全国普通高等学校2017届浙江省高考数学二模试卷(理)含解析

2017 年全国普通高等学校高考数学二模试卷（理科）（衡水金卷） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数 i， +i，其中 i 为虚数单位，设复数 z= ，若 a z 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A B C D 2命题 “ x 0， + ）， x 0”的否定是（ ） A （ ， 0）， 0 B x （ ， 0）， x 0 C 0， + ）， 0 D 0， + ）， 0 3已知集合 M=x|y=x 2）， N=x|x a，若集合 M N=N，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 2， + ） B 2， + ） C（ ， 0） D（ ， 0 4已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为 y= x 则该双曲线的离心率为（ ） A B C 或 D 或 5甲、乙、丙、丁、戊 5 人排成一排照相，要求甲不站在两侧，且乙、丙两人站在一起，那么不同的排法种数为（ ） A 12 B 24 C 36 D 72 6如图，正方形 ， P， Q 分别是边 中点，若 =x +y ，则 ） A 2 B C D 7九章算术是我国古代著名数学经典其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题： “今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？ ”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙 体内的部分）已知弦 尺，弓形高 寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（ ） （注： 1 丈 =10 尺 =100 寸， ） A 600 立方寸 B 610 立方寸 C 620 立方寸 D 633 立方寸 8将函数 f（ x） =2x）的图象向左平移 （ 0 4）个单位，得到函数y=g（ x）的图象，若实数 足 |f（ g（ |=4，且 |x2|，则 =（ ） A 1 B 2 C 3 D 1 或 3 9若如图的程序框图运行的结构为 S= ， 则判断框 中可以填入的是（ ）A i 4？ B i 4？ C i 3？ D i 3？ 10多项式（ x y） 5 的展开式中， 的系数为（ ） A 20 B 40 C 15 D 160 11如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A B C D 12已知函数 f（ x） = +2a（ a R），其中 b= （ 2 x （ 1， 2），使得 f（ x） x+f（ x） 0 成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A（ ， 1） B（ 0， 1 C（ ， ） D（ ， 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13某校高三年级的一次测验成绩的频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的 4 个分数段进行分层抽样，抽取 100 人了解情况，已知 70 80 分数段抽取了30 人，则全体高三年级学生的平均分数为 （以各组区间的中点值代表改组的取值） 14若以椭圆 =1 的右顶点为圆心的圆与直线 x+ y+2=0 相切，则该圆的标准方程是 15设 x， y 满足约束条件 ，若目标函数 z=kx+y 的最大值为 9，则实数 k 的 值为 16在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， c= ， C= ，点 B 上，且 =0，则线段 最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共 5 小题，满分 60分） 17（ 12 分）已知数列 前 n 项和为 满足 3n N*） （ ）求数列 通项公式 （ ）设 bn=数列 的前 n 项和 18（ 12 分）在三棱柱 ，已知侧按 底面 四边形 边长为 2 的正方 形， B，点 M 为棱 中点，点 E， F 分别在按 （ ）若点 F 为棱 中点，证明：平面 平面 ）若 ， ，且 直线 平面 成角的正弦值 19（ 12 分）根据环境空气质量指数（ 术规定（试行）（ 012）规定，空气污染指数划分为六档，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显，如表（ 1）所示，若表（ 2）、表（ 3）分别是石家庄市、北京市近期空气质量记录 表一： 空气质量指数 0， 50 51，100 101，150 151，200 201，300 300 以上 空气质量状况 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 （ ）根据表（ 2）、表（ 3）中的数据，通过研究 1 月 1 日至 7 日石家庄市、北京市近一周空气污染指数的平均值，比较石家庄市、北京市近一周空气污染的严重程度（结果保留两位有效数字） （ ）将 1 月 1 日至 7 日分别记为 x， x=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，其对应的空气污染指数为 y，根据表中提供的数据，用变量 y 与 x 的相关系数说明石家 庄市空气污染指数 y 与日期 x 之间线性相关关系的强弱，丙说明理由 （ ）小明在北京经营一家洗车店，经小明统计， 数不高于 200 时，洗车店平均每天亏损约 200 元， 数在 200 至 400 时，洗车店平均每天收入约400 元， 数大于 400 时，洗车店平均每天收入约 700 元，求小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望（结构保留整数部分） 附：相关系数 r= ， r ，相关性一般，r 1时，相关性很强 参考数据： =28， （ ） 2 123134， （ ）（ ）= 68， 1857 20（ 12 分）已知抛物线 ： y2=a 0）上一点， P（ t， 2）到焦点 F 的距离为 2t （ ）求抛物线 的方程 （ ）如图已知点 D 的坐标为（ 4， 0），过抛物线 的焦点 F 的直线交抛物线于 M， N 两点，若过 D 和 N 两点的直线交抛物线 的准线于 Q 点，求证：直线 x 轴交于一定点 21（ 12 分）设函数 f（ x） =22a 0） （ ）若函数 f（ x）在区间 1， 2上的最小值为 0，求实数 a 的值； （ ）若 函数 f（ x）的两个极值点，且 f（ f（ 实数 m 的取值范围 选修 4标系与参数方程 22（ 10 分）已知平面直角坐标系中，曲线 直角坐标方程为（ x+1） 2+（ y 1） 2=1，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 + ） =2 （ ）求曲线 曲线 参数方程 （ ）若点 A， B 分别在曲线 曲线 ，求 |最小值 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x t|， t R （ ）若 t=1，解不等式 f（ x） +f（ x+1） 2 （ ）若 t=2， a 0，求证： f（ f（ 2a） x） 2017 年全国普通高等学校高考数学二模试卷（理科）（衡水金卷） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数 i， +i，其中 i 为虚数单位，设复数 z= ，若 a z 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A B C D 【考点】 数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出 【解答】 解：复数 z= = = = ， a z=a + i 为纯虚数， a =0，解得 a= 故选： B 【点评】 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2命题 “ x 0， + ）， x 0”的否定是（ ） A （ ， 0）， 0 B x （ ， 0）， x 0 C 0， + ）， 0 D 0， + ）， 0 【考点】 21：四种命题 【分析】 利用全称命题的否定是特 称命题写出结果即可 【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题所以命题 “ x 0， + ）， x 0”的否定是： 0， + ）， 0； 故选： C 【点评】 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系 3已知集合 M=x|y=x 2）， N=x|x a，若集合 M N=N，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 2， + ） B 2， + ） C（ ， 0） D（ ， 0 【考点】 18：集合的包含关系判断及应用 【分析】 先将集合 M 化简，然后集合 M N=N，则 N M，得实数 a 【解答】 解：集合 M=x|y=x 2） =x|x 2， N=x|x a， 若集合 M N=N，则 N M， a 2，即（ 2， + ） 故选： A 【点评】 本题考查集合的包含关系，考查数形结合的数学思想，属于基础题 4已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为 y= x 则该双曲线的离心率为（ ） A B C 或 D 或 【考点】 曲线的简单性质 【分析】 当双曲线的焦点坐标在 x 轴上时，设双曲线方程为 ，由已知条件推导出 ；当双曲线 的焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为 ，由已知条件推导出 由此利用分类讨论思想能求出该双曲线的离心率 【解答】 解： 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为 y= x， 双曲线的焦点坐标在 x 轴上或在 y 轴上， 当双曲线的焦点坐标在 x 轴上时， 设双曲线方程为 ， 它的渐近线方程为 y= ， ， e= = = ； 当双曲线的焦点在 y 轴上时， 设双曲线方程为 ， 它的渐近线方程为 y= ， ， ， e= = = 综上所述，该双曲线的离心率为 或 故选： C 【点评】 本题考查双曲线的离 心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用 5甲、乙、丙、丁、戊 5 人排成一排照相，要求甲不站在两侧，且乙、丙两人站在一起，那么不同的排法种数为（ ） A 12 B 24 C 36 D 72 【考点】 列、组合的实际应用 【分析】 根据题意，分 3 步进行分析： 、乙、丙两人站在一起，用捆绑法将 2人看成一个整体进行分析； 、将这个整体与丁、戊进行全排列， 、分析甲的站法数目，进而由分步计数原理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，分 3 步进行分析： 、乙、丙两人站在一起，将 2 人看成一个整体，考虑其顺序有 顺序； 、将这个整体与丁、戊进行全排列，有 情况； 、甲不站在两侧，则乙丙的整体与丁、戊有 2 个空位可选，有 2 种情况， 则不同的排法有 2=24 种； 故选： B 【点评】 本题考查排列、组合的综合应用，注意优先分析受到限制的元素 6如图，正方形 ， P， Q 分别是边 中点，若 =x +y ，则 ） A 2 B C D 【考点】 9H：平面向量的基本定理及其意义 【分析】 y（ =x（ ） +y（ ） =（ x ） +（ ） = 可得 x =1， =1，即可 【解答】 解： y（ =x（ ） +y（ ）=（ x ） +（ ） = 可得 x =1， =1，解得 x= ， y= ， 故选： D 【点评】 本题考查了向量的线性运算，属于中档题 7九章算术是我国古代著名数学经典其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题： “今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？ ”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺 问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）已知弦 尺，弓形高 寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（ ） （注： 1 丈 =10 尺 =100 寸， ） A 600 立方寸 B 610 立方寸 C 620 立方寸 D 633 立方寸 【考点】 柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由题意画出图形，求出圆柱的底面半径，进一步求出弓形面积，代入体积公式得答案 【解答】 解：如图， 0（寸），则 （寸）， （寸）， 设圆 O 的半径为 x（寸），则 x 1）（寸）， 在 ，由勾股定理可得： 52+（ x 1） 2=得： x=13（寸） ，即 则 5 则弓形 的面积 S= 方寸） 则算该木材镶嵌在墙中的体积约为 V=100=633（立方寸） 故选： D 【点评】 本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，关键是对题意的理解，是中档题 8将函数 f（ x） =2x）的图象向左平移 （ 0 4）个单 位，得到函数y=g（ x）的图象，若实数 足 |f（ g（ |=4，且 |x2|，则 =（ ） A 1 B 2 C 3 D 1 或 3 【考点】 数 y=x+）的图象变换 【分析】 结合正弦函数的图象和性质可得 |x2|，得 的值 【解答】 解：将函数 f（ x） =2x）的图象向左平移 （ 0 4）个单位，得到函数 y=g（ x） =2x+）的图象， 故 f（ x）的最大值为 2，最小值为 2， g（ x）的最大值为 2，最小值为 2 若实数 足 |f（ g（ |=4，且 |2，两个函数的最大值与最小值的差为 2，有 |x2| 不妨假设 f（ =2， g（ = 2，则 ， =2， k、 n Z， 即 k+ ， n ，此时，有 |x2|=|2k 2n+1+|=1+，或 |x2|=|2k 2n+1+|= 2+1+， =1 或 =3， 故选： D 【点评】 本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖，有一定难度，属于中档题 9若如图的程序框图运行的结构为 S= ，则判断框 中可以填入的是（ ）A i 4？ B i 4？ C i 3？ D i 3？ 【考点】 序框图 【分析】 模拟运行程序，可得结论 【解答】 解：模拟运行程序，可得 S= ， i=2； S= +2 ， i=3； S= +3， i=4； S= +4 ， i=5，循环结束， 故选 A 【点评】 本题是当型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能及 判断终止程序的 k 值 10多项式（ x y） 5 的展开式中， 的系数为（ ） A 20 B 40 C 15 D 160 【考点】 项式系数的性质 【分析】 由题意知，当其中一个因式取 y，一个因式取 x，其余的 3 个因式都取 ， 可得含 项，由此求得结果 【解答】 解：多项式（ x y） 5 表示 5 个因式（ x y）的乘积， 当只有一个因式取 y，一个因式取 x， 其余的 3 个因式都取 ，才可得到含 项； 所以 系数为 =20 故选： A 【点评 】 本题考查了排列组合、二项式定理和乘方的应用问题，是基础题 11如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体，分别计算它们的体积，相加可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体， 底面（四分之一球）的半径 R=2， 故四分之一球的体积 V= = ， 半 圆锥的底面面积 S= =2， 高 h=3， 故半圆锥的体积为： 2， 故组合体的体积 V= ， 故选： C 【点评】 本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键 12已知函数 f（ x） = +2a（ a R），其中 b= （ 2 x （ 1， 2），使得 f（ x） x+f（ x） 0 成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A（ ， 1） B（ 0， 1 C（ ， ） D（ ， 【考点】 67：定积分 【分析】 先利用微积分基本定理求出 a，得到函数的解析式，再求导函数，根据导数和函数的单调性关系，求出函数 y=x+ 的最大值即可 【解答】 解： b= （ 2 =（ 1， f（ x） = +x 2a， 设 g（ x） =x） =2a2+2 g（ x） = +2x 2a， g（ x） =f（ x） x+f（ x）， x （ 1， 2），使得 f（ x） x+f（ x） 0 成立， x （ 1， 2），使得 +2x 2a 0， x （ 1， 2），使得 a +x， 又 y=x+ 在（ 1， 2）上单调递增， a （ +x） +2= ， a ， 故选： C 【点评】 本题以函数为载体，考查微积分基本定理，导数的运用，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13某校高三年级的一次测验成绩的频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的 4 个分数段进行分层抽样，抽取 100 人了解情况，已知 70 80 分数段抽取了30 人，则全体高三年级学生的平均分数为 82 （以各组区间的中点值代表改组的取值） 【考点】 率分布直方 图 【分析】 先求出 70 80 分数段与 90 100 分数段的频率，再求平均分 【解答】 解：根据频率分布直方图知， 70 80 分数段的频率为 = 90 100 分数段的频率为 1（ = 平均分为 =65+75+85+95=82， 故答案为： 82 【点评】 本题考查了利用频率分布直方图求平均数的应用问题，是基础题 14若以椭圆 =1 的右顶点为圆心的圆与直线 x+ y+2=0 相切，则该圆的标准方程是 （ x 2） 2+ 【考点 】 圆的简单性质 【分析】 求得椭圆的右顶点，利用点到直线的距离公式，即可圆的半径，即可求得圆的标准方程 【解答】 解：椭圆 =1 的右顶点（ 2， 0）， 则圆心（ 2， 0），设圆心到直线 x+ y+2=0 的距离为 d， 则 d= =2， 该圆的标准方程的方程（ x 2） 2+， 故答案为：（ x 2） 2+ 【点评】 求得椭圆的右顶点，利用点到直线的距离公式，属于基础题 15设 x， y 满足约束条件 ，若目标函数 z=kx+y 的最大值为 9，则实数 k 的值为 5 或 2 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合以及分类讨论的思想进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=kx+y 得 y= kx+z， 则直线截距最大时， z 最大， 目标函数 z=kx+y 的最大值为 9， y+，即 y= ， 则目标函数过定点（ 0， 9）， 当 k=0 时， y=z，此时直线过点 A 时，直线的截距最大， 由 得 ，即 A（ 2， 5）， 此时最大值 z=5 不满足条件 当 k 0 时，目标函数的斜率为 k 0， 平移直线 y= kx+z，则直线经过点 A（ 2， 5）时，截距最大， 此时 z=9=2k+5，得 2k=4， k=2， 当 k 0 时，目标函数的斜率为 k 0， 平移直线 y= kx+z，则直线经过点 C 时，截距最大， 由 得 ，即 C（ ， ） 此时 z=9= k+ ，得 3k=15，得 k= 5，满足条件 综上 k= 5 或 k=2， 故答案为： 5 或 2 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键注意本题要对 k 进行分类讨论 16在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， c= ， C= ，点 B 上，且 =0，则线段 最大值为 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】 根据 | |=| |= 得出 a2+利用基本不等式得出 范围，根据面积公式得出 于 表达式，从而得出 最值 【解答】 解： = ， | |=| |= ， =3，即 a2+ 又 a2+2 3+2 3 =0， S= = c，即 ， 故答案为： 【点评】 本题 考查了平面向量的应用与数量积运算，面积公式及基本不等式，属于中档题 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共 5 小题，满分 60分） 17（ 12 分）（ 2017衡水金卷二模）已知数列 前 n 项和为 满足 3n N*） （ ）求数列 通项公式 （ ）设 bn=数列 的前 n 项和 【考点】 8E：数列的求和； 8H：数列递推式 【分析】 （ ）当 n 2 时，由已知条件 3到 1=2 31，将这两个式子相减，再结合数列 前 n 项和 定义易得数列 通项公式 （ ）利用（ ）中求得的通项公式不难推出： bn= 2n，所以利用裂项相消法来求数列 的前 n 项和 【解答】 解：（ ）当 n 2 时， 3 1=2 31 得： 1= 3（ 1） = 3 4an=1；即 = ， 又 3 3： ， 数列 以 为首项， 为公比的等比数列 （ ） n 1=21 2n（ n N*），即 1 2n（ n N*）， （ ） 1 2n（ n N*）， bn= bn=2n=1 2n， = = （ ） （ 1 + + + ）， = （ 1 ）， = （ n N*） 【点评】 本题主要考查数列通项公式和前 n 项和的求解，利用裂项相消求和法是解决本题的关键 18（ 12 分）（ 2017衡水金卷二模）在三棱柱 ，已知侧按 底面 四边形 边长为 2 的正方形， B，点 M 为棱 E， F 分别在按 （ ）若点 F 为棱 中点，证明：平面 平面 ）若 ， ，且 直线 平面 成角的正弦值 【考点】 线与平面所成的角； 面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）推导出 而 平面 此能证明平面 平面 （ ）记线段 中点为 N，连结 M 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 平面成角的正弦值 【解答】 证明：（ ） 边长为 2 的正方形， 又在正方形 ， F， M 分别是线段 中点， 在 ， B，且点 M 是线段 中点， 又 ， 平面 又 平面 平面 平面 解：（ ）在等腰 ，由 ，知 B= ，且 ， 记线段 中点为 N，连结 由（ ）知 两互相垂直 ， 以 M 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 C（ 1， 0， 0）， E（ 0， 1， ）， F（ 0， ， 2）， A（ 0， 1， 0）， 1， 0，2）， =（ 1， 1， ）， =（ 0， ， ）， =（ 1， 1， 2）， 设平面 一个法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 z=2，得 =（ 5， 4， 2）， 设直线 平面 成角为 ， 则 |= = = ， 直线 平面 成角的正弦值为 【点评】 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法 ，考查线面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题 19（ 12 分）（ 2017衡水金卷二模）根据环境空气质量指数（ 术规定（试行）（ 2012）规定，空气污染指数划分为六档，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显，如表（ 1）所示，若表（ 2）、表（ 3）分别是石家庄市、北京市近期空气质量记录 表一： 空气质量指数 0， 50 51，100 101，150 151，200 201，300 300 以上 空气质量状况 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 （ ）根据表（ 2）、表（ 3）中的数据，通过研究 1 月 1 日至 7 日石家庄市、北京市近一周空气污染指数的平均值，比较石家庄市、北京市近一周空气污染的严重程度（结果保留两位有效数字） （ ）将 1 月 1 日至 7 日分别记为 x， x=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，其对应的空气污染指数为 y，根据表中提供的数据，用变量 y 与 x 的相关系数说明石家庄市空气污染指数 y 与日期 x 之间 线性相关关系的强弱，丙说明理由 （ ）小明在北京经营一家洗车店，经小明统计， 数不高于 200 时，洗车店平均每天亏损约 200 元， 数在 200 至 400 时，洗车店平均每天收入约400 元， 数大于 400 时，洗车店平均每天收入约 700 元，求小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望（结构保留整数部分） 附：相关系数 r= ， r ，相关性一般，r 1时，相关性很强 参考数据： =28， （ ） 2 123134， （ ）（ ）= 68， 1857 【考点】 性回归方程 【分析】 （ ）求出平均数，比较即可； （ ）求出 r，根据 r 的范围判断即可； （ ）设洗车店平均每天收入为 X 元，则 X 可能的取值为 200， 400， 700 分别求出 P（ X= 200）， P（ X=400）， P（ X=700），求出 E（ X）的值即可 【解答】 解：（ ）石家庄市近一周空气污染指数的平均值为： 北京市近一周空气污染指数的平均数为： 石家庄市与北京市的空气都处于重度污染， 且石家庄市比北京市的污染更严重； （ ） r= r 石家庄市空气污染指数 y 与日期 x 之间线性相关关系一般； （ ）设洗车店平均每天收入为 X 元， 则 X 可能的取值为 200， 400， 700， P（ X= 200） = = ， P（ X=400） = = ， P（ X=700） = ， 则 X 的分布列为： X 200 400 700 P 故 E（ X） = 200 +400 +700 = 164（元）， 故小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望是 164 元 【点评】 本题考查了平均数问题，考查相关系数的计算以及数学期望问题，是 一道中档题 20（ 12 分）（ 2017衡水金卷二模）已知抛物线 ： y2=a 0）上一点， P（ t， 2）到焦点 F 的距离为 2t （ ）求抛物线 的方程 （ ）如图已知点 D 的坐标为（ 4， 0），过抛物线 的焦点 F 的直线交抛物线于 M， N 两点，若过 D 和 N 两点的直线交抛物线 的准线于 Q 点，求证：直线 x 轴交于一定点 【考点】 物线的简单性质 【分析】 （ ）根据抛物线的定义，可得 a=4t，将 P 代入抛物线方程，求得 ，代入即可求得 a 的值，求得抛物线 的方程； （ ）设 A（ B（ 设直线 方程为 x=，联立方程组，表示出直线 方程，与抛物线 的准线方程构成方程组，解得 Q 的坐标，求出直线 斜率，得到直线 方程，求出交点坐标即可 【解答】 解：（ ）由抛物线的定义可知丨 =t+ =2t，则 a=4t， 由点 P（ t， 2）在抛物线上，则 ， a =4，则 6， 由 a 0，则 a=4， 抛物线的方程 x； （ ）证明：设 M（ N（ 设直线 方程为 x= ，整理得： 44=0， 由韦达定 理可知： y1 4， 依题意，直线 x 轴不垂直， 直线 方程可表示为， y= （ x 4） 抛物线 的准线方程为， x= 1 由 ， 联立方程组可求得 Q 的坐标为（ 1， ） Q 的坐标可化为（ 1， ）， ， 直线 方程为 y （ x 令 y=0，可得 x= ， 直线 x 轴交于定点（ ， 0） 【点评】 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 21（ 12 分）（ 2017衡水金卷二模）设函数 f（ x） =22a 0） （ ）若函数 f（ x）在区间 1， 2上的最小值为 0，求实数 a 的值； （ ）若 函数 f（ x）的两个极值点，且 f（ f（ 实数 m 的取值范围 【考点】 6D：利用导数研究函数的极值； 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数 f（ x）在区间1， 2上的最小值为 0，求实数 a 的值； （ ） f（ f（ =（ 22（ 22= t，则 t 1， g（ t） = t 2x，求导，确定函数的单调性，求最值，即可求实数 m 的取值范围 【解答】 解：（ ） f（ x） = ， 0 a 2， f（ x） 0， f（ x）在区间 1， 2上单调递增， f（ x） f（ 1） =1 2a=0， a= ； a 2，令 f（ x） =0，则 ， ， 2 a ， 1， （ 1， 2）， 函数在（ 1， 单调递减，在（ 2）内单调递增， f（ x） f（ f（ 1