高中数学第二章数列习题课数列求和课件新人教a版必修5

第二章 数 列 习题课 数列求和 掌握数列求和的几种基本方法. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点 数列求和的方法 1.基本求和公式 答案 na1 答案 2.倒序相加法 如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等 于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差 数列的前n项和即是用此法推导的. 答案 解析 设原式S， 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积 构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消， 从而求得其和. 裂项相消求和经常用到下列拆项公式: 答案 5.分组求和法 分组求和一般适用于两种形式： (1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求 an的前n项和； 返回 6.并项求和法 一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an(1)n f(n)类型，可采用两项合并求解. 题型探究 重点突破 题型一 分组求和法 例1 在等差数列an中，a24，a4a715. (1)求数列an的通项公式； 解析答案 解 设等差数列an的公差为d. 所以ana1(n1)dn2. (2)设bn2 n，求b1b2b3b10的值. 解析答案反思与感悟 解 由(1)可得bn2nn， 所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010) (22223210)(12310) (2112)55 211532 101. an2 某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而 利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和. 反思与感悟 跟踪训练1 已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1 ，a14b4. (1)求an的通项公式； 解 (1)设数列an的公差为d，bn的公比为q， bn的通项公式bnb1qn13n1， 又a1b11，a14b434127， 1(141)d27，解得d2. an的通项公式ana1(n1)d1(n1)22n1(n1，2，3，) 解析答案 (2)设cnanbn，求数列cn的前n项和 解 设数列cn的前n项和为Sn. cnanbn2n13n1， Snc1c2c3cn 2113022131231322n13n1 解析答案 题型二 错位相减法求和 例2 设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1. (1)求数列an的通项公式； 解析答案 解 设等差数列an的首项为a1，公差为d， 解得a11，d2， 因此an2n1，nN*. 解析答案反思与感悟 由(1)知an2n1，nN*， 解析答案反思与感悟 反思与感悟 用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以 便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.若公比是个参数(字母)，则应先 对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*). (1)求数列an的通项an； 解 an12Sn， 又S1a11， 数列Sn是首项为1，公比为3的等比数列. Sn3n1(nN*). 当n2时，an2Sn123n2，且a11， 解析答案 (2)求数列nan的前n项和Tn. 解 Tna12a23a3nan， 当n1时，T11； 当n2时，Tn14306312n3n2， 3Tn34316322n3n1， 得2Tn242(31323n2)2n3n1 1(12n)3n1， 又T1a11也满足上式， 题型三 裂项相消求和 解析答案反思与感悟 如果数列的通项公式可以化为f(n1)f(n)的形式，在数列求和时，就可以 采用裂项相消法.要注意相消后的项要对称，如前面留下两项，则后面也会 留下两项 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 正项数列an满足 (2n1)an2n0. (1)求数列an的通项公式an； 得(an2n)(an1)0. 由于an是正项数列，所以an2n. 解析答案 题型四 并项求和法 例4 求和：Sn1357(1)n(2n1). 解析答案反思与感悟 当数列中的项正、负相间时，通常采用并项求和法，但应注意对n的取值的 奇偶性进行讨论.其结果有时可以统一书写，有时要分段书写 反思与感悟 解析答案 解析答案 解析答案 错位相减法易错点 误区警示返回 误区警示 (1)同乘的系数为等比数列的公比. (2)指数相同的项相减. (3)等比数列的项数是(n1)项还是n项. (4)指数式的计算是否正确. (5)在涉及到公比为字母时应注意讨论q是否为1. 返回 当堂检测1234 1.设an为等比数列，bn为等差数列，且b10，cnanbn，若数列 cn是1,1,2，则数列cn的前10项和为( ) A.978 B.557 C.467 D.979 解析答案 1234 解析 由题意可得a11，设数列an的公比为q，数列bn的公差为d， q0，q2，d1， an2n1，bn(n1)(1)1n，cn2n11n， 设数列cn的前n项和为Sn， S10978. 答案 A 1234 2.10029929829722212的值是( ) A.5 000 B.5 050 C.10 100 D.20 200 解析 对相邻两项由平方差公式得，原式(10099)(9897) (21)5 050. B 解析答案 1234 3.数列an的通项ann2n，数列an的前n项和Sn为( ) A.n2n1 B.n2n12 C.(n1)2n12 D.n2n12 C 解析答案 1234 解析答案 1234 答案 A 课堂小结 求数列前n项和，一般有下列几种方法 1公式法：适用于已知类型为等差或等比数列的求和 2错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的 数列求和 3分组求和：把一个数列分成几