轴上，点 A、B 的坐标分别为（0，4） 、 （3，0） 。 （1）求点 D 的坐标 （2）求直线 BC 的解析式 （3）在直线 BC 上是否存在点 P，使PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不 存在，说明理由 考点： 一次函数综合题. 专题： 压轴题 分析： （1）解一元二次方程求出 OA、OB 的长度，过点 D 作 DEy 于点 E，根据正方形的性质 可得 AD=AB， DAB=90，然后求出ABO=DAE ，然后利用“ 角角边”证明DAE 和ABO 全等， 根据全等三角形对应边相等可得 DE=OA，AE=OB，再求出 OE，然后写出点 D 的坐标即可； （2）过点 C 作 CMx 轴于点 M，同理求出点 C 的坐标，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（k0，k、b 为常数） ，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答； （3）根据正方形的性质，点 P 与点 B 重合时， PCD 为等腰三角形；点 P 为点 B 关于点 C 的对称 点时，PCD 为等腰三角形，然后求解即可 解答： 解：（1）点 A、B 的坐标分别为（0，4） 、 （3 ，0） ， OA=4，OB=3，过 D 作 DEy 于 点 E，正方形 ABCD，AD=AB，DAB=90， DAE+OAB=90， ABO+OAB=90， 6 ABO=DAE，DEAE， AED=90=AOB，在 DAE 和 ABO 中， ，DAEABO（AAS ） ，DE=OA=4，AE=OB=3， OE=7，D（4，7） ； （2）过点 C 作 CMx 轴于点 M，同上可证得 BCMABO，CM=OB=3 ，BM=OA=4 ， OM=7，C（7，3） ，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（k0，k、b 为常数） ， 代入 B（3，0） ，C（7，3）得， ，解得 ， y=x； （3）存在 点 P 与点 B 重合时，P 1（3，0） ， 点 P 与点 B 关于点 C 对称时， P2（11，6） 点评： 本题是一次函数综合题型，主要利用了解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形 的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质， （1）作辅助线构造 出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点 补充： （2014山东淄博 ,第 22 题 8 分）如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标是（0.3） ，点 C 是 x 轴 上的一个动点，点 C 在 x 轴上移动时，始终保持 ACP 是等边三角形当点 C 移动到点 O 时，得 到等边三角形 AOB（此时点 P 与点 B 重合） （1）点 C 在移动的过程中，当等边三角形 ACP 的顶点 P 在第三象限时（如图） ，求证： AOCABP；由此你发现什么结论？ （2）求点 C 在 x 轴上移动时，点 P 所在函数图象的解析式 考点： 一次函数综合题菁优网 分析： （1）由等边三角形的性质易证 AO=AB，AC=AP，CAP=OAB=60 ；然后由图示知 CAP+PAO=OAB+ PAO，即CAO=PAB所以根据 SAS 证得结论； （2）利用（1）中的结论 PBAB根据等边三角形的性质易求点 B 的坐标为 B（ ， ） 再由旋 转的性质得到当点 P 移动到 y 轴上的坐标是（0，3） ，所以根据点 B、P 的坐标易求直线 BP 的解 析式 解答： （1）证明：AOB 与ACP 都是等边三角形， 7 AO=AB，AC=AP，CAP=OAB=60， CAP+PAO=OAB+ PAO， CAO=PAB， 在AOC 与ABP 中， AOCABP（SAS） COA=PBA=90， 点 P 在过点 B 且与 AB 垂直的直线上或 PBAB 或AB