高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_2_1 椭圆的标准方程（二）学案 新人教b版选修2-1

2.2.1椭圆的标准方程(二)学习目标1.加深理解椭圆定义及标准方程.2.能灵活运用条件求椭圆的标准方程.3.能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题知识点椭圆标准方程的认识与推导思考1椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？思考2依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？思考3观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程梳理(1)椭圆的标准方程的形式焦点位置形状、大小焦点坐标标准方程焦点在x轴上形状相同，a，b，c满足ab0，b2a2c2，焦距为2cF1(c，0)，F2(c，0)1(ab0)焦点在y轴上F1(0，c)，F2(0，c)1(ab0)(2)方程Ax2By21表示椭圆的充要条件是_(3)椭圆方程中参数a，b，c之间的关系为_类型一椭圆标准方程的确定例1求焦点在坐标轴上，且经过A(，2)和B(2，1)两点的椭圆的标准方程反思与感悟求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0，2)，并且椭圆经过点(，)；(2)焦点在y轴上，且经过两点(0，2)和(1，0)类型二相关点法在求解椭圆方程中的应用例2如图，在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹引申探究若本例中“过点P作x轴的垂线段PD”，改为“过点P作y轴的垂线段PD”那么线段PD的中点M的轨迹又是什么？反思与感悟如果一个动点P随着另一个在已知曲线上运动的动点Q而运动，则求P点的轨迹方程时一般用转代法来求解基本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1)(2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可跟踪训练2如图所示，B点坐标为(2，0)，P是以O为圆心的单位圆上的动点，POB的平分线交直线PB于点Q，求点Q的轨迹方程1若方程y21表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为()A(1，) B(，)C1，) D(，1)2设B(4，0)，C(4，0)，且ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为()A.1(y0) B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)3已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则椭圆E的方程为_4在椭圆y21中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1，再次被椭圆反射后又回到F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为_5ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b6，求顶点B的轨迹方程1两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：标准方程1(ab0)1(ab0)不同点图形焦点坐标F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)相同点定义平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹a、b、c的关系a2b2c22.所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点在1与1这两个标准方程中，都有ab0的要求，如方程1(m0，n0，mn)就不能肯定焦点在哪个轴上分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1类比，如1中，由于ab，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小)要区别a2b2c2与习惯思维下的勾股定理c2a2b2.提醒：完成作业第二章2.2.1(二)答案精析问题导学知识点思考1标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值思考2把方程化为标准形式，与x2，y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上思考3(1) 如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(c，0)，F2(c，0)(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|MF2|2a列方程，并将其坐标化为2a.(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b，令b2a2c2，可得椭圆标准方程为1(ab0)(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(c，0)，F2(c，0)的距离之和为2a，即以方程的解为坐标的点都在椭圆上由曲线与方程的关系可知，方程是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程梳理(2)A0，B0且AB(3)a2b2c2题型探究例1解方法一(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1.(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意有解得此时不符合ab0，所以方程组无解故所求椭圆的标准方程为1.方法二设所求椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0且AB)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1.跟踪训练1解(1)椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义知：2a 2，即a.又c2，b2a2c26.所求的椭圆的标准方程为1.(2)椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(ab0)又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所求的椭圆的标准方程为x21.例2解设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则xx0，y.因为点P(x0，y0)在圆x2y24上，所以xy4.把x0x，y02y代入方程，得x24y24，即y21.所以点M的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆引申探究解设M(x，y)，P(x0，y0)，则xy4，(*)把代入(*)式得x21.故点M的轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆跟踪训练2解由三角形角平分线性质得2.2.设Q(x，y)，P(x0，y0)，则(x2，y)2(x0x，y0y)，又点P在单位圆x2y21上，()2()21.点Q的轨迹方程为1.当堂训练1A2.A3.1445解以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立直角坐标系，设A(3，0)，C(3，0)，B(x，y)，则|