四川省泸州市2017届高三三诊考试理科数学试题含答案

泸州市高 2014 级第三次教学质量诊断性考试 数学（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1U x x，集合 2 4 3 0 A x x x ，则 ） A 3, ) B (3, ) C ( , 1) D (1,3) 12iz （其中 i 是虚数单位）的虚部为（ ） A 12B i C 1 D 2q，2 8a ，则其前 3 项和3 ） A 24 B 28 C 32 D 16 2,1)a ， (1,2)b ，则 2的值是（ ） A 1 B 5 C 3 D 5 环形花坛分成 , , ,A B C D 四块，现有 3 种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A 12 B 24 C 18 D 6 :4C y x 的焦点为 F ，过点 F 且倾斜角为3的直线与抛物线 C 的准线交于点 B ，则线段 长为（ ） A 10 B 6 C 8 D 4 ， 是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A若 ， m ，则 l B若 l ， / m C若 /l ， m ，则 / D若 /l ， /m ，则 / ) s i n ( 2 ) ( )2f x x 的图象沿 x 轴向左平移6个单位后关于 y 轴对称，则函数 () ） A 5 , 6 12B , 36C , 63D 2 , 63章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩（音 为道路）厚十尺，两 鼠对穿，初日各一尺，大鼠目自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果 n 的值为（ ） A 4 B 5 C 2 D 3 t 中，2A ，以 ,21（ 0, 0）经过点 A ，且与 交于点 D ，若 2D ，则该双曲线的离心率为（ ） A 102B 10 C 52D 5 中俯视图是顶角为 23的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A 20 B 16 C 8 D 17 ) x x x与 21( ) 12g x a x a x （ 0a ）的图象有且只有一个公共点，则 a 所在的区间为（ ） A 12( , )23B 2( ,1)3C 3( ,2)2D 3(1, )2第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 5(1 2 )x 展开式中， 3x 项的系数为 000 表示的平面区域为 D ，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 , 2()3 l o g , 2 ，（ 0a 且 1a ）的值域是 4, ) ，则实数 a 的取值范围是 n 项和 11( ) 22 （ *），则数列 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知 的三个内角 ,对边分别为 , 2 co sb c b A . （ 1）求证： 2； （ 2）若 53， 46a ，求 上的高 . 18. 甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于 95 为正品，小于 95 为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各 100 件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 85,90) 90,95) 95,100) 100,105) 105,110) 机床甲 8 12 40 32 8 机床乙 7 18 40 29 6 （ 1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为正品的概率； （ 2）甲机床生产一件零件，若是正品可盈利 160 元，次品则亏损 20 元；乙机床生产一件零件，若是正品可盈利 200 元，次品则亏损 40 元，在（ 1）的前提下，现 需生产这种零件 2件，以获得利润的期望值为决策依据，应该如何安排生产最佳？ 19. 如图，在梯形 ， /C ， 1A D A B B C ，3，平面平面 四边形 矩形， 1，点 M 在线段 . （ 1）当 ？证明你的结论； （ 2）求二面角 B 的平面角的余弦值 . 20. 已知点 C 是圆 22: ( 1 ) 1 6F x y 上的任意一点，点 F 为圆 F 的圆心，点 F 与点 段 垂直平分线与线段 于点 P . （ 1）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （ 2）若轨迹 E 与 y 轴正半轴交于点 M ，直线 : 2 3l y 交轨迹 E 于 ,面积的取值范围 . 21. 已知函数 ( ) ( 1 )xf x e a x （其中 e 为自然对数的底数） （ 1）设过点 (0,0) 的直线 l 与曲线 (), ( )x f x，求0 （ 2）若函数 2( ) 1g x a x e x 的图象与函数 ()0,1) 内有交点，求实数 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线12 2 c o s:s i （ 为参数）经伸缩变换 2 后的曲线为2C，以坐标原点 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 . （ 1）求曲线2 （ 2） ,3，求 B 的取值范围 . 等式选讲 已知函数 ( ) 1 2f x x x a ，若 (). （ 1）求实数 a 的值； （ 2）若 0a ，且 ,满足 m n a ，求 22的最小值 . 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12:、填空题 13. 80 14. 815. (1,2 16. 2n 三、 解答题 （ 1）因为 2 co sb c b A ， 所以 s i n s i n 2 s i n c o B A ， 因为 ()C B A ， 所以 s i n s i n ( ( ) ) 2 s i n s i A B A 所以 s i n s i n c o s c o s s i n 2 s i n c o A B A B A 即 s i n c o s s i n s i n c o A B A， 即 s i n s i n ( )B A B， 因为 0 B ， 0 A ，所以 ， 所以 B A B 或 ()B A B ， 故 2； （ 2）由 53及 2 co sb c b A 得， 1 由余弦定理： 2 2 2 2 c o sa b c b c A 得 2 2 25 5 1( 4 6 ) ( ) 23 3 3b b b b ， 解得： 6, 10， 由 1， 23A ， 设 上的高为 h ，则 11s i c A a h ， 即 26 1 0 2 4 63 h ， 所以 10 33h. （ 1）因为甲机床为正品的频率为 4 0 3 2 8 41 0 0 5， 乙机床为正品的频率约为 4 0 2 9 6 31 0 0 4， 所以估计甲、乙两机床为正品的概率分别为 43,54； （ 2）若用甲机床生产这 2 件零件，设可能获得的利润120 元、 140 元、 ，它们的概率分别为 1 4 4 1 6( 3 2 0 ) 5 5 2 5 ，1 4 1 8( 1 4 0 ) 2 5 5 2 5 ， 1 1 1 1( 4 0 ) 5 5 2 5 ， 所以获得的利润的期望1 1 6 8 1( ) 3 2 0 1 4 0 ( 4 0 ) 2 4 82 5 2 5 2 5 ， 若用乙机床生产这 2 件零件，设可能获得的利润为200 元、 160 元、 ，它们的概率分别为 2 3 3 9( 4 0 0 ) 4 4 1 6 ，2 3 1 6( 1 6 0 ) 2 4 4 1 6 ，2 1 1 1( 8 0 ) 4 4 1 6 ， 让你以获得的利润的期望2 9 6 1( ) 4 0 0 1 6 0 ( 8 0 ) 2 8 01 6 1 6 1 6 ； 若用甲、乙机床各生产 1 件零件，设可能获得的利润360 元、 180 元、 120 元、 ，它们的概率分别为 3 4 3 1 2( 3 6 0 ) 5 4 2 0 ，3 1 3 3( 1 8 0 ) 5 4 2 0 ， 3 4 1 4( 1 2 0 ) 5 4 2 0 ，3 1 1 1( 6 0 ) 5 4 2 0 所以获得的利润的期望 3 1 2 3 4 1( ) 3 6 0 1 8 0 1 2 0 ( 6 0 ) 2 6 42 0 2 0 2 0 2 0 ， 2 3 1( ) ( ) ( )E X E X E X， 所以安排乙机床生产最佳 . 19. 解： （ 1）当 12， /面 证明如下： 在梯形 ，设 D O ，连接 因为 1C， 060， 所以 2，又 1， 因为 , 因此 : 2 : 1O ， 所以 12 O，因为 矩形， 所以四边形 平行四边形， 所以 /F ， 又 平面 平面 所以 /面 （ 2）在平面 过点 C 作 D ， 因为平面 平面 且交线为 则 平面 即 C ， C ， 以点 C 为原点，分别以 ,G 在直线为 ,，建立空间直角坐标系， 则 13( , , 0)22B， (2,0,0)D ， 33( , ,1)22E， (0,0,1)F ， 所以 (1, 0,1)， 13( , , 1 )22 ， 13( , , 1 )22 ， ( 2 , 0 ,1) ， 设平面 法向量为 ( , , )m x y z ，则 00m F ， 013 022y z ，取 (1, 3 , 1)m ， 同理可得平面 法向量 (1, 3 , 2 )n ， 所以 2 1 0c o s ,105 2 2 ， 因为二面角 B 是锐角，所以其余弦值是 1010. （ 1）由题意知圆 F 的圆心为 ( 1,0)F ，半径为 4， 所以 42P F P F C F F F ， 由椭圆的定义知，动点 P 的轨迹是以 ,4 为长轴长的椭圆， 设椭圆 E 的方程为 221（ 0 ），且焦距为 2c ( 0)c ，则： 2 2 2241b c ，即213 ， 故椭圆 E 的方程为 22143； （ 2）把直线 : 2 3l y ， 代入椭圆方程消去 y 得： 22( 3 4 ) 1 6 3 3 6 0k x k x ， 由 0 得： 32k或 32k， 因为直线与椭圆相交于两点11( , )A x y，22( , )B x y， 则12 21 6 334 k ，12 23634xx k ， 因为点 (0, 3)M ，直线 l 与 y 轴交于点 (0, 2 3)D 的面积1 2 1 21322 D x x x x 221 2 1 2 1 233( ) ( ) 422x x x x x x 222 2 23 1 6 3 4 3 6 6 4 9()2 3 4 3 4 4 3k k 226 6 312 22 1 24949 ， 当且仅当22124949k k ，即 212k 时取等号， 212k 满足 0 所心 面 积的取值范围是 3(0, 2. （ 1）因为函数 ( ) ( 1 )xf x e a x ，所以 ( ) ( 1 )xf x e a ， 故直线 l 的斜率为 00( ) ( 1 )xf x e a ， 点00( , ( )x f l 的方程为 000( ) ( ( 1 ) ) ( )xy f x e a x x ， 因直 线过 (0,0) ， 所以 000( ) ( ( 1 ) ) ( )xx e a x ， 即 0000( 1 ) ( ( 1 ) )a x e a x 解之得，0 1x （ 2）令 2( ) ( ) ( ) ( 1 ) 1xh x f x g x e a x a e x ，所以 ( ) 2 1xh x e a x a e ， 设 ( ) 2 1xk x e a x a e ，则 ( ) 2xk x e a， 因函数 2( ) 1g x a x e x 的图象与函数 ()0,1) 内有交点， 设0)0,1) 内的一个零点， 由 ( ) 0 , (1) 0h x h， 所以 (), ),1)不可能单减， 所以 (), ),1) 即 ()0,1) 上至少有两个零点， 当 12a时， ( ) 0， ()0,1) 上递增， () 当2， ( ) 0， ()0,1) 上递减， () 当 122时，令 ( ) 0，得 2 ) ( 0 , 1)， ()0, )a 上递减，在 ( ),1)a 上递增， 所以 1( l n ( 2 ) ) 2 2 l n ( 2 ) ( 1 ) 3 2 l n ( 2 ) 1 ( )22 ek a a a a e a a a a e a 设 3( ) l n 1 ( 1 )2x x x x e x e ，则 1( ) ， 令 ( ) 0x ，得 ， 当 1 时， ( ) 0x ， ()x 递增， 当 e x e 时， ( ) 0x ， ()x 递减， 所以m a x( ) 1 0x e e ， ( ) 0恒成立， 若 ()有 ( ) 0， (0) 0k ， (1) 0k ， 由 ( 0 ) 2 0k a e ， (1) 1 0 ，得 21 ， 当 21 ，设 () (), )12( , )2( ,1) 1( ) ( ) 0h x h x，2( ) (1) 0h x h， 所以 (), ) 即函数 2( ) 1g x a x e x 的图象与函数 ()0,1) 内有交点， 综上，实数