广西南宁2017届高中毕业班第二次模拟数学试题(理)含答案

2017届普通高中毕业生第二次适应性测试 理科数学 第 卷（共 60分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 有一项是符合题目要求的 . | 3 1 0 A x x ， 2 | 6 1 0 B x x x ，则 （ ） A 11 , 32B C 1( , )3D 1 ()1 在复平面内对应的点在第一象限，则 a 的取值范围是（ ） A 0a B 01a C 1a D 1a ： 22 1 ( 0 )xy 的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（ ） A 12B 33C 22D 中， 3， 5， 6，则内角 C 的正弦值为（ ） A 2425B 1625C. 925D 该几何体的体积是（ ） A 13B 23C. 1 D 1,0)a ， (1,2)b ，向量 c 在 a 方向上的投影为 2，若 / |c 的大小为（ ） A 2 B 5 C. 4 D 25 出的 S 的值是（ ） A 28 B 36 C. 45 D 55 s i n ( 0 )y A x的图象中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为 1的直角三角形，则 的值为（ ） A 1 B 2 C. D 2 的正方体的四棱锥 P 中，四棱锥的侧棱长都为 4， E 是 异面直线 成角的余弦值为（ ） A 64B 33C. 12D m i n , ,a a a b ，设 2 1( ) m i n , f x 则由函数 ()x 轴、直线 2x 所围成的封闭图形的面积为（ ） A 712B 512C. 1 1 ) 33是（ ） A奇函数 B偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数 , , ,a b c d e 满足关系： 8a b c d e ， 2 2 2 2 2 16a b c d e ，则实数 e 的最大值为（ ） A 2 B 165C. 3 D 25第 卷（共 90分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 2344 ， 则目标函数 2z y x 的最大值是 满足 4， 2ta n ( )3，则 作圆： 22( 2 ) ( 2 ) 1 的切线 其中 N 为切点，若 | | | |M N M O（ O 为坐标原点），则 |最小值是 上的函数 ()果存在函数 ()g x ax b（ ,使得 ( ) ( )f x g x对一切实数 x 都成立，则称 ()函数 ()出如下命题： 函数 ( ) 2 是函数 0()1 , 0 的一个承托函数； 函数 ( ) 1g x x是函数 ( ) s x x x 的一个承托函数； 若函数 ()g x 是函数 () xf x e 的一个承托函数，则 a 的取值范围是 0, e ； 值域是 R 的函数 () 其中正确的命题的个数为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知数列 n 项和2 2nS n n， *. （ 1）求数列 （ 2）记数列11前 n 项和为证： 16. 18. 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店 1月份中 5天的日销售量 y（单位：千克）与该地当日最低气温 x （单位： C ）的数据，如下表： x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 （ 1）求出 y 与 x 的回归方程 y b x a； （ 2）判断 y 与 x 之间是正相关还是负相关；若该地 1月份某天的最低气温为 6C ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量； （ 3）设该地 1月份的日最低气温 X 2( , )N ，其中 近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 2s ，求 ( 3 3 . 附：回归方程 y b x a中， 1221()y n x n x， a y b x . 10 ， ，若 X 2( , )N ，则 ( ) 0 . 6 8 2 6 ，( 2 2 ) 0 . 9 5 4 4 . 19. 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱1 1 1 1A B C D A B C D中， 1D，3C B C D， 60， 1 3 （ 1）若 E 是线段1A E 求证：平面 平面1 （ 2）求二面角1C C D B的平面角的余弦值 20. 已知椭圆11,0)F ，1点 (4,0)M 的直线 l 与抛物线2中点 A 在第四象限内） （ 1）若 | | 4 | |M B A M ，求直线 l 的方程； （ 2）若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线2线 l 与椭圆1椭圆1 21. 已知函数 ( ) x x a x， 1()g x （ 1）讨论函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x的单调性； （ 2）若 ( ) ( ) 0f x g x 在定义域内恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 已知圆 E 的极坐标方程为 4 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中 0 ， 0, 2 ），若倾斜角为 34且经过坐标原点的直线 l 与圆 E 相交于点 A （ A 点不是原点） （ 1）求点 A 的极坐标； （ 2）设直线 m 过线段 ，且直线 m 交圆 E 于 , | | | |M B M C 的最大值 等式选讲 （ 1）解不等式 | 1 | | 3 | 4 ； （ 2）若 ,1）中不等式，求证： 2 | | | 2 2 |a b a b a b 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 14 14. 17615. 82716. 2 三、解答题 17. 解：（ 1） 第一类解法： 当 1n 时，1 3a. 当 2n 时 ，1n n S 222 ( 1 ) 2 ( 1 )n n n n . 21n. 而1 3a也满足 21. 数列 1. （ 2） 12 111( 2 1 ) ( 2 3 )a n n . 1 1 1()2 2 1 2 3. 则 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 5 5 7 2 1 2 3nT . 1 1 1()2 3 2 3n . 116 4 6n . 16 18. 解： 【提示：本题第（ 1）、（ 2）问与第（ 3）问没有太多关系，考生第（ 1）、（ 2）问做不对，第（ 3）问也可能做对，请老师们留意】 (1) 令 5n ,11 3 5 75 ，11 4 5 95 , 【说明：如果考生往下算不对结果，只要 上面的两个平均数算对其中一个即可给 1分】 1( ) 2 8 7 5 7 9 2 8n y n x y 2 2 21( ) 2 9 5 5 7 5 0n n x 28 0 50b 【说明： 2分至 4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接 给完这部分的分；如果结果不对，只能给 1分】 9 ( 0 . 5 6 ) 7 1 2 . 9 2a y b x （或者： 32325） 所求的回归方程是 0 . 5 6 1 2 . 9 2 (2) 由 b 知 y 与 x 之间是负相关， 【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这 1分】 将 6x 代入回归方程可预测该店当日的 销售量 0 . 5 6 1 2 . 9 2 9 . 5 6 (千克 ) （或者： 23925） 【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这 1 分】 (3) 由 (1) 知 7x ，又由2 2 2 2 2 2 21 ( 2 7 ) ( 5 7 ) ( 8 7 ) ( 9 7 ) ( 1 1 7 ) 1 05s 得 【说明：此处要求考生算对方差才能给这 1分】 从而 ( 3 . 8 1 3 . 4 ) ( 2 )P X P X . ( ) ( 2 )P X P X 11( ) ( 2 2 )22P X P X 【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这 1分】 【说明：此处是结论分 1分，必须正确才给】 19. 解 :(1) 解法 (一 ): 60, 1D， 3C B C D， 90, 2（没有这一步扣一分） 以 D 为原点， x 轴， y 轴， 1 z 轴，建立空间直角坐标系 . 设 M 是 中点 ,连接11面 3C B C D 11C D C B. M 是 中点 , 1D. 3(1, 0, )4E， 33( , , 0)44M，1 (0, 3, 3 )C， 13 3 3( , , 3 )44 , 3(1, 0 , )4 . 13 3 3 31 0 3 04 4 4M C D E , 1E . （证得1E或 行） 交于 D , 1 平面 1 , 平面 平面 (2) 解法一 : (若第 1 问已经建系 ) (1,0,0)A ， 平面 1 (1, 0, 0)是平面 1一个法向量 . 33( , , 0)22B , 1 (0, 3, 3 )C ， 33( , , 0 )22 ， 1 ( 0 , 3 , 3 ) 设平面1 , , )m x y z ,则100m D C ， 330223 3 0 ， 取 1x ， 得 3 , 3 . 平面11 , 3 , 3 )m . 7c o s ,7| | | |D A m . 由图可知二面角 1C C D B的平面角的余弦值为 77. 20. 解：（ 1）解法一 :由题意得抛物线方程为 2 4. 设直线 l 的方程为 4x . 令 211( , )4222( , )4其中 1 0y . 由 | | 4 | |M B A M ,得 214 . 联立 2 44， 可得 2 4 1 6 0y m y , 1221121644y m ， 解得1 2y ,2 8y , 32m. 直线 l 的方程为 2 3 8 0 . (2)设00( , )P x y,直线 :4l x ， 点 P 在抛物线2 直线 l 的斜率存在 , 0m ,4l x 对称 ,所以00004221 1 20 28181 . 故2288( , )11mP 代入抛物线 22 :4C y x ， 可得 1 1m ， 2 1m . 直线 l 的方程为 4 或 4 . 设椭圆为 22 1 ( 1 )1x . 联立直线和椭圆 ,消去 x 整理得 22( 2 1 ) 8 ( 1 ) 1 7 1 6 0 0 226 4 ( 1 ) 4 ( 2 1 ) ( 1 7 1 6 ) 0 ， 解得 172. 则 2 172a ， 即 342a. 椭圆14 21. 解：（ 1） 1( ) ( ) ( ) l n ( 0 )F x f x g x x a x a 211()F x . 若 0a 时， 0)( 则 ( ) ( ) ( )F x f x g x在 (0, ) 上是增函数 . 若 0a 时，则 ( ) ( ) ( )F x f x g x在 1 1 4( 0 , )2 上是增函数 . ( ) ( ) ( )F x f x g x在 1 1 4( , )2 上是减函数 . （ 2）若 ( ) ( ) 0f x g x 在定义域内恒成立 ,考虑以下情形 : 当 ( ) 0， ( ) 0同时恒成立时， 由 ( ) l n 0f x x a x ， 成立 . 得： 1 由 ( ) 0， 1 0恒成立得： 0a . 1 当 ( ) 0， ( ) 0同时恒成立时， a 不存在； 当 0a 时， ( ) x x a x为增函数， 1()g x 为减函数 , 若它们有共同零点，则 ( ) ( ) 0f x g x 恒成立 . 由 ( ) l n 0f x x a x ， 1( ) 0g x ,联立方程组解得： . 综上： 1 . 22. 解 : (1) 直线 l 的倾斜角为 34, 点 A 的极角 34. 代入圆 E 的极坐标方程得 22 . 点 A 的极坐标 3(2 2, )4. (2)由 (1)得线段 的极坐标是 3(2 2, )4, M 的直角坐标为 ( 1,1) . 圆 E 的极坐标方程为 4 , 圆 E 的直角坐标方程为 2240x y y . 设直线 m 的参数方程为 1 c o s1 s (t 为参数 ). 代入 2240x y y ， 得 2 2 ( s i n c o s ) 2 0 . 24 ( s i n c o s ) 8 0 设 ,12 2 ( s i n c o s ) . 1 2 1 2| | | | | | | | | | | | | |M B M C t t t t . 2 | s i n c o s | 2 2 | s i n ( ) |4 | | | |M B M C 的最大值为 22(此时直线 m 的倾斜角为4) 23. 解：（ 1）当 3x 时 ， | 1 | | 3 | 1 3 2 4 4x x x x x , 解得 4x ， 所以 43x . 当 31x 时 ， | 1 | | 3 | 1 3 2 4x x x x , 解得 31x 当 1x 时 ， | 1 | | 3 | 1 3 2 4 4x x x x x 解得 0x ， 所以 10x （ 2）证明： 224 ( ) ( 2 2 )a b a b a b 2 2 2 24 4 1 6a b a b a b a b ( 4 ) ( 4 ) 0a b b a 224 ( ) ( 2 2 ) 0a b a b a b 2 | | | 2 2 |a b a b a b 2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试 数学试卷（理科）评分标准 一、选择题 1已知集合 | 3 1 0A x x ， 2| 6 1 0B x x x ,则 A. 11 , 32B. C. 1( , )3D. 13【答案】 B 2复数 11( R)a在复平面内对应的点在第一象限，则 a 的取值范围是 A. 0a B. 10 a C. 1a D. 1a 【答案】 A 3若椭圆 C： 12222 0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 A. 21B. 33C. 22D. 42【答案】 C 4在 中，53B， 65 ，则角 C 的正弦值为 A. 2524B. 2516C. 259D. 257【答案】 A 5如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 A. 31B. 32C. 1 D. 43【答案】 D 6已知向量 ），（ 01a ， ），（ 21b ，向量 c 在 a 方向上的投影为 2. 若 c /b ，则 c 的大小为 A. 2 B. 5 C. 4 D. 52 【答案】 D 7执行如图的程序框图，输出的 S 的值是 A. 28 B. 36 C. 45 D. 55 【答案】 C 8若以函数 0s 图像中相邻三个最值点为顶点的 三角形是面积为 1的直角三角形，则 的值为 B. 2 C. D. 2 【答案】 C 开始 A=1， S=0 A 9 输出 S A=A+1 结束 S=S+A 是 否 第 7 题图 9已知底面是边长为 2的正方形的四棱锥 中，四棱锥的侧棱长都为 4,E 是 异面直线 成角的余弦值为 A. 64B. 22【答案】 A ,m i n , , ,a a a b 设 2 1( ) = m i n , f x 由函数 ()图像与 x 轴、直线=2x 所围成的封闭图形的面积为 A. 712B. 512C. 1+1+案】 C 11函数11( ) 33是 A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数也是偶函数 D. 既不是奇 函数也不是偶函数 【答案】 D 12设实数 , 同时满足关系 : ,8 1622222 则实数 e 的最大值为 B. 516C. 3 D. 25【答案】 B 解： 将题设条件变形为 22222 16,8 ， 代 入 由 柯 西 不 等 式 得 如 下 不 等 式2 2 2 2 2 2 2 2 2( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 ) ( )a b c d a b c d 有 )16(4)8( 22 ，解这个一元二次不等式，得 56 数 e 取得最大值 空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20 分 . 把答案填答题卷相应题中横线上 . 13设变量 满足约束条件 22344 ,则目标函数 2z y x 的最大值是 【答案】 14 14若锐角 , 满足54，32) ，则 【答案】17615. 过动点 M 作圆 : 222 2 1 （ ） （ ）的切线 其中 N 为切点，若| (O 为坐标原点 )，则 |最小值是 . 【答案】82716定义在 R 上的函数 ()如 果存在函数 ()g x ax b， (,常数），使得( ) ( )f x g x 对一切实数 x 都成立，则称 ()函数 ()给出如下命题 : 函数 ( ) 2 是函数 l n , 0 ,()1 , 0 的一个承托函数 ; 函数 ( ) 1g x x是函数 ( ) s x x x 的一个承托函数 ; 若函数 ()g x 是函数 ()一个承托函数 ,则 a 的取值范围是 0,e ; 值域是 R 的函数 () 其中正确的命题的个数为 . 【答案】 2 三解答题：本大题共 6小题，共 70 分 明过程或演算步骤 . 17 (本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 已知数列n 项和 *2 ,2 . （ 1）求数列 的通项公式；（ 2）记数列11的前 n 项和为证： 16. 解：（ 1） 第一类解法： 当 n=1时，1 3a.当 2n 时1 .222 ( 1 ) 2 ( 1 )n n n n . 21n.而1 3a也满足 21. 数列 . 第二类解法： 1 . 222 ( 1 ) 2 ( 1 )n n n n .21n. 数列 .第三类解法： 113. 2 2 1a S S=-. 12 .共 3分 第四类解法： 由 2可知.且1 3a，2 1 2 1 32d a a S S= - = - - =. 数列 .（ 2） 12 111( 2 1 ) ( 2 3 )a n n .1 1 1()2 2 1 2 3.则 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) . . . . . . . ( ) 2 3 5 5 7 2 1 2 3nT .1 1 1()2 3 2 3n .116 4 6n .18 (本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店 1月份中 5天的日销售量 y （单位：千克）与该地当日最低气温 x （单位： C ）的数据，如下表： x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 （ 1）求出 y 与 x 的回归方程 y b x a ； （ 2）判断 y 与 x 之间是正相关还是负相关；若该地 1月份某天的最低气温为 6C ，请用所求回归方程预测该店当日的 销售量 ； （ 3）设该地 1月份的日最低气温 X 2( , )N ，其中 近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 2s ，求 ( 3 3 . 附 : 回归方程 y b x a 中 , 1221()()y n x n x,a y b x . 10 若 X 2( , )N ,则 ( ) 0 . 6 8 2 6 , ( 2 2 ) 0 . 9 5 4 4 . 解： 【提示： 本题第（ 1）、（ 2）问与第（ 3）问没有太多关系，考生第（ 1）、（ 2）问做不对，第（ 3）问也可能做对，请老师们留意】 (1) 令5n ,11 3 5 7,5 11 4 5 95 ,.【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给 1分】 1( ) 2 8 7 5 7 9 2 8 .n y n x y .2 2 21( ) 2 9 5 5 7 5 0 .n n x . 28 0 50b .【说明： 2分至 4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接 给完这部分的分；如果结果不对，只能给 1分】 9 ( 0 . 5 6 ) 7 1 2 . 9 2 .a y b x （或者：32325 ） . 所求的回归方程是0 . 5 6 1 2 . 9 2 .(2) 由 b 知 y 与 x 之间是负相关， . 【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这 1分】 将 6x 代入回归方程可预测该店当日的 销售量 0 . 5 6 6 1 2 . 9 2 9 . 5 6y (千克 ) （或者：23925 ） . 【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这 1 分】 (3)由 (1)知 7x ，又由2 2 21 ( 2 7 )5s 22( 5 7 ) ( 8 7 ) 22( 9 7 ) (1 1 7 ) 10, .【说明：此处要求考生算对方差才能给这 1分】 从而 ( 3 . 8 1 3 . 4 ) ( 2 ) .() ( 2 ) 1 ()2 1 ( 2 2 )2 .【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这 1分】 .【说明：此处是结论分 1分，必须正确才给】 19 (本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 如图，已知侧棱垂 直于底面的四棱柱 1111- ，= =1D ， ,3 0， 31 （ 1）若 的点且满足 1 , 求证 : 平面 平面 （ 2）求二面角1C C D 解 :(1) 解法 (一 ): 60, ,3,1 90, 2. .有这一步扣一分） 以 D 为原点， x 轴， y 轴， 1 z 轴，建立空间直角坐标系 . .设 连接1.C 平面 ,3 11C D C B. D 的中点 ,1.），（ 430,1E , 33( , , 0)44M , )33,0(1 ，C , 13 3 3( , , 3 )44 , 3(1, 0 , )4 . . . 13 3 3 31 0 3 04 4 4M C D E , 1 .（证得1 行） 交于 D, 1 平面 1 , 平面 平面.解法 (二 ): 设 D 的中点 ,连接 C ., ,C A M 共线 . 1 平面 C 平面 1二面角 1 的平面角 .60, ,3,1 90, 13,22M A M C=.正确计算出才给这 1分 ) 1 , 31 17 2 1, C M4 分 (至少算出一个 ) 191,4. 2 2 211C E C M E M,即 1 二面角 1 的平面角为直角 . 平面 平面.解法 (三 ): 60, ,3,1 90, 2 以 D 为原点， x 轴， y 轴， 1 z 轴，建立空间直角坐标系 . .设 连接 C , ,C A M 共线 . .平面 C 平面 1 1二面角 1 的平面角 .则 ），（430,1E， )33,0(1 ，C , 33( , , 0)44M.至少正确写出一个点的坐标 ) 1 3 3( , , )4 4 4,13 3 3( , , 3 )44 . 11 3 3 3 3 3( ) ( ) 3 04 4 4 4 4M E M C . 1 1 90 , 二面角 1 的平面角为直角 ,平面 平面 .解法四 : 连结 111点为 O 和 N ，如图 . 60, ,3,1 90, 2以 O 为原点， x 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 . . 则 O 是 中点 . C 平面 ,3 是 11C D C B . O 是 中点 ,1. 13, 24E （ 0，） , 3( , 0 0)2B ， ,1 3(0, 3)2C ，1 3( 0 , , 3 )2,3 1 3( , , )2 2 4 . 1