高中数学 第一章 解三角形 1_1_1 正弦定理（二）学案 新人教b版必修51

1.1.1正弦定理(二)学习目标1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题知识点一正弦定理的常见变形1sin Asin Bsin C_；2._；3a_，b_，c_；4sin A_，sin B_，sin C_.知识点二判断三角形解的个数思考1在ABC中，a9，b10，A60，判断三角形解的个数梳理已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一例如在ABC中，已知a，b及A的值由正弦定理，可求得sin B.在由sin B求B时，如果ab，则有AB，所以B为锐角，此时B的值唯一；如果ab，则有AB，所以B为锐角或钝角，此时B的值有两个思考2已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？梳理解三角形4个基本类型：(1)已知三边；(2)已知两边及其夹角；(3)已知两边及其一边对角；(4)已知一边两角其中只有类型(3)解的个数不确定知识点三正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用思考1在ABC中，已知acos Bbcos A你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?梳理一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系所以正弦定理的主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来简称边角互化思考2什么时候适合用正弦定理进行边角互化？类型一判断三角形解的个数例1在ABC中，已知a1，b，A30，解三角形引申探究若a，b1，B120，解三角形反思与感悟已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值或者根据该正弦值(不等于1时)在0180范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求跟踪训练1已知一三角形中a2，b6，A30，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形类型二利用正弦定理求最值或取值范围例2在锐角ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，a2bsin A，求cos Asin C的取值范围反思与感悟解决三角形中的取值范围或最值问题：(1)先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素(2)将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题跟踪训练2在ABC中，若C2B，求的取值范围类型三正弦定理与三角变换的综合例3已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ac2b,2cos 2B8cos B50，求角B的大小并判断ABC的形状反思与感悟借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式跟踪训练3已知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之积等于两根之和，其中a、b为ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状1在ABC中，AC，BC2，B60，则角C的值为()A45 B30 C75 D902在ABC中，若，则ABC是()A直角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形3在ABC中，若abc135，求的值1已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值2判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式答案精析问题导学知识点一1abc2.2R32Rsin A2Rsin B2Rsin C4.知识点二思考1sin Bsin A，而1，所以当B为锐角时，满足sin B的角有60B90，故对应的钝角B有90B120，也满足AB180，故三角形有两解思考2如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题知识点三思考1可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos Bcos Asin B0.思考2尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系，但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径故使用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径题型探究类型一判断三角形解的个数例1解根据正弦定理，sin B.ba，BA30，B60或120.当B60时，C180(AB)180(3060)90，c2；当B120时，C180(AB)180(30120)30A，ca1.引申探究解根据正弦定理，sin A1.因为sin A1.所以A不存在，即无解反思与感悟已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值或者根据该正弦值(不等于1时)在0180范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求跟踪训练1解a2，b6，ab，A30a，BA，B(0，180)，所以B60或120.当B60时，C90，c4；当B120时，C30，ca2.所以B60，C90，c4或B120，C30，c2.类型二例2解a2bsin A，由正弦定理，得sin A2sin Bsin A，又A(0，)，sin A0，sin B.B为锐角，B.令ycos Asin Ccos Asincos Asincos Asin cos Acos sin Acos Asin Asin.由锐角ABC知，BA，A.A，sin，sin，即y0，所以0B，所以cos B1，所以12cos B2，又2cos B，所以12.类型三例3解2cos 2B8cos B50，2(2cos2B1)8cos B50.4cos2B8cos B30，即(2cos B1)(2cos B3)0.解得cos B或cos B(舍去)0B，B.ac2b.由正弦定理，得sin Asin C2sin B2sin .sin Asin，sin Asin cos Acos sin A.化简得sin Acos A，sin1.0A，A，A.A，C.ABC是等边三角形跟踪训练3解设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系，得bcos Aacos B.由正弦定理，得sin Bcos Asin Acos B，sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0.A、B为ABC的内角