高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题4 立体几何 专题限时集训10 立体几何中的向量方法 理

专题限时集训(十)立体几何中的向量方法(对应学生用书第97页)(限时：40分钟)题型1向量法求线面角1题型2向量法求二面角2,4题型3利用空间向量求解探索性问题31(2017郑州二模)如图109，三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均相等D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点图109(1)证明：EF平面A1CD；(2)若三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值解(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1，连接ED，在ABC中，因为D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DEAC，DEAC.又F为A1C1的中点，可得A1FA1C1，所以A1FDE，A1FDE，因此四边形A1FED 为平行四边形，所以EFA1D，又EF平面A1CD，A1D平面A1CD，所以EF平面A1CD.(2)法一：(几何法)因为底面ABC是正三角形，D为AB的中点，所以CDAB，又AA1CD，AA1ABA，所以CD平面A1ABB1.如图在平面A1ABB1内，过点B作BGA1D，交直线A1D于点G，连接CG，则BG平面A1CD，所以BCG为直线BC与平面A1CD所成的角设三棱柱的棱长为a，可得A1D，由A1ADBGD，可得BG，在RtBCG中，sinBCG.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.法二：(向量法)设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱，所以OD平面A1B1C1，所以ODOC1，ODOA1.又A1B1C1为等边三角形，所以OC1A1B1.以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设三棱柱的棱长为a，则O(0,0,0)，B，C，A1，D(0，a,0)所以，.设平面A1CD的法向量为n(x，y，z)，由，得.设x2，解得n(2,1,0)设直线BC与平面A1CD所成的角为，则sin .所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.2(2017合肥二模)如图1010(1)，在矩形ABCD中，AB1，AD2，点E为AD的中点，沿BE将ABE折起至PBE，如图2所示，点P在平面BCDE上的射影O落在BE上图1010(1)图1010(2)(1)求证：BPCE；(2)求二面角BPCD的余弦值. 【导学号：07804077】解(1)证明：因为点P在平面BCDE上的射影O落在BE上，所以平面PBE平面BCDE，易知BECE，所以CE平面PBE，而BP平面PBE，所以PBCE.(2)以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B，C，D，P.所以(1,0,0)，(0,2,0)设平面PCD的法向量为n1(x1，y1，z1)，则有，即，令z1，可得n1.设平面PBC的法向量为n2(x2，y2，z2)，则，即，令z2，可得n2(2,0，)所以cosn1，n2.考虑到二面角BPCD为钝角，则其余弦值为.3(2017郑州三模)如图1011，在四边形ABCD中，ABCD，BCD，四边形ACFE为矩形，且CF平面ABCD，ADCDBCCF.图1011(1)求证：EF平面BCF；(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值解(1)证明：在梯形ABCD中，设ADCDBC1，ABCD，BCD，AB2，AC2AB2BC22ABBCcos 3.AB2AC2BC2，BCAC.CF平面ABCD，AC平面ABCD，ACCF，而CFBCC，AC平面BCF.四边形ACFE是矩形，EFAC，EF平面BCF.(2)由(1)知，以CA，CB，CF所成直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设ADCDBCCF1，令FM(0)，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，M(，0,1)，(，1,0)，(，1,1)，设平面MAB的法向量为n1(x，y，z)，则，即，令x1，则n1(1，)，为平面MAB的一个法向量易知n2(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为，则cos .0，当0时，cos 有最小值，点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.4(2017河北石家庄二模)如图1012，在三棱柱ABCDEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且ABE，BC.四棱锥FABED的体积为2，点F在平面ABED内的正投影为点G，且点G在AE上，点M在线段CF上，且CMCF.图1012(1)证明：直线GM平面DEF；(2)求二面角MABF的余弦值. 【导学号：07804078】解(1)证明：因为四棱锥FABED的体积为2，所以VFABED22FG2，所以FG.又BCEF，所以EG，易知AE2，则点G是AE的靠近点A的四等分点过点G作GKAD交DE于点K，连接FK，则GKADCF.又MFCF，所以MFGK，又MFGK，所以四边形MFKG为平行四边形，所以GMFK，又FK平面DEF，GM平面DEF，所以直线GM平面DEF.(2)连接BD，设AE，BD的交点为O，以OB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，过点O的平面ABED的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，1,0)，B(，0,0)，F，M，(，1,0)，.设平面ABM，平面ABF的法向量分别为m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)，则得不妨取x1x21，则m(1