高中数学 第二章 基本初等函数（ⅰ）2_2_2 函数的奇偶性学案 苏教版必修1

2.2.2函数的奇偶性学习目标1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题知识点一函数奇偶性的几何特征思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？梳理图象关于y轴对称的函数称为_函数，图象关于原点对称的函数称为_函数知识点二函数奇偶性的定义思考1为什么不直接用图象关于y轴(或原点)对称来定义函数的偶奇性？思考2利用点对称来刻画图象对称有什么好处？梳理设函数yf(x)的定义域为A.如果对于任意的xA，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是偶函数；如果对于任意的xA，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是奇函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性知识点三奇(偶)函数的定义域特征思考如果一个函数f(x)的定义域是(1,1，那这个函数f(x)还具有奇偶性吗？梳理判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于_对称类型一证明函数的奇偶性命题角度1已知函数解析式，证明奇偶性例1(1)证明f(x)既非奇函数又非偶函数；(2)证明f(x)(x1)(x1)是偶函数；(3)证明f(x)既是奇函数又是偶函数反思与感悟利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则x也一定属于定义域跟踪训练1(1)证明f(x)(x2) 既非奇函数又非偶函数；(2)证明命题角度2证明分段函数的奇偶性例2判断函数f(x)的奇偶性反思与感悟分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点(1)定义域是否关于原点对称(2)对于定义域内的任意x，是否都有f(x)f(x)(或f(x)，只不过对于不同的x，f(x)有不同的表达式，要逐段验证是否都有f(x)f(x)(或f(x)跟踪训练2证明f(x)是奇函数命题角度3证明抽象函数的奇偶性例3f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断yf(x)g(x)，yf(x)g(x)，yfg(x)的奇偶性反思与感悟利用基本的奇(偶)函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入x，看总的结果跟踪训练3设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是_(填序号)f(x)g(x)是奇函数；f(x)g(x)是偶函数；|f(x)|g(x)是偶函数；f(x)|g(x)|是奇函数类型二奇偶性的应用命题角度1奇(偶)函数图象的对称性的应用例4定义在R上的奇函数f(x)在0，)上的图象如图所示(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)0.引申探究将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题反思与感悟鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性跟踪训练4已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如图所示(1)画出在区间5,0上的图象；(2)写出使f(x)0时，f(x)x1，求当x0时f(x)的解析式反思与感悟函数奇偶性的定义有两处常用(1)定义域关于原点对称(2)对定义域内任意x，恒有f(x)f(x)(或f(x)成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x进行赋值跟踪训练5已知函数f(x)为奇函数，则ab_.1函数f(x)0(xR)的奇偶性是_2函数f(x)x(1x1)的奇偶性是_3已知函数yf(x)x是偶函数，且f(2)1，则f(2)_.4若函数f(x)(m1)x2(m2)xm27m12为偶函数，则m的值是_5下列说法错误的是_(填序号)图象关于原点对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数；奇函数的图象一定过原点；偶函数的图象一定与y轴相交1两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为奇函数；如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为偶函数2两个性质：函数为奇函数它的图象关于原点对称；函数为偶函数它的图象关于y轴对称3证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了答案精析问题导学知识点一思考关于y轴对称，关于原点对称梳理偶奇知识点二思考1因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断思考2好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可知识点三思考由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数x必须也在定义域内，才能进一步判断f(x)与f(x)的关系而本问题中，1(1,1，1(1,1，f(1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了所以该函数是既非奇函数，也非偶函数梳理原点题型探究例1证明(1)因为它的定义域为x|xR且x1，所以对于定义域内的1，其相反数1不在定义域内，故f(x)既非奇函数又非偶函数(2)函数的定义域为R，因函数f(x)(x1)(x1)x21，又因f(x)(x)21x21f(x)，所以函数为偶函数(3)定义域为1,1，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)0，所以f(x)f(x)，故函数f(x)为偶函数又f(x)f(x)，故函数f(x)为奇函数即该函数既是奇函数又是偶函数跟踪训练1证明(1)由0，得定义域为2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)函数的定义域为R，因f(x)(x)|x|x|x|f(x)，所以函数为奇函数例2解由题意可知f(x)的定义域为(6，11,6)，关于原点对称，当x(6，1时，x1,6)，所以f(x)(x5)24(x5)24f(x)；当x1,6)时，x(6，1，所以f(x)(x5)24(x5)24f(x)综上可知对于任意的x(6，11,6)，都有f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数跟踪训练2证明定义域为x|x0若x0，f(x)x2，f(x)x2，f(x)f(x)；若x0，则x0即图象上横坐标、纵坐标同号结合图象可知，xf(x)0的解集是(2,0)(0,2)引申探究解(1)f(x)的图象如图所示(2)xf(x)0的解集是(，2)(0,2)跟踪训练4解(1)如图，在0,5上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O，A，B，C，D，再用光滑曲线连接即得(2)由(1)图可知，当且仅当x(2,0)(2,5)时，f(x)0.使f(x)0的x的取值集合为(2,0)(2,5)例5(1)0解析偶函数的定义域关于原点对称，a12a，解得a，f(x)x2bxb1.又f(x)为偶函数，f(x)(x)2b(x)b1f(x)x2bxb1，对定义域内任意x恒成立，即2bx0对任意x，恒成立，b0.综上，a，b0.(2)解设x0，f(x)(x)1x1，又函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)f(x)x1，当x0时，f(x)x1.跟