高中数学 第一章 立体几何初步章末复习课学案 新人教b版必修2

第一章 立体几何初步学习目标1.整合知识结构，形成知识网络、深化所学知识.2.会画几何体的直观图和三视图，并能计算几何体的表面积和体积.3.熟练掌握线线、线面、面面间的平行与垂直关系1空间几何体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的这三种几何体都是多面体(2)圆柱、圆锥、圆台、球是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体2空间几何体的三视图与直观图(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括主视图、左视图、俯视图三种画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出熟记常见几何体的三视图画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验(2)斜二测画法为：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法它的主要步骤：画轴；画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x、y、z轴的线段；截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化，这也是高考考查的重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的形状和基本量3几何体的表面积和体积的有关计算(1)常见几何体的表面积和体积的计算公式面积体积圆柱S侧2rhVShr2h圆锥S侧rlVShr2hr2圆台V(S上S下)hh(rrr1r2)直棱柱S侧chVSh正棱锥S侧chVSh正棱台S侧(cc)hV(S上S下)h球S球面4R2VR3(2)求几何体体积常用技巧等体积法；割补法4平行关系(1)基本性质4平行于同一条直线的两条直线_即如果直线ab，cb，那么_(2)直线与平面平行的判定与性质定理条件结论符号语言判定如果_的一条直线和_的一条直线平行这条直线和这个平面_，m，_l性质如果一条直线和一个平面_，经过这条直线的平面和这个平面_这条直线和_l，_，_mlm(3)平面与平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行符号语言：a，b，_，a，b.图形语言：如图所示(4)平面与平面平行的性质定理文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言：，a，_ab.图形语言：如图所示作用：证明两直线平行5垂直关系(1)直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的_直线垂直，则这条直线与这个平面垂直推论：如果在两条_中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(2)直线与平面垂直的性质性质1：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的_一条直线垂直符号表示：ab.性质2：如果两条直线_，那么这两条直线平行(3)面面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的_，则这两个平面互相垂直(4)面面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在_垂直于_的直线垂直于另一个平面6共面与异面直线(1)共面：空间中的_或_，如果都在同一平面内，我们就说它们共面(2)异面直线：既_又_的直线类型一三视图与表面积及体积的计算例1(1)如图是一几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A5 B52C42 D42(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.反思与感悟此类题目是先将三视图还原成几何体，计算几何体的体积时，对于不规则的几何体可利用割补法求体积跟踪训练1(1)若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_类型二空间中的平行问题例2如图，E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点求证：(1)GE平面BB1D1D；(2)平面BDF平面B1D1H.反思与感悟(1)判断线线平行的方法利用定义：证明线线共面且无公共点利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线利用线面平行的性质定理：a，a，bab.利用面面平行的性质定理：，a，bab.利用线面垂直的性质定理：a，bab.(2)判定线面平行的方法利用定义：证明直线a与平面没有公共点，往往借助反证法利用直线和平面平行的判定定理：a，b，aba.利用面面平行的性质的推广：，aa.(3)判定面面平行的方法利用面面平行的定义：两个平面没有公共点利用面面平行的判定定理：a，b，abA，a，b.垂直于同一条直线的两个平面平行，即a，a.平行于同一个平面的两个平面平行，即，.跟踪训练2如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，DB平面ABC，CECA2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN平面ABC.类型三空间中的垂直关系例3如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD的中点，且AECD，又G，F分别为DA，EC的中点，将ADE沿AE折起，使得DEEC.(1)求证：AE平面CDE；(2)求证：FG平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR平面DCB，并说明理由反思与感悟空间中垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法计算所成的角为90(包括平面角和异面直线所成的角)线面垂直的性质(若a，b，则ab)(2)判定线面垂直的方法线面垂直定义(一般不易验证任意性)线面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa)平行线垂直平面的传递性质(ab，ba)面面垂直的性质(，l，a，ala)面面平行的性质(a，a)(3)面面垂直的判定方法根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90)面面垂直的判定定理(a，a)跟踪训练3如图，在ABC中，ACBCAB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点(1)求证：GF平面ABC；(2)求证：平面EBC平面ACD；(3)求几何体ADEBC的体积V.1某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A2 B4C22 D52若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面3设有不同的直线m、n和不同的平面、，下列四个命题中，正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，m，n，则C若，m，则mD若，m，m，则m4.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.5.如图，在棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.1研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决2转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为答案精析知识梳理4(1)平行ac(2)不在一个平面平面内平行llm平行相交两平面的交线平行l(3)abP(4)b5(1)两条相交平行直线(2)任意垂直于同一个平面(3)一条垂线(4)一个平面内它们交线6(1)几个点几条直线(2)不平行不相交题型探究例1(1)A如图所示，该几何体的表面积S111122(12)15，故选A.(2)解析由几何体的三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m，圆锥的高为1 m，圆柱的高为2 m，所以该几何体的体积V2121122(m3)跟踪训练1(1)解析由主视图知，三棱柱的底面边长为2，高为1，外接球的球心在上下两个三角形中心连线的中点上，连接球心和任意一个顶点的线段长为球的半径，则R2()2()2(其中R为球的半径)，则球的表面积S4R24.(2)24解析由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示在图(1)中，SABCAA143530， PB14336.故几何体ABCPA1C1的体积为30624.例2证明(1)取B1D1中点O，连接GO，OB，易证OG綊B1C1，BE綊B1C1，OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形OBGE.OB平面BB1D1D，GE平面BB1D1D，GE平面BB1D1D.(2)由正方体性质得B1D1BD，B1D1平面BDF，BD平面BDF，B1D1平面BDF.连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1BF.HD1平面BDF，BF平面BDF，HD1平面BDF.B1D1HD1D1，平面BDF平面B1D1H.跟踪训练2证明M、N分别是EA与EC的中点，MNAC，又AC平面ABC，MN平面ABC，MN平面ABC，DB平面ABC，EC平面ABC，BDEC，N为EC中点，EC2BD，NC綊BD，四边形BCND为矩形，DNBC，又DN平面ABC，BC平面ABC，DN平面ABC，又MNDNN，平面DMN平面ABC.例3(1)证明由已知得DEAE，AEEC.DEECE，DE，EC平面DCE，AE平面CDE.(2)证明取AB的中点H，连接GH，FH，GHBD，FHBC.GH平面BCD，BD平面BCD，GH平面BCD.同理，FH平面BCD，又GHFHH，平面FHG平面BCD，GF平面FHG，GF平面BCD.(3)解取线段AE的中点R，DC的中点M，DB的中点S，连接MS，RS，BR，DR，EM，则MS綊BC.又RE綊BC，MS綊RE，四边形MERS是平行四边形，RSME.在DEC中，EDEC，M是CD的中点，EMDC.由(1)知AE平面CDE，AEBC，BC平面CDE.EM平面CDE，EMBC.BCCDC，EM平面BCD.EMRS，RS平面BCD.RS平面BDR，平面BDR平面DCB.跟踪训练3(1)证明如图，取BE的中点H，连接HF，GH.因为G，F分别是EC和BD的中点，所以HGBC，HFDE.又因为四边形ADEB为正方形，所以DEAB，从而HFAB.所以HF平面ABC，HG平面ABC.又因为GHHFH，所以平面HGF平面ABC.所以GF平面ABC.(2)证明因为四边形ADEB为正方形，所以EBAB.又因为平面ABED平面ABC，平面ABED平面ABCAB，所以BE平面ABC，所以BEAC.又因为CA2CB2AB2，所以ACBC.又因为BEBCB，所以AC平面BCE.又因为AC平面ACD，从而平面EBC平面ACD.(3)解取AB的中点N，连接CN，因为ACBC，所以CNAB，且CNABa.又平面ABED平面ABC，平面ABED平面ABCAB，所以CN平面ABED.因为CABED是四棱锥，所以VCABEDSABEDCNa2aa3.即几何体ADEBC的体积Va3.当堂训练1C2.B3.D4.a解析MN平面AC，平面PMN平面ACPQ，MNPQ，易知DPDQ，故PQDP.5证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，D