一次函数与实际问题分类汇编

1 实际问题中构建“一次函数”模型的常见方法 （一） 、根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题 特点：当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时，可以根据二者之间的关系直接写出关系式，然后解决问题， 1.某办公用品销售商店推出两种优惠方法：购 1 个书包，赠送 1 支水性笔；购书包和水性笔一律按 9 折优惠书包每个定价 20 元，水性笔每支定价 5 元小丽和同学需买 4 个书包，水性笔若干支（不少于 4 支） （1）分别写出两种优惠方法购买费用 y（元）与所买水性笔支数 x（支）之间的函数关系式； （2）对 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；x （3）小丽和同学需买这种书包 4 个和水性笔 12 支，请你设计怎样购买最经济 2，某实验中学组织学生到距学校 6 千米的光明科技馆去参观，学生王琳因事没能乘上学校的校车，于是准备在学校门口改乘出 租车去光明科技馆，出租车的收费标准为：3 千米以下（含 3 千米）收费 8 元，3 千米以上，每增加 1 千米，收费 1.8 元。 （1）写出出租车行驶的里程数 x 与费用 y 之间的解析式。 （2）王彬身上仅有 14 元，乘出租车到科技馆的车费够不够？请你说明理由。 3、 某市电话的月租费是 20 元，可打 60 次免费电话（每次 3 分钟） ，超过 60 次后，超过部分每次 0.13 元。 （1）写出每月电话费 y（元）与通话次数 x之间的函数关系式；（分段函数） （2）分别求出月通话 50 次、100 次的电话费； （3）如果某月的电话费是 27.8 元，求该月通话的次数。 4、我市某地一家农工商公司收获的一种绿色蔬菜，共 140 吨，若在市场上直接销售，每吨利润为 1000 元，经粗加工后，每吨利 润可达 4500 元，经细加工后，每吨利润为 6500 元。该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工 16 吨； 如果对蔬菜进行精加工，每天可加工 6 吨；但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在 15 天内（含 15 天） 将这批蔬菜全部销售或加工完毕。为此公司研制了两种可行方案：方案一：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工 的蔬菜，在市场上直接出售。方案二：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工。 写出方案一所获利润 W 1； 求出方案二所获利润 W 2（元）与精加工蔬菜数 x（吨）之间的函数关系式； 你认为任何安排加工（或直接销售）使公司获利最多？最大利润是多少？ （二） 、明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式； 2 特点：所给问题中已经明确告知为一次函数关系或者给出函数的图像为直线或直线的一部分时，就等于告诉我们此函数为“一 次函数” ，此时可以利用待定系数法，设关系式为： y=kx+b ,然后寻找满足关系式的两个 x 与 y 的值或两个图像上的点，代 入求解即可。 1、 某地上年度电价为 0.8 元，年用电量为 1 亿度。本年计划将电价调至 0.550.75 元之间，经测算，若电价调至 x 元，则本年度 新增用电量 y (亿度)与(x 0.4 )(元)成反比例，又当 x = 0.65 时，y = 0.8。 (1)、求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)、若每度电的成本价为 0.3 元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%？ 收益 = 用电量 ( 实 际电价 成本价 ) 4、某地长途汽车客运公司规定，旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定， 则需要购买行李票，行李票费用 y（元）是行李重量 x（公斤）的一次函数，其 图象如图所示。求 (1)y 与 x 之间的函数关系式 旅客最多可免费携带行李的公斤数。 5、在抗击“非典”中，某医药研究所开发了一种预防“非典”的药品.经试验这种药品的效果得知：当成 人按规定剂量服用该药后 1 小时时，血液中含药量最高，达到每毫升 5 微克，接着逐步衰减，至 8 小 时时血液中含药量为每毫升 1.5 微克.每毫升血液中含药量 y(微克)随时间 x(小时)的变化如图所示. 在成人按规定剂量服药后： (1)分别求出 x1，x1 时 y 与 x 之间的函数关系式； (2)如果每毫升血液中含药量为 2 微克或 2 微克以上，对预防“非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时？ 6、.已知 A、 B 两城相距 600 千米，甲、乙两车同时从 A 城出发驶向 B 城，甲车到达 B 城后立即沿原路返 回下 图是它们离 A 城的距离 y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图像。 （1）求甲车在行驶过程中 y 与 x 之间的函数关系式；（分段函数） （2）当它们行驶了 7 小时时，两车相遇 求乙车的速度. 行李票费用（元） 行李重量（公斤） x 8060 y 10 6 3 （三） 、利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式； 特点：所给题目一般涉及三个以上的量，而这些数量之间往往互相牵制，互有联系，因此要有足够耐心审题并逐个理清两两之间 的关系，书写所要求的函数关系时要注意适当的等量代换！ 1.某公司装修需用 A 型板材 240 块、B 型板材 180 块，A 型板材规格是 60 cm30 cm，B 型板材规格是 40 cm30 cm现只能购得规格是 150 cm30 cm 的标准板材一张标准板材尽可能多地裁出 A 型、B 型 板材，共有下列三种裁法：（图 15 是裁法一的裁剪示意图） 设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁 x 张、按裁法二裁 y 张、按裁法三裁 z 张，且所裁出的 A、B 两种型号的板材刚好够用 （1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出 y 与 x 和 z 与 x 的函数关系式； （3）若用 Q 表示所购标准板材的张数，求 Q 与 x 的函数关系式， 并指出当 x 取何值时 Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材 多少张？ 2.“一方有难，八方支援” 在抗击“512”汶川特大地震 灾害中，某市组织 20 辆汽车装运食品、药品、生活用品三 种救灾物资共 100 吨到灾民安置点按计划 20 辆汽车都要 装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满根 据 表中提供的信息，解答下列问题： （1）设装运食品的车辆数为 x，装运药品的车辆数为 y求 y 与 x 的函数关系式； （2）如果装运食品的车辆数不少于 5 辆，装运药品的车辆数不少于 4 辆，那么车辆的安排有哪几种方案?（3）在（2）的条件下， 若要求总运费最少，应采用哪种安排方案?并求出最少总运费 3、 辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织 20 辆汽车装运三 种苹果 42 吨到外地销售。按规定每辆车只装同一种苹果， 且必须装满，每种苹果不少于 2 车。 （1）设用 x辆车装运 A 种苹果，用 y辆车装运 B 种苹果，根 裁法一 裁法二 裁法三 A 型板材块数 1 2 0 B 型板材块数 2 m n 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元/吨） 120 160 100 苹果品种 A B C 每辆汽车运载量 （吨） 2.2 2.1 2 每吨苹果获利 （百元） 6 8 5 图 15 60 40 40 150 30 单位：cm A B B 4 据下表提供的信息求 y与 x之间的函数关系式，并求 x的取值范围； （2）设此次外销活动的利润为 W（百元） ，求 W 与 的函数关系式以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案。 （四） 、根据各类信息猜测函数类型为一次函数，并验证猜想。 特点：所给问题中并不明确告知函数类型，而让同学自己通过分析数据变化规律，猜测函数类型，并说明理由或加以验证，此 类问题应 “有猜有验”或者要文字说明推断是“一次函数”的理由， 常见题型：给问题多是表格形式出现或者通过描点观察函数图像的形状猜测类型。 1.某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费 y（元）与复印页数 x（页）的关系如下表： x(页) 100 200 400 1000 y(元) 40 80 160 400 、若 y 与 x 满足我们学过的某一函数关系，求函数的解析式； 、现在乙复印社表示：若学校先按每月付给 200 元的承包费，则可按每页 0.15 元收费。则乙复印社每月收费 y（元）与复印 页数 x（页）的函数关系为 ； 、在给出的坐标系内画出（1） 、 （2）中的函数图象，并回答每月复印页数在 1200 左右应选择哪个复印社？ （五） 、交点问题及直线围成的面积问题 方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解； 复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形） ； 往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高； 1、 已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点 A（3,4） ，且 OA=OB （1） 求两个函数的解析式； （2）求AOB 的面积； 2、 已知直线 m 经过两点（1,6） 、 （-3，-2 ） ，它和 x 轴、y 轴的交点式 B、A，直线 n 过点（2，-2 ） ， 且与 y 轴交点的纵坐标是-3，它和 x 轴、y 轴的交点是 D、C； （1） 分别写出两条直线解析式，并画草图； （2） 计算四边形 ABCD 的面积； （3） 若直线 AB 与 DC 交于点 E，求BCE 的面积。 B A 12 34 0 4321 O x y