高中数学 第二章 平面向量 2_3_3 向量数量积的坐标运算与度量公式学案 新人教b版必修4_第1页
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文档简介

23.3向量数量积的坐标运算与度量公式预习课本P112114,思考并完成以下问题 (1)平面向量数量积的坐标表示是什么?(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直?1向量数量积及向量垂直的坐标表示设a(a1,a2),b(b1,b2)(1)数量积aba1b1a2b2.(2)若a,b为非零向量,ab a1b1a2b20.点睛记忆口诀:数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”2三个重要公式(1)向量的长度公式:已知a(a1,a2),则|a|.(2)两点间的距离公式:A(x1,y1),B(x2,y2),则|.(3)向量的夹角公式:a(a1,a2),b(b1,b2),则cosa,b.1判断下列命题是否正确(正确的打“”,错误的打“”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和()(2)若a(a1,a2),b(b1,b2),则aba1b1a2b20.()(3)若两个非零向量的夹角满足cos 0,则两向量的夹角一定是钝角()答案:(1)(2)(3)2已知a(3,4),b(5,2),则ab的值是()A23B7C23D7答案:D3已知向量a(x5,3),b(2,x),且ab,则由x的值构成的集合是()A2,3B1,6 C2D6答案:C4已知a(1,),b(2,0),则|ab|_.答案:2平面向量数量积的坐标运算典例(1)(全国卷)向量a(1,1),b(1,2),则(2ab)a()A1B0C1 D2(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,(1,2),(2,1),则()A5 B4C3D2解析(1)a(1,1),b(1,2),(2ab)a(1,0)(1,1)1.(2)由(1,2)(2,1)(3,1),得(2,1)(3,1)5.答案(1)C(2)A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算活学活用已知向量a与b同向,b(1,2),ab10.(1)求向量a的坐标;(2)若c(2,1),求(bc)a.解:(1)因为a与b同向,又b(1,2),所以ab(,2)又ab10,所以12210,解得20.因为2符合a与b同向的条件,所以a(2,4)(2)因为bc122(1)0,所以(bc)a0a0.向量的模的问题典例(1)设x,yR,向量a(x,1),b(1,y),c(2,4),且ac,bc,则|ab|()A. B.C2D10(2)已知点A(1,2),若向量与a(2,3)同向,|2,则点B的坐标是_解析(1)由a(2,1),b(1,2),ab(3,1)|ab|.(2)由题意可设a(0),(2,3)又|2,(2)2(3)2(2)2,解得2或2(舍去)(4,6)又A(1,2),B(5,4)答案(1)B(2)(5,4)求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算:利用|a|2a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算:若a(x,y),则aaa2|a|2x2y2,于是有|a|. 活学活用1已知向量a(cos ,sin ),向量b(,0),则|2ab|的最大值为_解析:2ab(2cos ,2sin ),|2ab|,当且仅当cos 1时,|2ab|取最大值2.答案:22已知平面向量a(2,4),b(1,2),若ca(ab)b,则|c|_.解析:a(2,4),b(1,2),ab2(1)426,ca(ab)b(2,4)6(1,2)(2,4)(6,12)(8,8),|c|8.答案:8向量的夹角和垂直问题典例(1)已知a(3,2),b(1,2),(ab)b,则实数_.(2)已知a(2,1),b(1,1),cakb,dab,c与d的夹角为,则实数k的值为_解析(1)a(3,2),b(1,2),ab(3,22)又(ab)b,(ab)b0,即(3)(1)2(22)0,解得.(2)cakb(2k,1k),dab(1,0),由cos 得,(2k)2(k1)2,k.答案(1)(2)解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积ab以及|a|b|,再由cos 求出cos ,也可由坐标表示cos 直接求出cos .由三角函数值cos 求角时,应注意角的取值范围是0.(2)由于0,利用cos 来判断角时,要注意cos 0也有两种情况:一是为锐角,二是0. 活学活用已知平面向量a(3,4),b(9,x),c(4,y),且ab,ac.(1)求b与c;(2)若m2ab,nac,求向量m,n的夹角的大小解:(1)ab,3x49,x12.ac,344y0,y3,b(9,12),c(4,3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3,4),nac(3,4)(4,3)(7,1)设m,n的夹角为,则cos .0,即m,n的夹角为.求解平面向量的数量积典例已知点A,B,C满足|3,|4,|5,求的值解法一定义法如图,根据题意可得ABC为直角三角形,且B,cos A,cos C,45cos(C)53cos(A)20cos C15cos A201525.法二坐标法如图,建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,0),C(0,4)(3,0),(0,4),(3,4)30040,034(4)16,3(3)(4)09.016925.法三转化法|3,|4,|5,ABBC,0,()|225.求平面向量数量积常用的三个方法(1)定义法:利用定义式ab|a|b|cos 求解;(2)坐标法:利用坐标式aba1b1a2b2解题;(3)转化法:求较复杂的向量数量积的运算时,可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简,然后进行计算 活学活用如果正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中点,那么cosDOE的值为_解析:法一:以O为坐标原点,OA,OC所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则由已知条件,可得,.故cosDOE.法二:,|,|,221,cosDOE.答案:层级一学业水平达标1已知向量a(0,2),b(1,),则向量a在b方向上的投影为()A.B3C D3解析:选D向量a在b方向上的投影为3.选D.2设xR,向量a(x,1),b(1,2),且ab,则|ab|()A. B.C2 D10解析:选B由ab得ab0,x11(2)0,即x2,ab(3,1),|ab|.3已知向量a(2,1),b(1,k),a(2ab)0,则k()A12 B6C6 D12解析:选D2ab(4,2)(1,k)(5,2k),由a(2ab)0,得(2,1)(5,2k)0,102k0,解得k12.4a,b为平面向量,已知a(4,3),2ab(3,18),则a,b夹角的余弦值等于()A. BC. D解析:选C设b(x,y),则2ab(8x,6y)(3,18),所以解得故b(5,12),所以cosa,b.5已知A(2,1),B(6,3),C(0,5),则ABC的形状是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等边三角形解析:选A由题设知(8,4), (2,4),(6,8),28(4)40,即.BAC90,故ABC是直角三角形6设向量a(1,2m),b(m1,1),c(2,m)若(ac)b,则|a|_.解析:ac(3,3m),由(ac)b,可得(ac)b0,即3(m1)3m0,解得m,则a(1,1),故|a|.答案:7已知向量a(1,),2ab(1,),a与2ab的夹角为,则_.解析:a(1,),2ab(1,),|a|2,|2ab|2,a(2ab)2,cos ,.答案:8已知向量a(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且ab,则向量b的坐标为_解析:设b(x,y)(y0),则依题意有解得故b.答案:9已知平面向量a(1,x),b(2x3,x),xR.(1)若ab,求x的值;(2)若ab,求|ab|.解:(1)若ab,则ab(1,x)(2x3,x)1(2x3)x(x)0,即x22x30,解得x1或x3.(2)若ab,则1(x)x(2x3)0,即x(2x4)0,解得x0或x2.当x0时,a(1,0),b(3,0),ab(2,0),|ab|2.当x2时,a(1,2),b(1,2),ab(2,4),|ab|2.综上,|ab|2或2.10在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,4),B(2,3),C(2,1)(1)求及|;(2)设实数t满足(t),求t的值解:(1)(3,1),(1,5),31(1)(5)2.(2,6),|2.(2)t(32t,1t),(2,1),且(t),(t)0,(32t)2(1t)(1)0,t1.层级二应试能力达标1设向量a(1,0),b,则下列结论中正确的是()A|a|b|BabCab与b垂直 Dab解析:选C由题意知|a|1,|b|,ab10,(ab)bab|b|20,故ab与b垂直2已知向量(2,2),(4,1),在x轴上有一点P,使有最小值,则点P的坐标是()A(3,0) B(2,0)C(3,0)D(4,0)解析:选C设P(x,0),则(x2,2),(x4,1),(x2)(x4)2x26x10(x3)21,故当x3时,最小,此时点P的坐标为(3,0)3若a(x,2),b(3,5),且a与b的夹角是钝角,则实数x的取值范围是()A. B.C. D.解析:选Cx应满足(x,2)(3,5)0且a,b不共线,解得x,且x,x.4已知(3,1),(0,5),且, (O为坐标原点),则点C的坐标是()A. B.C. D.解析:选B设C(x,y),则(x,y)又(3,1),(x3,y1),5(x3)0(y1)0,x3.(0,5),(x,y5),(3,4),3x4(y5)0,y,C点的坐标是.5平面向量a(1,2),b(4,2),cmab(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m_.解析:因为向量a(1,2),b(4,2),所以cmab(m4,2m2),所以acm42(2m2)5m8,bc4(m4)2(2m2)8m20.因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以,即,所以,解得m2.答案:26已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为_;的最大值为_解析:以D为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示则D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),设E(1,a)(0a1)所以(1,a)(1,0)1,(1,a)(0,1)a1,故的最大值为1.答案:117已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a(1,2)(1)若|c|2,且ca,求c的坐标;(2)若|b|,且a2b与2ab垂直,求a与b的夹角.解:(1)设c(x,y),|c|2,2,x2y220.由ca和|c|2,可得解得或故c(2,4)或c(2,4)(2)(a2b)(2ab),(a2b)(2ab)0,即2a23ab2b20,253ab20,整理得ab,cos 1.又0,.8已知(4,0),(2,2),(1) (2)(

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