安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试文数试题含答案解析

12999 数学网 12999 数学网 参考公式： 如果事件 、 互斥 , 那么 如果事件 、 互斥独立 , 那么 第 卷（共 60分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由题得： ，所以：，故 点睛：本题要熟练理解补集的含义，然后再根据交集的定义便可求解 2. 复数 ，若 ，则实数 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 点睛：要知道复数是不能比较大小的，如果复数能比较大小，只能说明这个复数是一个实数，所以要求虚部为零 3. 在 我国明代数学家吴敬所 著 的九 章 算术比类大全中，有一道数学名 题 叫 “ 宝塔装灯 ” ， 内容为 “ 远 望 巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层 几 盏灯？ ” (加 增 的顺序为从塔顶到塔底 ). 答案应为 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 12999 数学网 12999 数学网 【解析】 设顶层有 盏灯，根据题意得：故选 D. 点睛：这一个等比数列的实际运 用，认真审题然后分析列式即可 4. 已知函数 ，其中 ，从 中随机抽取个，则它在 上是减函数的概率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 点睛：几何概型要读懂题意找到符合条件的基本事件，然后根据几何概型的计算公式求解即可 . 5. 在 中， ，给出 满足条件，就能得到动点 的轨迹方程 下表给出了一些条件及方程： 条件 方程 周长为 面积为 中， 则满足条件 ， ， 的轨迹方程依次为 （ ） 12999 数学网 12999 数学网 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 周长为 ,则 ,根据椭圆 定义：点 面积为 ，则点 ,所以点 中， ,则点 以点 点 睛：本题要熟悉椭圆、抛物线、圆的方程的定义，根据定义进行推理即可 . 6. 已知 的取值范围是 ，执行下面的程序框图，则输出的 的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 7. 一个 几何体的三视图如图所示，则 该几何体 的体积为 （ ） 12999 数学网 12999 数学网 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由三视图复原几何体可得：它是一个侧放的 四棱锥，它的底面是直角梯形，一条侧棱的长垂直于底面，高为 2，这个几何体的体积： . 点睛：根据几何体求体积，主要熟悉椎体的计算公式即可 . 8. 若圆 上只有一点到双曲线 的一条渐近线的距离为，则该双曲线离心率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 点睛：根据题意分析出圆上怎样才能是只有一个点到渐近线的距离是 1，可得只有当圆心到渐近线距离为 2时才满足要求，便可列出等式求解 . 9. 已知 ，则 的大小关系 是（ ） 12999 数学网 12999 数学网 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由题得： ，而，所以 而，又 ，所以 c 最小，又，又 ，所以 ，故选 C 点睛：本题较难，主要是对对数和指数的运算的考察，在比较大小时，先判定各数的符号，然后可以借助中间值 0或 1进行比较，也可以作差 或作商进行比较 10. 已知 满足约束条件 ,若目标函数的最大值为 ，则 （ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】 A 12999 数学网 12999 数学网 【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题 于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最 优解的关键 . 11. 函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 12999 数学网 12999 数学网 点睛：特殊值法，当遇到比较麻烦难解的题型时，我们可以根据备选答案信息进行对答案验证，从而得出选项 12. 将函数 的图象向左平移 个单位，得函数的图象 (如图 ) ，点 分别是函数 图象上 轴两侧相邻的最高点和最低点，设 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 将函数 的图象向左平移 个单位，得函数得 ，由图可知： ,中，利用余弦定理可得 ： , ,所以：= 12999 数学网 12999 数学网 点睛：根据平移规则求出 ， 然后根据三角想余弦定理可求出 ，再根据三角和差公式进行求解即可，要注意计算的准确性 . 第 卷（共 90分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知 ，则 在 方向上的投影为 _ 【答案】 【解析】 ，得，将 代入上式，得 在 方向上的投影为 ，故答案为 . 14. 已知抛物线 ，点 ，点 在抛物线上，当点 到抛物线准线 的距离与点 到点 的距离之和最小时，延长 交抛物线于点 ，则 的面积为_ 【答案】 点睛：本题主要运用抛物线的性质，根据性质可得出三点共线时和最小，然后根据抛物线焦点弦长公式和点到直线距离公式便可求得三角想面积 . 12999 数学网 12999 数学网 15. 已知 两个等 高 的 几何 体在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个 几 何体的体积相等 . 椭球体是椭 圆 绕其轴旋转所成的旋转体 . 如 图（ 1） 将底面 直 径皆为 ， 高皆为 的 椭半球 体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放 置 于同一平面 上 . 以平行于平面 的平面于距平面 任意高 处可横截得到 及 两截面，可以证明 总成立 . 则 短轴长为 ， 长轴为 的 椭 球体的体积 为_ 【答案】 【解析】 根据题意可得：椭半球体的体积等于圆柱截去圆锥所剩下部分的体积，所以椭半球体体积为 ，故椭球体的体积为 点睛：主要读 懂题目所描述的新的定义，然后根据定义及几何关系建立等式从而求解 . 16. 对正整数 ，设曲线 在 处的切线与 轴交点的纵坐标为 ，则数列 的前 项和等于 _ 【答案】 12999 数学网 12999 数学网 点睛：本题考察导数的意义切线方程的求法，然后根据题意可知数列 为以公比为 3的等比数列，在利用等比求和公式得出结论 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 17. 中，角 所对的边分别为 ，向量 ，且 的值为 . （ 1）求 的大小； （ 2）若 ，求 的面积 . 【答案】 (1) ;(2) . 12999 数学网 12999 数学网 18. 如图，四棱锥 中，底面 是矩形，平面 底面 ，且是边长为 的等边三角形， 在 上，且 面 . （ 1）求证 : 是 的中点； （ 2）求多面体 的体积 . 【答 案】 (1)见解析 ; (2) . 【解析】 (1)证明：连 交 于 ，连 是矩形， 是 中点 且 是面 与面 的交线， 是 的中点 . 12999 数学网 12999 数学网 (2)取 中点 ，连 由面 底面 ，得 面 ，. 点睛：（ 1）根据线面平行的结论可得 ，从而得到 2）求体积最主要的思维就是先解决几何体的高，然后根据体积公式求解即可，当然对于不规则的解题则要借助于补形的思想利用规则几何体的体积减或加来解决问题 . 19. 全 世界越来越关注环境保护问题，某监测站点 于 2016年 8月某日起连续 天监测空气质 量指 数 ， 数据统计如下 ： 空 气质 量指 数 空气质 量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 （ 1） 根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 的值，并完成頻率分布直方图 ： 12999 数学网 12999 数学网 （ 2） 由頻率分布直方图 ， 求该组数据的平均数与中位数； （ 3） 在空气质量 指 数分别为 和 的监测数据中，用分层抽样的方法抽取 天，从中任意选取 天，求事件 “ 两天空气都为良 ” 发生的概率 . 【答案】 (1)见解析 ;(2)平均数 ，中位数 .(3) . 点 睛：频率分布直方图要注意每个小矩形的面积才代表频率， 12999 数学网 12999 数学网 中位数求法则是找面积和为 均数则是取每组组距的中间值乘以对应组的频率，然后求和即可，对于古典概型，只要将题意理解清楚将基本事件一一列出来，找出符合条件的基本事件根据古典概型的计算公式即可求出概率 20. 设 分别是椭圆 的左、右焦点，过 作倾斜角为的直线交椭圆 于 两点， 到直线 的距离为 ，连接椭圆 的四个顶点得到的菱形面积为 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设过点 的直线 被椭圆 和圆 所截得的弦长分别为，当 最大时，求直线 的方程 . 【答案】 (1) ;(2) 或 . 12999 数学网 12999 数学网 点睛：对于圆锥曲线的题型，在做题时首先要题中的几何关系理解清楚，最好可以画出草图帮助自己理解，然后根据几何关系建立等式求解，对于第二问在求解范围及最值问题时首先要明确表达式，然后根据基本不等式或者函数求最值方法来求解范围问题 . 21. 已知 函数 . （ 1）若 时，讨论函数 的单调性； （ 2）若 ，过 作 切线 ，已知切线 的斜率为 ，求证： . 【答案】 (1)见解析 ;(2) 见解析 . 12999 数学网 12999 数学网 (2) ,设切点，斜率为 所以切线方程为，将 代入得： 由 知 代入 得： ，令 ,则恒成立， 12999 数学网 12999 数学网 在 单增，且 ，令 ，则 ，则在 递减，且 . 点睛：熟悉求导的公式及运算法则，分类讨论以确定导数的正负来确定函数的单调性对于不等 式的证明问题要住以分离参数的方法应用，不等式问题的证明要学会转化为恒成立问题求最值的方法来解决问题 . 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. 选修 4标系与参数方程 已知曲线 的极坐标方程为 ，过点 的直线 交曲线 于 两点 . （ 1）将曲线 的极坐标方程的化为普通方程； （ 2）求 的取值范围 . 【答案】 (1) ;(2)