河南省2017届高三考前预测数学试题（理）含答案

2017 年高中毕业年级考前预测 理科数学试题卷 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . R ，集合 | 3 0 M x x ， 2 | 2 1 , N y y x x R ，则 () N （ ） A ( ,3 B 1,3 C 1, ) D 2,3) 虚数单位，且满足 24 ( , )1 i a b i a b ，则复数 z a 对应的点在（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 这个几何体最长的一条棱长为（ ） A 26 B 25 C 4 D 22 学启蒙找有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 ,2，则输出的 n （ ） A 2 B 3 C. 4 D 5 a ， 0b 且 ，则称 , 22( , ) m n m ，当0, 0时， ( , ) 0 是 , ） A 充分必要条件 B 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D 既不充分也不必要条件 ，则 621( ) ( 2 )a x 的展开式中常数项是（ ） A 332 B C. 320 D ,2,2,3,3,3,的六个小球，他们除数字外完全相同，现从中随机取 出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为（ ） A 415B 1115C. 718D 121 4 2 334aa a a a ，将函数 3 s i n( ) ( 0 )1 c o 的图象向左平移23 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 的最小值是（ ） A 14B 54C. 74D 中， 90， 1B， P 为 上的点且 B ，若C P A B P A P B ，则实数 的最大值是（ ） A 222B 222C. 1 D 2 满足1 3a，2 2 18， *2 1 21 ()2a k N ，则50 ） A 253(8 1) B 259(8 1) C. 253(4 1) D 259(4 1) ,双曲线 221上不同的三点，且 ,直线 ,4则该双曲线的离心率是（ ） A 2 B 32C. 72D 22 22l o g , 0 1()4 3 , 1x x ，函数 ( ) ( )g x f x 有两个零点，则的值是（ ） A 0 或 4 2 3 B 4 2 3 C. 0 D 4 2 3 第 卷 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 0d ， 4122，且2，则8S 14一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M ，且 | | 5，设抛物线的焦点为 F ，则 的面积为 02020 内一点 P 作圆 O ： 221的两条切线，切点分别为 , ，当 最大时，点 P 坐标为 ) ,0) 上的可导函数，其导函数为 ()有22 ( ) ( )f x x f x x，则不等式 2( 2 0 1 6 ) ( 2 0 1 6 ) ( 1 ) 0x f x f 的解集为 111 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 证明过程或演算步骤 .） 17. 在 中，角 ,对边分别为 ,满足 c o s ( 2 ) c o s ( )b A c a B （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 4b ， 的面积为 3 ，求 的周长 18. 2 月 23 日至 24 日，国家主席习近平到北京市考查冬奥会筹办工作时强调，少年强中国强，体育强中国强，中国以后要变成一个强国，各方面都要强，他表示，推动我国体育事业不断发展是中华民族伟大复兴事业的重要组成部分，某足球特色学校为了了解在校学生体育达标情况，在所有的学生体育达标成绩中随机抽取 200 个进行调研，按成绩分组：第 1 组50,60) ，第 2 组 60,70) ，第 3 组 70,80) ，第 4 组 80,90) ，第 5 组 90,100 得到的频率分布直方图如图所示 若要在成绩较高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 12 名学生进行复查； （ 1）已知学生甲和学生乙的成绩均在第 5 组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率； （ 2）在已抽取到的 12 名学生中随机抽取 3 名学生接受足球项目的考核，设第 4 组中有 名学生接受足球项目的考核，求的分布列和数学期望 19. 如图 ，四棱锥 P 中，底面 平行四边形， 24D， 23，底面 （ 1）证明：平面 平面 （ 2）若二面角 P 的大小为6，求 平面 成角的正弦值 1111 20. 已知圆 2 2 2: ( 0 )M x y r r 与直线1 : 3 6 0l x y 相切，设点 A 为圆上一动点，AB x 轴于 B ，且动点 N 满足 3B ，设动点 N 的轨迹为曲线 C （ 1）求曲线 C 的方程； （ 2）直线与直线垂直且与曲线 C 交于 , 面积的最大值 21. 已知函数 ( ) x x x 1111 （ 1）求函数 ()x 处的切线方程； （ 2）证明：对任意的12, ( 0 , )，都有212( ) | x ； （ 3）设 0 ，比较 ( ) ( ( ) )f m m f n 与22的大小，并说明理由 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，已知曲线 3 c o s:s i （ 为参数），在以 坐标原点 O 为极点，以轴正 半轴为极轴 建立 的 极坐标系 中 ， 直线 的极 坐标方程为 2 c o s ( ) 124 （ 1）求曲线 C 的普通方程和直线的直角坐标方程； （ 2）过点 ( 1,0)M 且与直线平行的直线交 C 于 ,弦 长 等式选讲 已知函数 ( ) | 2 | | 2 3 |f x a x x ， ( ) | 2 3 | 2g x x （ 1）解不等式 ( ) | 1 | 5g x x ； （ 2）若对任意1存在2使得12( ) ( )f x g x成立，求实数的取值范围 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 46 14. 10 15. ( 1, 1) 16. ( , 2017) 三、解答题 17.（ 1） c o s ( 2 ) c o s ( )b A c a B ， c o s ( 2 ) ( c o s )b A c a B ， 由正弦定理可得： s i n c o s ( 2 s i n s i n ) c o C A B ， s i n ( ) 2 s i n c o s s i C B C . 又角 C 为 内角， C ， 1又 (0, )B ， 23B （ 2）有 1 s i n 32a c B ，得 4 又 2 2 2 2( ) 1 6b a c a c a c a c ， 25 ， 所以 的周长为 4 2 5 18.（ 1）设“学生甲和学生乙至少一人参加复查”为事件 A ， 第三组人数为 2 0 0 0 1 0 6 0 ，第四组人数为 2 0 0 0 1 0 4 0 ，第五组人数为2 0 0 0 1 0 2 0 ，根据分层抽样知，第三组应抽取 6 人，第四组应抽取 4 人，第五组应抽取 2 人， 第四组的学生甲和学 生乙至少有 1 人进入复查， 则： 112 1 82201 37()190. （ 2）第四组应有 4 人进入复查，则随机变量可能的取值为 0,1,2,3 且 348312( ) ( 0 , 1 , 2 , 3 )i 随机变量的分布列为： 1 4 2 8 1 2 10 1 2 3 15 5 5 5 5 5 5 5E . 19.（ 1） 2 2 2C D B C B D， D ， 又 底面 底面 C 又 D D ， 平面 而 平面 平面 平面 （ 2）由（ 1）所证， 平面 所以 即为二面角 P 的平面角，即6， 而 23，所以 2. 因为 底面 平行四边形， B ， 分别以 ,B 轴、 y 轴、轴建立空间直角坐标系， 1111 则 (2,0,0)A ， (0, 2 3, 0)B ， ( 2, 2 3 , 0 )C ， (0,0,2)P ， 所以 ( 2 , 0 , 2 ) ， ( 2 , 0 , 0 ) ， ( 0 , 2 3 , 2 ) ， 设平面 法向量为 ( , , )n a b c ，则 00n P ，即 202 3 2 0 ， 令 1b ，则 (0,1, 3 )n 平面 成角的正弦值为 | | 2 3 6s i | | | 2 2 2A P n . 20.（ 1）设动点 ( , )N x y ，00( , )A x y，因为 AB x 轴于 B ，所以0( ,0) 由题意得： | 6 | 313r ， 所以圆 M 的方程为 229. 由题意， 3B ，所以00( 0 , ) 3 ( , )y x x y ， 所以 0033 ，即 00 3将 ( , 3 )A x y 代入圆 229，得动点 N 的轨迹方程 22193. （ 2）由题意可设直线 : 3 0l x y m ，设直线与椭圆 22193交于11( , )B x y，22( , )D x y， 联立方程22339y x ，得 221 0 6 3 3 9 0x m x m ， 221 0 8 1 0 4 ( 3 9 ) 0 ，解得 2 30m ， 221 , 26 3 3 6 0 1 2 3 3 9 0 32 0 1 0m m m ， 又因为点 O 到直线的距离 |2 2122 9 0 3| | 2 | | 210 x x ， 2 2 2 22 ( 9 0 3 ) 3 ( 3 0 )1 | | 2 9 0 3 3 322 2 1 0 1 0 1 0 2O B Dm m m . （当且仅当 2230，即 2 15m 时取到最 大值） 111 面积的最大值为 332 21.（ 1）因为 ( ) x x x， 所以 1( ) 1， (1) 0f ， 又因为 (1) 1f ，所以切点为 (1, 1) 故所求的切线方程为： 1 0 ( 1) ，即 10y . （ 2）因为 1() ，故 ()0,1) 上是增加的，在 (1, ) 上是减少的 m a x( ) ( 1 ) l n 1 1 1f x f ，( ) | 1设 则 21 x ，故 ()0, )e 上是增加的， 在 ( , )e 上是减少的，故m a x 1( ) ( ) 1G x G e e ， m a x m i n( ) | ( ) |G x f x. 所以212( ) | x 对任意的 12, ( 0 , ) 恒成立 . （ 3） ) ( ) l n l n 11mf m f n m n m n n m n ， 2211n ， 0 ， 10，故只需比较 的大小， 令 ( 1)，设21 ( 1 )( ) l n l t t tG t t ， 则 2 4 3 32 2 2 2 2 21 2 1 1 ( 1 ) 1()( 1 ) ( 1 ) ( 1 )t t t t t t t t t t t t . 因为 1t ，所以 ( ) 0，所以函数 ()1, ) 上是增加的 故 ( ) (1) 0G t G. 所以 ( ) 0对任意 1t 恒成立 . 即 1，从而有22( ) ( ( ) )f m m f n n mm n m n . 22.（ 1）曲线 C 化为普通方程为： 2 2 13x y由 2 c o s ( ) 124 ，得 c o s s i n 2 ， 所以直线的直角坐标方程为 20. （ 2）直线的参数方程为21222 （为参数）， 代入 2 2 13x y化简得： 22 2 2 0 ， 设 ,12 1，1222 ， 21 2 1 2 1 232| | | | ( ) 4 2A B t t t t t t . 23.（ 1）原不等式可化为： | 2 3