七年级数学思维探究（20）丰富的图形世界（含答案）

空间与图形 欧拉 1707 1783 ，是 18世纪最杰出的数学家之一，他不但在数学上作出了伟大贡献，而且把数学成功地应用到其他领域，在数论中，欧拉首选引进了欧拉函数 n ，用多种方法证明了费用小定理，对著名的哥尼斯堡大桥问 题的解答开创了图论的研究，此外，欧拉还在物理、天文、建筑以及音乐、哲学等方面取得了辉煌的成就 20 丰富的图形世界 解读课标 20世纪初，伟大的法国建筑家列柯尔伯齐曾说：“我想，到目前为止，我们从没有生活在这样的几何时期，周围的 一 切都是几何学 ” 生活中蕴含着丰富的几何图形，圆的月亮，平的湖面，直的树干，造型奇特的建筑，不断移动、反转、放大 缩 小的电视画面图形有的是立体的，有的是平面的， 立 体图形与平面图形之间的联系，从以方面得以体现： 1 立体图形的展开与折叠； 2 从各个角度观察立体图形； 3 用平面去截立体图形 观察归纳、操作实验、展开想象、推理论证是探索图形世界的基本方法 问题解决 例 1 如图是一个正方体表面展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等那么 _ 试一试展开与折叠是两个步骤相反的过程，从折叠还原成正方体人手 例 2如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是 （ ） A 5 个 C 7 个 D 8 个 试一试根据三视图和几何体的关系。分别确定该几何体的列数和每一列的层数 例 3 由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图 （ 1） 请你画出这个几何体的一种左视图； （ 2） 若组成这个几何体的小正方体的块数为 n ，求 n 的值 试一试本例可以在“脑子”中想象完成，也可以用实物摆一摆，从操作实验人手，从俯视图可推断左视图只能有两列，由主视图分析出俯视图每一列小正方形的块数情况是解本例的关键，而有序思考、分类讨论，则可避免重复与遗漏 例 4如图是由若干个正方体形状木块堆成的，平放于桌面上，其中，上面正方体的下底面四个顶点恰是下面相邻正方体的上底面各边的中点，如果最下面的正方体的棱长为 1 ，且这些正方体露在外面的面积和超过 8 ，那么正方体的个数至少是多少？按此规律堆下去，这些正方体露在外面的面积和的最大值是多少？ 试一试所有正方体侧面面积和再加上所有正方体上面露出的面积和，就是需求的面积 从简单人手，2x 视图 俯视图主视图 俯视图归纳规律 例 5要把一个正方体分割成 49 个小正方体（小正方体大小可以不等），画图表示 分析与解本例是一道图形分割问题，解答本例需要较强的空间想象能力和推理论证能力，需要把图形性质与计算恰当结合 为方便起见，设正方体的棱长为 6 个单位，首先不能切出棱长为 5 的立方体，否则不可能分割成 49 个小正方体 设切出棱长为 1的正方体有 a 个，棱长为 2 的正方体有 b 个，如果能切出 1个 棱长为 4 的正方体，则有8 6 4 2 1 64 9 1 ，解之得 6147b，不合题意，所以切不出棱长为 4 的正方体 设切出棱长为 1的正方体有 a 个，棱长为 2 的正方体有 b 个，棱长为 3 的正方体有 c 个， 8 2 7 2 1 649a b ，解得 36a ， 9b ， 4c ，故 可分割 棱 长分别为 1 、 2 、 3 的正方体各有 36 个、 9个、 4 个，分 法 如图 所示 欧拉公式 例 6建立模型 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数 （ V ） 、面数 （ F ） 、棱数 （ E ） 之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题 （ 1） 根据上面多面体模型，完成表格中的空格 多面体 顶点数（ V ） 面数（ F ） 棱数（ E ） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数 （ V ） 、 面数（ F ）、棱数（ E ）之间存在的关系式是 _ （ 2） 一个多面体的面数比顶点数 大 8 ，且有 30 条棱，则这个多面体的面数是 _ （ 3） 某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24 个顶点，每个顶点处都有 3 条棱，设该多面体外表面三角 形的个数为 x 个，八边形的个数为 y 个，求 的值 解 （ 1） 6 ； 6 ； 2V F E （ 2） 20 四面体 长方体 正八面体 正十二面体（ 3） 这个多面体的面数为 ，棱数为 24 3 362 （条） 根据 2V F E ，可得 2 4 3 6 2 ， 14 模型应用 如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形个数 解 设足球表面的正五边形有 x 个，正六边形有 y 个。总面数 F 为 个，因为一条棱连着两个面，所以球表面的棱数 E 为 1 562 又因为一个顶点上有三条棱 ， 一条棱上有两个顶点，所以顶点数 1 2 15 6 5 62 3 3V x y x y 由欧拉公式 2V F E 得 115 6 5 6 232x y x y x y 解得 12x 所以正五边形只要 12个 又根据每个正五边形周围连着 5 个正六边形，每个正六边形又连着 3 个正五边形，所以六边形个数5 203x ，即需 20 个正六边形 数学冲浪 知识技能广场 1 如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是 _ 2 由几个相同昀小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是_ 3 一个长方体的左 视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图 的面 积 为 _ 4 如图，下列几何体是由棱长为 1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第 n 个几何体中只有两个面涂色的小 立 方体共有 _个 5 一 个画家有 14个边长为 1m 的正方体，他在地面上把它们摆成如图的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂颜色的总面积为 （ ） 654321主视图 左视图 俯视图左视图23俯视图4图 3图 2图 1 A 219m B 241m C 233m D 234m 6 一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为 （ ） A 3 B 4 C 5 D 6 7 从棱长为 2 的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为 1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积是 （ ） A 20 B 22 C 24 D 26 8 我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法 “牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体 图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是 （ ） A B C D 9 5 个棱长为 1的正方体组成如图的几何体 （ 1） 该几何体的体积是 _（立方单位），表面积是 _（平方单位）； （ 2） 画出该几何体的主视图和左视图 主视图 俯视图甲 主视方向乙正面10 用同样大小的正方体木块搭建的几何体，从正面看到的平面图形如图 1所示，从上面看到的平面图形如图 2所示 （ 1） 如果搭建的几何体由 9 个小正方体木块构成，试画出从左面看这个几何体所得到的所有可能的平面图形 （ 2） 这样的几何体最多可由几块小正方体构成？并在所用木块最多的情况下，画出从左面看到的所有可能的平面图形 思维方法天地 11 如图，是一个正方体表面展开图，请在图中空格内填上适当的数，使这个正方体相对两个面上标注的数值相等 12 如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组 成这个几何体的小正方体的块数为 n 则 n 的所有可能的值之和为 _ 13 如图是一个立方体的主视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米，则立体图形的体积为 _立方厘米 14 若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为 1，如果塔形露在外面的面积超过 7 ，则正方体的个数至少是 （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 15 由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有 45 个单位立方体上任何一面都没有漆，那么大立方体被涂过油漆的面数是 （ ） A 1 B 2 C 3 图 1 图 2视图212主视图2左视图 俯视图16 小明把棱长为 4 的正方体分割成了 29 个棱长为整数的小正方体，则其中棱长为 1的小正方体的个数是 （ ） A 22 B 23 C 24 D 25 17 墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走多少个小正方体？ 18 一 个长方体纸盒的长、宽、高分别 a 、 b 、 c 厘米如图，将它展 开成平 面图，那么这个平面图的周长最小是多少厘术？最大是多少厘米？ 应用探究乐园 19 王老师将底面半径为 20 厘米、高为 35 厘米的圆柱形容器中的果汁全部倒人如图所示的杯子中，若杯口直径为 20 厘米，杯底直径为 10厘米，杯高为 12厘米，杯身长 13厘米，问果汁可以倒满多少杯？ 20 一 个边长为 5 厘米的正方体，它是由 125个边长为 1厘米的小正方体组成的 P 为上底面 果挖去（如图）的阴影部分为四棱锥，剩下的部分还包括多少个完整的棱长是 1 厘米的小正方体 ？ 正面右面（ 水平线 ）上面 1013122020丰富的图形世界 问题解决 例 128x ， 10y ， 14 例 2D 例 3（ 1）左视图有以下 5 种情形： （ 2） 8n ， 9 ， 10， 11 例 44 ； 9 提示：最下面正方体 1个面的面积是 1，侧面露出的面积和是 4 ，每相邻两个正方体中上面的1个正方体每个面的面积都正好是其下面正方体 1个面面积的 12 ，所有正方体侧面面积之和加上所有正方体的上面露出的面积和（正好是最下面正方体上底面的面积 1 ）即是这些正方体露在外面的面积和 如： 2 个正方体露出的面积和是 44 1 72 3 个正方体露出的面积和是 444 1 824 4 个正方体露出的面积和是 4 4 4 14 1 82 4 8 2 5 个正方体露出的面积和是 4 4 4 4 34 1 82 4 8 1 6 4 6 个正方体露出的面积和是 4 4 4 4 4 74 1 82 4 8 1 6 3 2 8 故随着小正方体木块的增加，其外露的面积之和都不会超过 9 数学冲浪 1 6 2 5 3 8 4 4 2 1n 5 C 6 B 7 C 8 B 9 （ 1） 5 ； 22 ；（ 2）略 10 （ 1） （ 2） 11； 11 上空格填 12，下空格填 2 12 38 13 2 14 B 15 n ， 3n ，若 6n ， 即使 6 个面都油漆过，未油漆的单位立方体也有 34 64 个 45 ， 故 4n 或 5 除是已漆的单位立方体后，剩下未漆的构成一个长方体， 设其长、宽、高分别为 a 、 b 、 c ， 45，只能是 3 3 5 45 ，故 5n 16 分割出棱长为 3 的正方体，则棱长为 3 的正方体只能有 1个，余下的均是棱长为 1 的正方体，共 37 个不满足要求，设棱长为 2 的正方体有 x 个，棱长为 1的正方体有 y 个， 则 298 64，得 52417 有不同的拿法 为保证“影子不变”，可依如下原则操作：在每一行和每一列中，除保留一摞最高的不动以外，该行（列）的其余各摞都搬成只剩最下面的一个小正方体，如图所示， 20 个方格中的数字，表示 5 行 6 列共 20 摞中在搬完以后最终留下的正方体个数照这样，各行可搬个数累计为9 9 5 4 0 2 7 ，即最多可搬走 27 个小正方体 18 要使平面展开图的周长最小，剪开的七条棱长就要尽量小，因此要先剪开四条高（因为 c 最小），再剪开一条长 a 厘米的棱（否则，不能展开成平面图），最后再剪开两条宽 b 厘米的棱（如图中所表示的这七条棱）由此可得图甲，这时最小周长是 8 4 2 2 4 8c b a a b c （厘米） 要使平面展开图的周长最大，剪开的七条棱长就要尽量大，因此要先剪开四条最长的棱（长 a ），再剪开两条次长的棱（宽 b ），最后剪开一条最短的棱（高 c ），即得图乙，这时最大周长是8 4 2 8 4 2n b c a b c （厘米） 19 如图，由题意知 10， 5， 12， 13，过点 D 作 直于 点 E ，则 1