高中数学 第二章 空间向量与立体几何 1 从平面向量到空间向量学案 北师大版选修2-1

1 从平面向量到空间向量学习目标1.理解空间向量的概念.2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念.3.理解空间向量的夹角.4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念.知识点一空间向量的概念思考1类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.思考2若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也一定相同吗？梳理空间向量的有关概念(1)定义：在空间中，把既有_又有_的量，叫作空间向量.(2)长度：空间向量的大小叫作向量的_或_.(3)表示法(4)自由向量：与向量的起点无关的向量.知识点二空间向量的夹角思考在平面内，若非零向量a与b共线，则它们的夹角是多少？梳理空间向量的夹角(1)文字叙述：a，b是空间中两个非零向量，过空间任意一点O，作a，b，则_叫作向量a与向量b的夹角，记作_.(2)图形表示：角度表示a，b_a，b是_a，b是_a，b是_a，b_(3)范围：_a，b_.(4)空间向量的垂直：如果a，b_，那么称a与b互相垂直，记作_.知识点三向量与直线、平面1.向量与直线与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向.如图所示.l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的_向量，显然，与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量_于该直线.2.向量与平面如图，如果直线l垂直于平面，那么把直线l的方向向量a叫作平面的_.类型一有关空间向量的概念的理解例1给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp.其中不正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.跟踪训练1(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，下列四对向量：与；与；与；与.其中互为相反向量的有n对，则n等于() A.1 B.2C.3 D.4(2)如图，在长方体ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：单位向量共有多少个？试写出模为的所有向量；试写出与向量相等的所有向量；试写出向量的所有相反向量.类型二求空间向量的夹角例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求下列各对向量的夹角：(1)，；(2)，；(3)，.引申探究在本例中，求，.反思与感悟求解空间向量的夹角，要充分利用原几何图形的性质，把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角，要注意向量方向.跟踪训练2在正四面体ABCD中，的大小为()A. B.C. D.类型三直线的方向向量与平面法向量的理解例3已知正四面体ABCD.(1)过点A作出方向向量为的空间直线；(2)过点A作出平面BCD的一个法向量.反思与感悟直线的方向向量有无数个，但一定为非零向量；平面的法向量也有无数个，它们互相平行.给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定：(1)唯一一条过点A且平行于向量a的直线；(2)唯一一个过点A且垂直于向量a的平面.跟踪训练3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，以C1为起点，指出直线AP的一个方向向量.1.下列命题中，正确的是()A.若|a|b|，则a与b共线B.若|a|b|，则abC.若ab，则|a|b|D.若ab，则a与b不共线2.以长方体ABCDA1B1C1D1的任意两个顶点为起点和终点的向量中，能作为直线BB1的方向向量的个数为()A.8 B.7 C.6 D.53.若把空间中所有单位向量的起点放置于同一点，则这些向量的终点构成的图形为_.4.在长方体中，从同一顶点出发的三条棱的长分别为1,2,3，在分别以长方体的任意两个顶点为起点和终点的向量中，模为1的向量个数为_.5.在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是_.(填序号)；.在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可.给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线.提醒：完成作业第二章1答案精析问题导学知识点一思考1在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.思考2一定相同.因为相等向量的方向相同，长度相等，所以表示相等向量的有向线段的起点相同，终点也相同.梳理(1)大小方向(2)长度模(3)有向线段|a|知识点二思考0或.梳理(1)AOBa，b(2)0锐角直角钝角(3)0(4)ab知识点三1.方向平行2.法向量题型探究例1B跟踪训练1B(2)解由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，.与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，.向量的相反向量有，.例2解(1)由题意知，.又CAB，故，.(2)，.(3)，.引申探究解如图，连接B1C，则B1CA1D，且，连接AC，在ACB1中，因为ACAB1B1C，故AB1C，.跟踪训练2C例3解(1)如图，过点A作直线AEBC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为的空间直线. (2)如图，取BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，故向量可作为平面BCD的一个法向量.跟踪训练3解取BB1中点Q，C1C中点M，连接C1Q，BM，PM，则PM綊DC綊AB.所以四边形APMB为平行四边形，所以AP綊BM.又在四边形BQC1M中，BQ綊C1M，所以四边形BQC1M为平行四边形，所以