2017年山沂市中考二轮专题复习材料(14)平移、旋转与轴对称

九年级二轮专题复习材料 专题十 五 ： 平移、旋转与轴对称 【 近 3 年临沂市中考试题 】 1. (2016 山东临沂 ， 18， 3 分 )如图，将一矩形纸片 叠，使两个顶点 A，C 重合，折痕为 ， ，则 面积为 _ 2. (2016 山东临沂 ， 12， 3 分 )如图，将等边 点 C 顺时针旋转 120得到 接 D； 四边形 菱形 ） （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 3.（ 2015 山东临沂， 13， 3 分） 要将抛物线 322 移后得到抛物线 2，下列平移方法正确的是（ ） A. 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 B. 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 C. 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 D. 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 4.（ 2014 山东省临沂市， 14， 3 分） 在平面直角坐标系中，函数 2 2(y x x x 0) 的图 象 为1C，1 为2C，则直线 （ a 为常数）与1C，2 ） （ A） 1 个 （ B） 1 个，或 2 个 （ C） 1 个，或 2 个，或 3 个 （ D） 1 个，或 2 个，或 3 个，或 4 个 5.（ 2014 山东省临沂市， 23， 9 分） 对一张矩形纸片 行折叠，具体操作如下： 第一步：先对折，使 合， 得到 折痕 开； 第二步：再 一次 折叠，使点 A 落在 的点 A 处， 并使折痕经过点 B，得到折痕 时，得到线段 ， ， 展开，如图 1； 第三步：再沿 所在 的 直线折叠，点 B 落在 的点 B 处， 得到 折痕 时得到线段 ，展开，如图 2. 【 知识 点 】 对称、平移和旋转 的基本概念，图形平移、对称和旋转的基本性质，按要求做出平移、对称和旋转后的图形，利用平移、对称和旋转解决相关问题。 【规律方法】 1 轴对称图形的识别：能否找到 一条直线（即对称轴），使直线两旁的部分完全重合 ； 折叠问题是轴对称 变换， 折叠前后是 全等形，解决问题时经常用到勾股定理。 2 图形平移的两个基本条件：（ 1）图形平移的方向是这个图形上某一点到平移后的图形对应点的方向；（ 2）图形平移 的距离是连接一对对应点的线段的长度，图形上的每个点平移的距离相等。 1）平行线法；（ 2）对应点连线法；利用“ 平移图形的对应线段平行（或共线）且相等”找出各关键点的对应点再顺次连线作图。（ 3）全等图形法：利用“平移图形必全等”用尺规作图。 3 中心对称 图形的识别：看 是否存在一点，把图形绕着这一点旋转 180后能与原图形重合。 旋转前后的图形是全等形，旋转中心是各对应点所连线段的垂直平分线的交点。 移后的图形的某点的坐标，一般要把握三点： 一是根据图形旋转、平移变换的性质；二是利用图形的全等关系；三是点所在象限符号的确定。 旋转作图要明确旋转中心和旋转角；轴对称作图关键是确定对称轴。 【中考集锦】 一填空题（共 3 小题） 1（ 2015张家港市模拟）如图，在平面直角坐标系中， O 为原点，点 A 的坐标为（ 4，0） ，点 B 的坐标为（ 0， 4），点 C、 D 分别为 中点，若正方形 点 正方形 D记旋转角为 a（ 0 a 360），连结 设直线 直线 交于点 F，则点 F 的纵坐标的最大值为 2（ 2015重庆校级模拟）如图，矩形 ， ， ，将该矩形沿对角线折，使 同一平面内， C 的对应点为 G， 点 E，以边作等边三角形 P 与 B 重合），点 E、 F 位于 侧，将 射线 P 到达点 D 时停止平移当平移结束后，（即点 P 到达点 D 时），将 顺时针旋转一个角度 （ 0 180）， A 的对应点 A， F 的对应点 F，直线 直线 交点为 M，直线 FA与直线 交点为 N，在旋转过程中，当 F 90时，则 F 3（ 2015孝感）如图，四边形 矩形纸片， 对折矩形纸片 合，折痕为 平后再过点 B 折叠矩形纸片，使点 A 落在 的点 N，折痕 交于点 Q；再次展平，连接 长 点 G有如下结论： 0； ； ； 等边三角形； P 为线段 一动点， H 是 中点，则 H 的最小值是 其中正确结论的序号是 二解答题（共 35 小题） 4（ 2016泰安模拟）如图， ， 0， C，边 点 B 顺时针旋转 角得到线段 结 点 P 作 点 D （ 1）如图 1，若 =60，求 度数； （ 2）如图 2，若 =30，直接写出 度数； （ 3）如 图 3，若 =150，依题意补全图，并求 度数 5（ 2016西峡县一模）问题发现：如图 1， 等边三角形，点 D 是边 的一点，过点 D 作 E，则线段 何数量关系？ 拓展探究：如图 2，将 点 A 逆时针旋转角 （ 0 360），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明 问题解决：如果 边长等于 2 ， ，直接写出当 转到 D 的长 6（ 2016邢台二模）如图 1：已知 ， 0， C，在 部作 5 别交 点 M， N 【操作】 （ 1）将 点 A 逆时针旋转 90，使 与 重合，把旋转后点 M 的对应点记作点 Q，得到 在图 1 中画出 不写出画法） 【探究】 （ 2）在（ 1）中作图的基础上，连接 求证 “Q”； 写出线段 间满足的数量关系，并简要说明理由 【拓展】 如图 2，在等腰 ， 5， F，点 P 是 上任意一点（不与 E， 连接 腰向两侧分别作顶角均为 45的等腰 等腰 别交 点 K， L，连接 别交 点 S， T （ 3）线段 间满足的数量关系是 （ 4）设 DK=a， DE=b，求 值（用 a， b 表示） 7（ 2016山西模拟）综合与实践： 问题情景：已知等腰 0，点 M， N 分别是 中点，连接 问题： （ 1）如图 1，当 点 E 在 ，且点 C 和点 D 恰好重合时，探索 数量关系，并加以证明； （ 2）如图 2，当点 D 在 ，点 E 在 部时，（ 1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由 拓展探究： （ 3）如图 3，将图 2 中的等腰 点 A 逆时针旋转 n（ 0 n 90），请猜想 C 的位置关系和数量关系（不必证明） 【 特别提醒 】 1、作图的基本作法以点（特殊点）定线，就是先做出特殊点的对应点，再顺次连接特殊点，同时掌握好三种基本变换的共性特征（形状和大小不变）及个性特征。 2、求平 移图形中的坐标时，易忽视平移方向；旋转作图时易忽视旋转的方向，如果没有特别说明，要分类讨论。 3、折叠的本质特征：折叠前后的图形关于折痕成轴对称。解决这类问题的关键首先要把握折叠的变换规律，弄清折叠前后哪些量变了，哪些量没有变，又有哪些条件可利用；其次要充分挖掘图形的几何性质，利用全等三角形、勾股定理或相似三角形的知识，将其中的数量关系用方程的形式表达出来，由此解决问题。 答案： 九年级二轮专题复习材料 专题十二： 平移、旋转与轴对称 【近 3 年临沂市中考试题】 1. (2016 山东临沂 ， 18， 3 分 )如图，将一矩形纸片 叠，使两个顶点 A， C 重合，折痕为 ， ，则 面积为 _ 【 答案 】 6 【逐步提示】 本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，根据勾股定理列出方程是解题的关键先利用矩形的性质和折叠的性质得出 B=90， C；然后利用勾股定理列方程求出长；再用三角形面积公式求出三角形的面积 【详细解答】解： 四边形 矩形， B=90折叠使得 A， C 重合， C设BF=x， ， C=8 x在 ， ，由勾股定理可得 42+8 x)2，解得 x=3，即 面积为 122 3 4=6故答案为 6. 2.(2016 山东临沂 ， 12， 3 分 )如图，将等边 点 C 顺时针旋转 120得到 接 D； 四边形 菱形 （ ） （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 【 答案 】 D 【解答过程】 解： 如图，画出， 函数 y=x0）的图象为 于原点对称的图象为 a 2 时， 直线 （ a 为常数）与1C，2 个，当 a=2 或 ， 直线 （ a 为常数）与1C，2 个，当 a 2 或 a ， 直线 （ a 为常数）与1C，2 个 3.（ 2015 山东临沂， 13， 3 分） 要将抛物线 322 移后得到抛物线 2，下列平移方法正确的是（ ） A. 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 B. 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 C. 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 D. 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 【答案】 D 4.（ 2014 山东省临沂市， 14， 3 分） 在平面直角坐标系中，函数 2 2(y x x x 0) 的图 象 为1C，1 为2C，则直线 （ a 为常数）与1C，2 ） （ A） 1 个 （ B） 1 个，或 2 个 （ C） 1 个，或 2 个，或 3 个 （ D） 1 个，或 2 个，或 3 个，或 4 个 【答案】 C. 【考点 解剖】 本题考查了二次函数的图像及几何变换，解答本题的关键是熟练进行几何图形的变换 . 【解题思路】 首先画出函数的图象1C，根据关于原点对称的关系，可得 据直线 y=a（ a 为常数）与 交点，可得答案 【解答过程】 解： 如图，画出， 函数 y=x0）的图象为 于原点对称的图象为 a 2 时， 直线 （ a 为常数）与1C，2 个，当 a=2 或 ， 直线 a 为常数）与1C，2 个，当 a 2 或 a ， 直线 （ a 为常数）与1C，2 个 5.（ 2014 山东省临沂市， 23， 9 分） 对一张矩形纸片 行折叠，具体操作如下： 第一步：先对折，使 合， 得到 折痕 开； 第二步：再 一次 折叠，使点 A 落在 的点 A 处， 并使折痕经过点 B，得到折痕 时，得到线段 ， ， 展开，如图 1； 第三步：再沿 所在 的 直线折叠，点 B 落在 的点 B 处， 得到 折痕 时得到线段 ，展开，如图 2. （ 1） 证明 ： 30 ； （ 2） 证明 ： 四边形 为菱形 . 【答案】 解： （ 1） 对折 合，折痕是 点 M 是 中点， A是 中点， = A=90， 直平分 F， A A 由翻折的性质， A A A 390=30； （ 2） 沿 在的直线折叠，点 B 落在 的点 B处， E， F， F， E=BF= 四边形 为菱形 【中考集锦】 一填空题（共 3 小题） 1（ 2015张家港市模拟）如图，在平面直角坐标系中， O 为原点，点 A 的坐标为（ 4，0），点 B 的坐标为（ 0， 4），点 C、 D 分别为 中点，若正方形 点 正方形 D记旋转角为 a（ 0 a 360），连结 设直线 直线 交于点 F，则点 F 的纵坐标的最大值为 +1 【分析】 首先找到使点 F 的纵坐标最大时点 F 的位置（点 F 与点 E重合时），然后运用勾股定理及 30角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点 F 的纵坐标的最大值 【解答】 解：如图， D 在 ， ， 0， 点 F、 B、 A、 O 四点共圆， 当点 F 在劣弧上运动时，点 F 的纵坐标随 增大而增大， 2， 点 C在以点 O 为圆心， 2 为半径的圆 O 上运动， 当 O 相切时， C 大， 此时 =90，点 E与点 F 重合，点 F 的纵坐标达到最大 过点 F 作 x 轴，垂足为 H，如图所示 =90， CO=2， ， E0， 2 +2 0， 0， （ 2 +2） = +1 点 P 的纵坐标的最大值为 +1 【点评】 本题主要考查了几何变换综合题，涉及全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质、 30角所对的直角边等于斜边的一半等知识，找到使点 F 的纵坐标最大时点 F 的位置是解决问题的关键 2（ 2015重庆校级模拟）如图，矩形 ， ， ，将该矩形沿对角线折，使 同一平面内， C 的对应点为 G， 点 E，以边作等边三角形 P 与 B 重合），点 E、 F 位于 侧，将 射线 P 到达点 D 时停止平移当平移结束后，（即点 P 到达点 D 时），将 顺时针旋转一个角度 （ 0 180）， A 的对应点 A， F 的对应点 F，直线 直线 交点为 M，直线 FA与直线 交点为 N，在旋转过程中，当 F 90时，则 F2 2 【分析】 根据题意结合锐角三角函数关系以及勾股定理得出 长，进而求出长，再结合平移与旋转的性质、利用锐角三角函数关系分别求出答案 【解答】 解：如图， 矩形 ， ， ， = ， 0， 0， ， B 2， ， = ， 即 = ， 解得： ， 4， 4（ 1）， F 4（ 1） =2 2； ， ， ， F=4， 4， （ 4 4） =2 2， 0， 60， 等边三角形， F=4， F+2 2=2 +2（此时旋转角大于 180，不合题意舍去）， 综上所述： FN=2 2 故答案为： 2 2 【点评】 此题主要考查了几何变换综合以及锐角三角函数关系和勾股定理、旋转的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键 3（ 2015孝感）如图，四边形 矩形纸片， 对折矩形纸片 合，折痕为 平后再过点 B 折叠矩形纸片，使点 A 落在 的点 N，折痕 交于点 Q；再次展平，连接 长 点 G有如 下结论： 0； ； ； 等边三角形； P 为线段 一动点， H 是 中点，则 H 的最小值是 其中正确结论的序号是 【分析】 首先根据 直平分 得 N；然后根据折叠的性质，可得 N，据此判断出 等边三角形，即可判断出 0 首先根据 0， 出 0；然后在 据 ，求出 大小即可 首先根据 中位线，可得 后根据M= ，求出 长度即可 根据 0， 0，推得 0，即可推得 等边三角形 首先根据 等边三角形，点 N 是 中点，判断出 可求出大小；然后根据 E 点和 H 点关于 可得 E，因此 P 与 Q 重合时 ，H=E=此求出 H 的最小值是多少即可 【解答】 解：如图 1，连接 直平分 N， 根据折叠的性质，可得 N， B= 等边三角形 0， 0 2=30， 即结论 正确； 0， 0 2=30， ， 即结论 不正确 中位线， M= ， ， 即结 论 不正确 0， 0， 0 30=60， 0 30=60， 80 60 60=60， 0， 等边三角形， 即结论 正确 等边三角形，点 N 是 中点， G ， 根据条件易知 E 点和 H 点关于 称， E， P 与 Q 重合时， H 的值最小，此时 H=E= = ， H= ， H 的最小值是 ， 即结论 正确 故答案为： 【点评】 （ 1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握 （ 2）此题还考查了等边三角形的判定和性质的应用，以及矩形的性质和应用，要熟练掌握 （ 3）此题还考查了折叠的性质和应用，以及余弦定理的应用，要熟练掌握 二解答题（共 35 小题） 4（ 2016泰安模拟）如图， ， 0， C，边 点 B 顺时针旋转 角得到线段 结 点 P 作 点 D （ 1）如图 1，若 =60，求 度数； （ 2）如图 2，若 =30，直接写出 度数； （ 3）如图 3，若 =150，依题意补全图，并求 度数 【分析】 （ 1）根据 =60，得到 等边三角形，求出 C，得到 5，得到答案； （ 2）过点 A 作 E，根据 1=30，得到 2=15，求出 3=15，证明 C，得到 （ 3）证明过程与（ 2）类似，可以求出 度数 【解答】 解：（ 1） 边 点 B 顺时针旋转 角得到线段 P， =60， 等边三角形， 0， C， 又 0， 0， 5， 点 D， 5； （ 2）如图 2，结论： 5， 证明：过点 A 作 E， 1=30， 0， 2=15，又 3=90 75=15， 5， D，又 C， 5； （ 3）如图 3，过点 A 作 E 0， 50， 1=30， 0， 又 P， 2= 3=15， 5， 0， 4=75， 4 点 D， 0， 在 ， ， D， 在 ， 1=30， 又 C， D D， 又 0， 4=75， 5 【点评】 本题考查的是几何变换即旋转的性质，掌握旋转的性质并正确找出对应关系是解题的关键，注意三角形确定的判定定理和性质定理的灵活运用以及直角三角形的性质的运用 5（ 2016西峡县一模）问题发现：如图 1， 等边三角形，点 D 是边 的一点，过点 D 作 E，则线段 何数量关系？ 拓展探究：如图 2，将 点 A 逆时针旋转角 （ 0 360） ，上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明 问题解决：如果 边长等于 2 ， ，直接写出当 转到 D 的长 【分析】 （ 1）如图 1，由平行线分线段成比例定理可得： E； （ 2）如图 2，证明 E； （ 3）分两种情况： 如图 3，在直角三角形中，根据 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 ，由勾股定理求出 ，得出 而计算出 长 如图 4，求 长和 长，根据勾股定理在 求 长，所以C=2 【解答】 解：（ 1）如图 1， E，理由是： 等边三角形， C， ， E； （ 2）结论仍然成立，如图 2， 由图 1 得， 等边三角形， E， 由旋转得： E； （ 3）当 转到 在的直线垂直时，有两种情况： 如图 3， 等边三角形， 0， 0， 过 D 作 足为 G， ， ， ， ， B = ， = =2 如图 4，同理得： E， 等边三角形， 0， E， 0， D= ， ， C+ + =3 ， 在 ， = = =4 ， C=2 ， 综上所述， 长为 2 和 2 【点评】 本题是几何变换的综合题，考查了等边三角形 、全等三角形的性质与判定；在几何证明中，如果出现等边三角形，它所得出的结论比较多，要准确把握需要利用哪些结论进行证明；此类题的解题思路为：证明两个三角形全等或利用勾股定理求边长；如果有平行的关系，可以考虑利用平行相似来证明 6（ 2016邢台二模）如图 1：已知 ， 0， C，在 部作 5 别交 点 M， N 【操作】 （ 1）将 点 A 逆时针旋转 90，使 与 重合，把旋转后点 M 的对应点记作点 Q，得到 在图 1 中画出 不写出画法） 【探究】 （ 2）在（ 1）中作图的基础上，连接 求证 “Q”； 写出线段 间满足的数量关系，并简要说明理由 【拓展】 如图 2，在等腰 ， 5， F，点 P 是 上任意一点（不与 E， 连接 腰向两侧分别作顶角均为 45的等腰 等腰 别交 点 K， L，连接 别交 点 S， T （ 3）线段 间满足的数量关系是 （ 4）设 DK=a， DE=b，求 值（用 a， b 表示） 【分析】 （ 1）根据旋转中心、旋转方向和旋转角度进行作图即可；（ 2）先根据 定 而得出结论，再由全等三角形和旋转，得出 Q， Q，最后根据 的勾股定理得出结论；（ 3）运用 中的方法即可得出类似的加仑；（ 4）先判定 根据相似三角形对应边成比例，列出比例式进行求解 【解答】 解：（ 1）如图， 为所求； （ 2） 证明：由旋转可得， Q， 5， 0 5 5，即 5 在 Q 中可知， Q， Q 又 5+45=90 在 ， 3） 4）如图， F， P， 5 ，即 K DK=a， DE=b 【点评】 本题主要考查了图形的旋转、全等三角形以及相似三角形，解决问题的关键是掌握旋转变换思想方法在解决问题过程中的应用解题时注意： 旋转不改变图形的形状和大小（即旋转前后的两个图形全等）， 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等（都是旋转角）， 经过旋转，对应点到旋转中心的距离相等 7（ 2016山西模拟）综合与实践