一元一次方程知识点及经典例题

一、知识要点梳理 知识点一：方程和方程的解 1.方程：含有_的_叫方程 注意：a.必须是等式 b.必须含有未知数。 易错点：（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；（2）.方程中的未知数可以用 x 表示，也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。 考法：判断是不是方程： 例：下列式子：(1).8-7=1+0 (2). 1、 一元一次方程： 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中 x 是未知数，a,b 是已知数，且 a0)。 要点诠释： 一元一次方程须满足下列三个条件： （1） 只含有一个未知数； （2） 未知数的次数是 1 次； （3） 整式方程 2、方程的解： 判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等 知识点二：一元一次方程的解法 1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质） 等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，结果仍相等。 如果 ，那么 ；(c 为一个数或一个式子)。 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。 如果 ，那么 ；如果 ，那么 要点诠释： 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数，分数的值不变。 即： （其中 m0） 特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小 数）化为整数，如方程： =1.6，将其化为： =1.6。方 程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。 2、解一元一次方程的一般步骤： 解一元一次方程的一般步骤 变形 步骤 具 体 方 法 变 形 根 据 注 意 事 项 去分 母 方程两边都乘以 各个分母的最小公倍 数 等式性质 2 1不能漏乘不含分母的项； 2分数线起到括号作用，去掉分 母后，如果分子是多项式，则要加括 号 2 去括 号 先去小括号，再 去中括号，最后去大 括号 乘法分配律、 去括号法则 1分配律应满足分配到每一项 2注意符号，特别是去掉括号 移 项 把含有未知数的 项移到方程的一边， 不含有未知数的项移 到另一边 等式性质 1 1移项要变号； 2一般把含有未知数的项移到方 程左边，其余项移到右边 合并 同 类 项 把方程中的同类项 分别合并，化成“ ”的形式（bax ）0 合并同类项 法则 合并同类项时，把同类项的系数 相加，字母与字母的指数不变 未知 数的 系数 化成 “1” 方程两边同除以 未知数的系数 ，得ax等式性质 2 分子、分母不能颠倒 要点诠释： 理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: a0 时，方程有唯一解 ； a=0，b=0 时，方程有无数个解； a=0，b0 时，方程无解。 牛刀小试 例 1、解方程 （1）y- 52y 例 2、由两个方程的解相同求方程中子母的值 已知方程 的解与方程 的解相同，求 m 的值.104x52x 例 3 、解方程知识与绝对值知识综合题型 解方程： 7|12|x 3 二、经典例题透析 类型一：一元一次方程的相关概念 1、已知下列各式： 2x51；871；xy； xyx 2；3xy6；5x3y4z0； 8；x0。其中方程的个数是( ) A、5 B、6 C、7 D、8 举一反三： 变式 1判断下列方程是否是一元一次方程： （1）-2x 2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+ =2 （4）2x 2-1=1-2(2x-x2) 变式 2已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+60 是一元一次方程，求 a 的值。 变式 3（2011 重庆江津）已知 3 是关于 x 的方程 2xa=1 的解,则 a 的值是( ) A5 B5 C7 D2 类型二：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。 如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步 骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。 1巧凑整数解方程： 2、 举一反三： 变式解方程： 2x5 2 巧去括号解方程： 4、 举一反三： 4 变式解方程： 4运用拆项法解方程： 5、 5巧去分母解方程： 6、 举一反三： 变式（2011 山东滨州）依据下列解方程 的过程，请在前面的括 号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。 解：原方程可变形为 (_) 去分母，得 3（3x+5）=2(2x-1). (_) 去括号，得 9x+15=4x-2. （_） (_),得 9x-4x=-15-2. (_) 合并，得 5x=-17. (合并同类项) （_）,得 x= . （_） 6巧组合解方程： 7、 思路点拨：按常规解法将方程两边同乘 72 化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第 一项和右边的第二项中的分母有公约数 3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数 4，移项局部通分化简，可简化解题过程。 7巧解含有绝对值的方程： 8、|x2|30 思路点拨：解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元 一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化 为两个一元一次方程分别解之，即若|x|m，则 xm 或 xm；也可以根据绝对值的几 何意义进行去括号，如解法二。 5 举一反三： 【变式 1】 （2011 福建泉州）已知方程 ，那么方程的解是_. ； 变式 2 5|x|-163| x|-4 变式 3 8利用整体思想解方程： 9、 思路点拨：因为含有 的项均在“ ”中，所以我们可以将 作为一个整体， 先求出整体的值，进而再求 的值。 参考答案 例 1：解：是方程的是，共六个，所以选 B 总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式； 二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。 举一反三 1.解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。 答案：（1） （2） （3）不是， （4）是 2.解析：分两种情况： （1）只含字母 y，则有(a-3)(2a+5)0 且 a-30 （2）只含字母 x，则有 a-30 且(a-3)(2a+5)0 不可能 综上， a 的值为 。 3.答案：B 例 2. 解：移项，得 。 合并同类项，得 2x1。 系数化为 1，得 x 。 举一反三 解：原方程可变形为 2x5 6 整理，得 8x18(215x)2x5， 去括号，得 8x18215x2x5 移项，得 8x15x2x5182 合并同类项，得9x21 系数化为 1，得 x 。 例 4 解：去括号，得 去小括号，得 去分母，得(3x5)88 去括号、移项、合并同类项，得 3x21 两边同除以 3，得 x7 原方程的解为 x7 举一反三 解：依次移项、去分母、去大括号，得 依次移项、去分母、去中括号，得 依次移项、去分母、去小括号，得 ，x48 例 5 解：原方程逆用分数加减法法则，得 移项、合并同类项，得 。 系数化为 1，得 。 例 6 解：原方程化为 去分母，得 100x(1320x)7 去括号、移项、合并同类项，得 120x20 7 两边同除以 120，得 x 原方程的解为 总结升华：应用分数性质时要和等式性质相区别。可以化为同分母的，先化为同分母， 再去分母较简便。 举一反三 【答案】解：原方程可变形为 (_分式的基本性质_) 去分母，得 3（3x+5）=2(2x-1). (_等式性质 2_) 去括号，得 9x+15=4x-2. （去括号法则或乘法分配律_） (_移项_),得 9x-4x=-15-2. (等式性质 1_) 合并，得 5x=-17. (合并同类项) （_ _系数化为 1_）,得 x= . （等式性质 2） 例 7 解：移项通分，得 化简，得 去分母，得 8x1449x99。 移项、合并，得 x45。 例 8 解法一：移项，得|x2|3 当 x20 时，原方程可化为 x23，解得 x5 当 x20 时，原方程可化为(x2)3，解得 x1。 所以方程|x2|30 的解有两个：x5 或 x1。 解法二：移项，得|x2|3。 因为绝对值等于 3 的数有两个：3 和3，所以 x23 或 x23。 分别解这两个一元一次方程，得解为 x5 或 x1。 举一反三 1.【答案】 2.解：5| x|-3|x|16-4 2|x|12 |x|6 x6 3.解：|3 x-1|8 3x-18 3x18 8 3x9 或 3x-7 x3 或 例 9 解：移项通分，得： 化简，得： 移项，系数化 1 得： 总结升华：解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学 会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程。对于一般解 题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能 生巧。 三、课堂练习 一、选择题 1、已知下列方程：（1）x-2= ;(2) 0.3x=1;(3) =5x-1;(4) x -4x=3;(5) x=0;(6) x+2y=0.其中x322 一元一次方程的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 2、下列四组变形中，正确的是（ ） A 由 5x+7=0,得 5x= -7 B 由 2x-3=0,得 2x-3+3=0 C 由 =2,得 x= D 由 5x=7,得 x=356x31 3、一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头 2 小时可把空池灌满；单独开乙水龙头 3 小时可把空池灌满，若同时开放两个水龙头，灌满空池需（ ） A 小时 B 小时 C2 小时 D3 小时56 4、下列方程中，是由方程 7x-8=x+3 变形而得到的是（ ） A 7x=x+5 B 7x+5=x C 6x=11 D -8+3=-6x 5、下列方程的变形中，是移项的是（ ） 9 A 由 3= x，得 x=3 B 由 6x=3+5x，得 6x=5x+3 25 C 由 2x=-1，得 x=- D 由 2x-3=x+5，得 2x-x=5+31 6、方程 6x=3+5x 的解为（ ） A x=2 B x=3 C x=-2 D x=-3 7、方程 4(a-x)-4(x+1)=60 的解是 x=-1，则 a 为（ ） A -14 B 20 C 14 D -16 8、动物园的门票售价：成人 50 元张，儿童 30 元张。某日动物园售出门票 700 张，共 得 29000 元。设儿童票售出 x 张，依题意可列出下列哪个一元一次方程（ ） A、30x+50(700-x)=29000 B、50x+30(700-x)=29000 C、30x+50(700+x)=29000 D、 50x+30(700+x)=29000 9、解方程 - =1，去分母正确的是（ ）31x24 A 2(X-1)-3(4X-1)=1 B 2X-1-12+X=1 C 2(X-1)-3(4-X)=6 D 2X-2-12-3X=6 10、如果 -2 的倒数是 3，那么 x 的值是（ ）615x A、 -3 B、 -1 C 、 1 D 、 3 11、超市同时卖出两台电子琴，每台均卖 960 元，以成本计算，其中一台盈利 20，另一 台亏本 20，则这次出售中商场（ ） A 不赔不赚 B 赚 160 元 C 赚 80 元 D 赔 80 元 12、笼中有鸡兔共 12 只，共 40 条腿，设鸡有 X 只，根据题意，可列方程为（ ） A2(12-X)+4X=40 B4(12-X)+2X=40 C 2X+4X=40 D -4(20-X)=X240 10 12、已知下列方程： ； ； ； 2x0.31x512x ；243x ； 其中一元一次方程的个数是 （ 620xy ） A2 B3 C4 D5 13、已知关于 的方程 的解是 ，则 的值是 （ x5(21)axx1a ） A-5 B-6 C-7 D8 14、方程 移项后，正确的是 （ 3521 ） A B x3215x C D 15、方程 ，去分母得 （ 4232x ） A B ()(1)123(4)183()xx C D 1248xx69 16、甲、乙两人骑自行车同时从相距 65 km 的两地相向而行，2 小时相遇，若甲 比乙每小时多骑 25 km，则乙的时速是 （ ） A125 km B15 km C175 km D 20 km 17、某商店卖出两件衣服，每件 60 元，其中一件赚 25，另一件赔 25，那 么这两件衣服售出后商店是 （ ） A不赚不赔 B 赚 8 元 C亏 8 元 D 赚 15 元 二、填空题： 1、圆的周长为 4，半径为 x,列出方程为 。 2、已知方程（m-2）x +5=9 是关于 x 的一元一次方程，则 m = .1m 3、已知代数式 x+2y 的值是 3，则代数式 2x+4y+1 的值是 。 11 4、3a b 与 2a b 是同类项，则 m = .32m4m64 5、若 +（y+1） =0,则 x-y= .yx2 6、某商品的进价为 250 元，为了减少库存，决定每件商品按标价打 8 折销售，结果每件商 品仍获利 10 元，那么原来标价为 。 7、当 x= 时， 的值是 0.1528x 8、7.1 班发作业本，若每人发 4 本，则还余 12 本，若每人发 5 本，则还少 18 本，那么该 班有 名学生。 9、使 为关于 的一元一次方程的 _（写出一个你喜欢的(1)60axxa 数即可） 10、当 _ 时，式子 的值是-3m273m 11、若 与 在某运算中可以合并，则 ， 312xy24n _m_n 12、设某数为 ，根据下列条件列出方程： （1）某数的 比它的相反数大 5_；3 （2）某数的 与 的差刚好等于这个数的 212 倍_ 13、某次数学竞赛共出了 15 道选择题，选对一题得 4 分，选错一题扣 2 分若 某同学得 36 分，他选对了_道题（不选算错） 14、某商场对某种商品作调价，按原价 8 折出售，此时商品的利润率为 10， 此商品的进价是 1000 元，则商品的原价是_. 15、某人将 1000 元存入银行，定期两年，若年利率为 2.27，则两年后利息为 _元，若扣除 20的利息税，则实际得到的利息为_元，银行 应付给该储户本息共_元 16、 根据你们班男、女生人数编一道应用题： _ _.假设适当的未知数，列出方程 12 _ 三、解答题： 1、解方程 （1）6x-3(5x-2)=0 (2) 20-2x=x-1 （3） = x-2 (4) - =2412x3 2.04x5.3 （5） （6）(1)2()13xx321x （7） （8） xx21 4231y 四、 家庭练习 一、填空题： 1、已知方程（a-2） x|a|-1=1 是一元一次方程，则 a=_，x=_ 2、下列说法：、等式是方程； 、x=4 是方程 5x+20=0 的解； 、x=-4 和 x=6 都是方程 x-1=5 的解其中说法正确的是 _ _ （填序号） 3、已知代数式 与 的值互为相反数，那么 的值等于_ 87x62xx 13 4、如果方程 _ 5、三个连续奇数的和是 75，则这三个数分别是_。 6、我校球类联赛期间买回排球和足球共 16 个，花去 900 元钱，已知排球每个 42 元，足球每个 80 元，设排球买了 x 个。则可列程为 ， 7、小慧在一张日历的一横列上圈了连续的四个数，它们的和为 22，这四个数为 8、数学竞赛共有 10 道题，每答对一道题得 5 分，不答或答错一道题倒扣 3 分， 要得到 34 分必须答对的题数是 ， 9、自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过 10 吨， 每吨按 0.8 元收费，超过 10 吨的部分按每吨 1.5 元收费，王老师三月份平均 水费为每吨 1.0 元，则王老师家三月份用水_吨. 二、选择题： 1、若 a b，则下列式子正确的有（ ） a2 b2 a b a b 5 a15 b113234 （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 2、下列变形中，正确的是 A、若 ac=bc，那么 a=b。 B、若 ，那么 a=bcba C、 ，那么 a=b。 D、若 a =b 那么 a=bab2 3、给出下面四个方程及其变形： ； ；48020xx变 形 为 xx75342变 形 为 ； ；25315变 形 为 42变 形 为 其中变形正确的是（ ） A B C D 4、如果方程 6x+3a=22 与方程 3x+5=11 的解相同，那么 a=（ ） A. B. C. - D.- 103103 5、将方程 去分母，得到 ，错在（ ）2x 6236x A、最简公分母找错 B、去分母时，漏乘 3 项 C、去分母时，分子部分没有加括号 D、去分母时，各项所乘的数不同 6、初一（一）班举行了一次集邮展览，展出的邮票比平均每人 3 张多 24 张， 比平均每人 4 张少 26 张，这个班共展出邮票的张数是 （ ） A.164 B.178 C.168 D.174 7、某商场卖出两个进价不同的手机，都卖了 1200 元，其中一个盈利 50%，另一个亏本 20%， 在这次买卖中，这家商场（ ） A.不赔不赚 B.赔 100 元 C.赚 100 元 D.赚 360 元 14 8、某牧场放养的鸵鸟和奶牛一共 70 只, 已知鸵鸟和奶牛的腿数之和为 196 条, 则鸵鸟的头数比奶牛多 ( ) A、20 只 B、14 只 C、15 只 D、13 只 三、运算题： 1、 2、 )()(16123xx 32)4(1xx 3、 4、 1542x21021364xx 5. 6.)()(16123xx 15423x 四当 x 为何值时，代数式 12x与 13的值大 2. 15 三、一元一次方程应用题（找出等量关系） 一 、列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意 （2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系 （3） 设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的 等量关系列出方程 （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值 （5）检验，写答案： 检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案 1、数字问题 要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字是 b，个位数 字为 c（其中 a、b、c 均为整数，且 1a9， 0b9， 0c9）则这个三 位数表示为：100a+10b+c。 例 1、 若三个连续的偶数和为 18，求这三个数。 例 2、 一个两位数，个位上的数是十位上的数的 2 倍，如果把十位与个位上 的数对调，那么所得的两位数比原两位数大 36，求原来的两位数等量关系：原 两位数+36=对调后新两位数 例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位 与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。 分析：然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程 2、日历中的规律：横行相邻两数相差_竖行相邻两数相差_。 例 1、如果今天是星期三，那么一年（365 天）以后的今天是星期_ 例 2、在日历表中，用一个正方形任意圈出 2x2 个数，则它们的和一定能被 _整除。 A 3 B 4 C 5 D 6 例 3、如果某一年的 5 月份中，有 5 个星期五，且它们的日期之和为 80，那么 这个月的 4 号是星期几？ 16 3、等积变形问题 常用等量关系为：形状面积变了，周长没变；原料体积成品体积。 例 1、用直径为 4cm 的圆钢，锻造一个重 0.62kg 的零件毛坯，如果这种钢每立 方厘米重 7.8g，应截圆钢多长？ 例 2. 用直径为 90mm 的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为1252m 内高为 81mm 的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少 mm？（结果保留整数 314.） 4、 和、差、倍、分问题： 倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几， 增长率”来体现。 多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现。 （1）劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化. 例 1.某厂一车间有 64 人，二车间有 56 人。现因工作需要，要求第一车间人 数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？ 例2甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车 间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车 间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。 （2）配套问题： 例1、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺 母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一 个螺栓配两个螺母） 17 例 2. 机械厂加工车间有 85 名工人，平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个，已知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工 大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 分析：列表法。 每人每天 人数 数量 大齿轮 16 个 x 人 16x 小齿轮 10 个 85人 1085x 等量关系：小齿轮数量的 2 倍大齿轮数量的 3 倍 解：设分别安排 x 名、 名工人加工大、小齿轮 3162085()()x 47 8560x人 答：略. （3）分配问题： 例1.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则 空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。 例2. 三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是 几？（比例分配问题 常用等量关系：各部分之和总量。 ） （4）年龄问题： 例 1、甲比乙大 15 岁，5 年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是多 少岁？ 例 2、小华的爸爸现在的年龄比小华大 25 岁，8 年后小华爸爸的年龄是小华的 3 倍多 5 岁，求小华现在的年龄。 18 5、工程问题 工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率工作时间 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1。 例 1. 一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合 作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全 部工程？ 分析设工程总量为单位 1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工 作总量。 解：设乙还需 x 天完成全部工程，设工作总量为单位 1，由题意得，( + 115 )3+ =1， 112 x12 . 例 2、在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长 6500 米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成 480 米，乙队平均每天比甲队多完成 220 米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开 工几天后两队完成全部任务？ 6、 打折销售问题 （1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等 （2）基本关系式： 利润售价进价；售价=标价折数；利润率利润/进价 。 由可得出利润标价折数进价。由可得出利润率 。 市场经济问题 （1）商品利润商品售价商品成本价 （2）商品利润率 100%个 （3）商品销售额商品销售价商品销售量 （4）商品的销售利润（销售价成本价）销售量 19 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打 8 折出售， 即按原标价的 80%出售 例 1、一件衣服标价是 200 元，现打 7 折销售。问：买这件衣服需要多少钱？ 若已知这件衣服的成本（进价）是 115 元，那么商家卖出这件衣赚了多少钱？ 利润是多少？ 例 2、 某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以 135 元售出，若按成本计 算，其中一件赢利 25%，另一件亏损 25%，问这次售货员是赔了还是赚了？ 7、行程问题。（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注 意两者运动时出发的时间和地点） 要掌握行程中的基本关系：路程速度时间。 相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：甲走的路程+乙走的路程= 全路程 追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是： 同时不同地：甲的时间=乙的时间 甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的 路程 同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差 甲的路程=乙的路程 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情 况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。 例 1. 甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里， 一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。 （1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两 20 车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时 追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可 结合图形分析。 （1）分析：相遇问题，画图表示为： 甲 乙 等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480 公里。 解：设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480 解这个方程，230x=390 x=1 1623 答：略. （2）分析：相背而行，画图表示为： 60 甲 乙 等量关系是：两车所走的路程和+480 公里=600 公里。 解：设 x 小时后两车相距 600 公里， 由题意得，(140+90)x+480=600 解这个方程，230x=120 x= 1223 答：略. （3）分析：等量关系为：快车所走路程慢车所走路程+480 公里=600 公里。 解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，(14090)x+480=600 21 50x=120 x=2.4 答：略. （4）分析：追及问题，画图表示为： 甲 乙 等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480 公里。 解：设 x 小时后快车追上慢车。 由题意得，140x=90x+480 解这个方程，50x=480 x=9.6 答：略. （5）分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480 公里。 解：设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480 50x=570 解得， x=11.4 答：略. 环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程 和=一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差=一圈的路程。 航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 例： 一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2 小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？ 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关 系 1、A、B 两地相距 150 千米。一辆汽车以每小时 50 千米的速度从 A 地出发，另 一辆汽车以每小时 40 千米的速度从 B 地出发，两车同时出发，相向而行，问经 过几小时，两车相距 30 千米？ 22 2、甲、乙两人练习 100 米赛跑，甲每秒跑 7 米，乙每秒跑 6.5 米，如果甲让乙 先跑 1 秒，那么甲经过几秒可以追上乙？ 3、一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要 2 小时 45 分，逆风要 3 小时，已知 风速是 20 千米小时，则两城市间的距离为多少？ 4、一列火车以每分钟 1 千米的速度通过一座长 400 米的桥，用了半分钟，则火 车本身的长度为多少米？ 5、火车用 26 秒的时间通过一个长 256 米的隧道（即从车头进入入口到车尾离 开出口），这列火车又以 16 秒的时间通过了长 96 米的隧道，求列车的长度。 8、银行储蓄问题。 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称 本息