高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第74讲 直线、圆的方程的应用题的解法

第74讲 直线、圆的方程的应用题的解法【知识要点】 一、圆的定义：平面内到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆.二、圆的标准方程：圆心在、半径为的圆的标准方程是三、圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程.由得（1）当时，表示圆心为，半径为的圆；（2）当时，表示点；（3）当时，不表示任何图形.四、求圆的方程的方法：待定系数法，先定式，后定量.如果与圆心和半径有关，一般选标准式，否则用一般式.五、用坐标法解决直线、圆的方程的几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；/第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论. 【方法讲评】题型一过桥问题使用情景判断轮船能否过桥这一类问题解题步骤先根据对称性垂直性建立恰当的直角坐标系利用待定系数法求出圆拱桥所在的圆的方程求出同宽的船通过的最大高度比较船的高度和的关系得出结论.【例1】某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m.现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？【解析】【点评】（1）解决此类问题的一般步骤是：先根据对称性建立恰当的直角坐标系求出圆拱桥所在的圆的方程求出船刚好通过的高度比较船的高度和的关系得出结论.（2）图中点的纵坐标就是船刚好通过的高度.【反馈检测1】一圆形拱桥，现时的水面宽为22米，拱高为9米，一艘船高7.5米，船顶宽4米的船，能从桥下通过吗？题型二台风对城市的影响问题使用情景探究台风对城市的影响之类的问题解题步骤建立恰当的直角坐标系求出圆心到直线的距离比较和的关系得出结论.【例2】一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西50km处，受到影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？方法二：几何法圆心（0，0）到直线的距离所以，直线与圆相离，航线不受台风影响.【点评】（1）这类问题实质就是圆和直线位置关系的判断，此题实际上就是判断直线和圆的位置关系.（2）直线和圆的位置关系的判断有代数和几何问题两种方法. 【反馈检测2】一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为r（r0）km的圆形区域轮船的航行方向为西偏北45且不改变航线，假设台风中心不移动试问：（1）r在什么范围内，轮船在航行途中不会受到台风的影响？（2）当r=60km时，轮船在航行途中受到影响的航程是多少km？题型三求圆的方程和长度等使用情景求圆的方程和长度等解题步骤建立恰当的直角坐标系利用待定系数法求圆的方程【例3】下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB = 20m，拱高OP = 4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).【点评】这类问题的实质就是求圆的方程，一般利用待定系数法.【反馈检测3】赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.【反馈检测4】有一种商品，A、B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍.已知A、B相距10km，问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第74讲：直线、圆的方程的应用题的解法参考答案【反馈检测1答案】船不能从桥下通过.【反馈检测1详细解析】【反馈检测2答案】（1）0r；（2）40km. 【反馈检测2详细解析】如图，以台风中心为原点建立直角坐标系（1）轮船在直线l：x+y-80=0上移动，原点到l的距离d=0r时，轮船在途中不会受到台风影响（2）60，会受到台风影响航程为km 【反馈检测3答案】x2 + (y + 20.7)2 = 27.92 (0y7.2)【反馈检测3详细解析】【反馈检测4答案】见解析【反馈检测4详细解析】以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系.|AB| = 10，所以A (5，0)，B(5，0)设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|a，则运住A地的运费|PA|3a当运费相等时，就是|PB|a = 3a|PA|，所以在表示的圆周上的居民可任意选择在A或B地购买，在圆内的居民应选择在