高中数学 第一章 直线、多边形、圆 2_2 圆的切线的判定和性质学案 北师大版选修4-1

22圆的切线的判定和性质对应学生用书P151切线的判定定理文字语言符号语言图形语言切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线OA是圆O的半径直线lOA且Al，则l是圆O的切线2切线的性质定理及推论文字语言符号语言图形语言切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径直线l与圆O相切于点A，则lOA推论1经过圆心且垂直于切线的直线经过切点直线l与圆O相切于点A.过O作直线ml，则Am推论2经过切点且垂直于切线的直线经过圆心直线l与圆O相切于点A过A作直线ml，则Om3切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等怎样求圆的切线长？提示：利用圆外的点、圆心、切点构成的直角三角形求长对应学生用书P16切线的判定定理的应用例1如图，在ABC中，C90，BE是角平分线，DEBE交AB于D，O是BDE的外接圆求证：AC是O的切线思路点拨本题主要考查切线的判定问题， 解此题时只需证明ACOE即可精解详析连接OE.OEOB，OEBOBE.又BE平分CBD，CBEDBE.OEBCBE.EOCB.C90，AEO90，即ACOE.E为O半径OE的外端，AC是O的切线证明直线与圆相切一般有以下几种方法：(1)直线与圆只有一个公共点；(2)圆心到直线的距离等于圆的半径；(3)切线的判定定理几何证明问题常用方法(3)1如图，AB是O的直径，BC交O于点D，DEAC于点E，要使DE是O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是()ADEDOBABACCCDDB DACOD解析：选A当ABAC时，如图：连接AD，因为AB是O的直径，所以ADBC，所以CDBD，因为AOBO，所以OD是ABC的中位线，所以ODAC，因为DEAC，所以DEOD，所以DE是O的切线所以B正确当CDBD时，AOBO，同B，所以C正确当ACOD时，因为DEAC，所以DEOD.所以DE是O的切线所以D正确2已知D是ABC的边AC上的一点，ADDC21，C45，ADB60，求证：AB是BCD的外接圆的切线证明：如图，连接OB，OC，OD，OD交BC于E.DCB是所对的圆周角，BOD是所对的圆心角，BCD45，BOD90.ADB是BCD的一个外角，DBCADBACB604515，DOC2DBC30，从而BOC120.OBOC，OBCOCB30.在OEC中，EOCECO30，OEEC.在BOE中，BOE90，EBO30，BE2OE2EC，ABOD.ABO90，故AB是BCD的外接圆的切线.切线的性质定理的应用例2如图，已知C90，点O在AC上，CD为O的直径，O切AB于E，若BC5，AC12.求O的半径思路点拨O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到连接OE构造RtOAE，再利用相似三角形的性质，求出O的半径精解详析连接OE，AB与O切于点E，OEAB，即OEA90.C90，AA，RtACBRtAEO，.BC5，AC12，AB13，OE.即O的半径为.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等3.如图，AB切O于点B，延长AO交O于点C，连接BC.若A40，则C()A20B25C40D50解析：选B连接OB，因为AB切O于点B，所以OBAB，即ABO90，所以AOB50，又因为点C在AO的延长线上，且在O上，所以CAOB25.4AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DADC，求证：AB2BC.证明：连接OD，则ODDC，又OAOD，DADC，所以DAOODADCO，DOCDAOODA2DCO，所以DCO30，DOC60，所以OC2OD，即OBBCODOA.所以AB2BC.例3如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于D，过D作O的切线交AC于E.求证：DEAC.思路点拨本题主要考查切线性质定理的应用解题时由于DE是O的切线，则ODDE，故要证DEAC，只需证明ODAC即可精解详析连接OD、AD，如图AB为O直径，ADBC.ABAC，即ABC为等腰三角形，AD为BC边上的中线，即BDDC.又OAOB，OD为ABC的中位线ODAC.DE切O于D，ODDE.DEAC.与圆的切线有关问题往往连接圆心与切点添加辅助线后出现垂直关系，这是解决圆的切线问题的一个关键点5如图，PA，PB是O的切线，A，B是切点，AC是O的直径，BAC20，求P的度数解：如图，连接OB，OAOB，OAAP，OBBP，OAPOBP90，OABOBA.又BAC20，OBA20，BAP90BAC70，ABP90OBA70.P180BAPABP40.6.如图，已知AD为O的直径，B为AD延长线上一点，BC与O切于C点，A30.求证：(1)BDCD.(2)AOCBDC.证明：(1)因为AD为O的直径，所以ACD90，又因为A30，OAOCOD，所以ACO30，ODCOCD60，又因为BC与O切于C点，所以OCB90，所以BCD30，所以B30，所以BCDB，所以BDCD.(2)因为AACOBCDB30，所以ACBC，在AOC和BDC中，所以AOCBDC.本课时主要考查圆的切线的性质定理与判定定理的应用，题目难度中档考题印证如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足ABC30，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA .命题立意本题主要考查圆的切线的性质定理和圆周角定理的应用自主尝试如图，连接OA.由ABC30，得AOC60，在直角三角形AOP中，OA1，于是PAOAtan 60.答案：对应学生用书P18一、选择题1矩形的两邻边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形中与半圆相切的边有()A1条B2条C3条 D0条解析：选C以较长的边为直径作半圆，半径正好与另一边相等，所以由图可知，与半圆相切的边有3条2.如图，O内切于ABC，切点分别为D，E，F，若ABC40，ACB60，连接OE，OF，则EOF()A30B45C100D90解析：选C因为ABC40，ACB60，所以A80，则EOF18080100.3如图，AB是O的直径，点P在AB的延长线上，PC与O相切于点C，PCAC1，则O的半径为()A BC D解析：选A连接OC.设PAC.因为PCAC，所以CPA，COP2.又因为PC与O相切于点C，所以OCPC.所以390.所以30.设O的半径为r，在RtPOC中，rCPtan301.4如图，在O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若ADDC，则sinACO()A BC D解析：选A连接BD，则BDAC.ADDC，BABC，BC是O的切线，切点为B，OBC90，BCA45.sinBCO，cosBCO.sinACOsin(45BCO)sin45cosBCOcos45sinBCO.二、填空题5如图，O是边长为2的等边ABC的内切圆，则O的半径为 解析：设O与BC边的切点为D，连接OD以及OC，如图，由等边三角形的内切圆的性质可得ODBC，OCD30，OD即为圆的半径又由BC2，则CD1，所以在RtOCD中，tan 30，解得OD.答案：6如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BCAC于C，若BC6，AC8，则AE ，AD .解析：据题意设圆的半径为R，连接OD，由ODBC得：R，故AE102R，由，得AD5.答案：57已知PA是圆O的切线，切点为A，PA2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB1，则圆O的半径R .解析：AB.由AB2PBBC，BC3，RtABC中，AC2.R.答案：8如图，O为ABC的内切圆，C90，AO的延长线交BC于点D，AC4，CD1，则O的半径等于 解析：如图所示，设点E为BC与O的切点，连接OE，则OEBC.又C90，OEAC，CEOEr，DE1r.，解得r.答案：三、解答题9.如图，AC是O的直径，PA是O的切线，A为切点，连接PC交O于点B，连接AB，且PC10，PA6.求：(1)O的半径(2)cosBAC的值解：(1)因为AC是O的直径，PA是O的切线，所以CAPA，即PAC90，因为PC10，PA6，所以AC8，所以OAAC4，所以O的半径为4.(2)因为AC是O的直径，PA是O的切线，所以ABCPAC90，所以PC90，BACC90，所以BACP，在RtPAC中，cos P，所以cos BAC.10如图，已知PAB是O的割线，AB为O的直径PC为O的切线，C为切点，BDPC于点D，交O于点E，PAAOOB1.(1)求P的度数；(2)求DE的长解：(1)C为切点，OCPC，POC为直角三角形OCOA1，POPAAO2，sinP.P30.(2)BDPD，在RtPBD中，由P30，PBPAAOOB3，得BD.连接AE，则AEB90，AEPD.EABP30，BEABsin301，DEBDBE.11如图所示，O的外切四边形ABCD是直角梯形，ADBC，AB90.(1)求证：OCOD.(2)若CD4 cm，BCD60，求O的半径解：(1)证明：因为ADBC，所以BCDADC180，由题意知ODCADC，OCDBCD，所