高考数学 热点难点突破技巧 第01讲 抽象函数的图像和性质问题的处理1

第01讲：抽象函数的图像和性质问题的处理【知识要点】一、抽象函数的考查常常表现在求抽象函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等方面.二、抽象函数虽然不是具体函数，但是它的图像和性质的研究方法和具体函数仍然是一样的，只不过是函数没有解析式，比较抽象，难度稍微大些.【方法点评】题型一抽象函数的定义域解题步骤利用已知条件得到关于的不等式【（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：只需根据求出函数的值域，即得原函数的定义域.）】，再解不等式，得到抽象函数的定义域.【例1】已知函数的定义域是，求函数的定义域.【例2】已知函数的定义域为，求函数的定义域.【解析】的定义域为，即在中，令， ，则，即在中，的定义域为.【点评】（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域.例1就是典型的例子.（2）已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：只需根据求出函数的值域，即得原函数的定义域.例2就是典型的例子.【反馈检测1】若函数的定义域为，求函数的定义域.题型二抽象函数的值域解题步骤一般先分析出抽象函数的单调性，再利用抽象函数的单调性来分析解答.【例3】已知函数对任意实数恒有，且当时，又.(1)判断的奇偶性； (2)求证：是R上的减函数；(3)求在区间3,3上的值域；(4)若，不等式恒成立，求的取值范围 (2)证明： 任取，且，则，又为奇函数，是上的减函数(3)由(2)知在上为减函数，对任意，恒有，在上的值域为(4) 为奇函数，整理原式得，则，在上是减函数，当时，在上不是恒成立，与题意矛盾；当时，要使不等式恒成立，则，即；当时，在上不是恒成立，不合题意综上所述，的取值范围为【点评】（1）证明抽象函数的单调性的方法和证明具体函数的单调性方法本质上是一样的.先设，再利用已知条件判断的符号，如果，则函数是减函数；如果，则函数是增函数. （2）求抽象函数的值域，一般先分析出抽象函数的单调性，再求函数的值域. 【反馈检测2】已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)(3)若且，则有.(I)求的值；(II)求的最大值.题型三抽象函数的奇偶性解题步骤和判断具体函数的奇偶性一致，但是难度要大一点，解题过程中要找到和的关系，多用赋值法（特殊值）.【例4】已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数的奇偶性.【点评】（1）判断函数的奇偶性的方法：首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.（2）抽象函数奇偶性的判断和判断具体函数的奇偶性一致，但是难度要大一点，解题过程中要找到和的关系，多用赋值法（特殊值）.【反馈检测3】定义域为的函数满足：对于任意的实数都有成立，且当时恒成立.(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明为减函数；若函数在上总有成立，试确定应满足的条件.题型四抽象函数的单调性解题步骤一般利用单调性的定义和导数证明函数的单调性，再利用抽象函数单调性的分析解答.【例5】定义在实数集上，当时，对于任意实数，有，求证：在上为增函数.【解析】证明：在中取，得若，令，则，与矛盾, 所以，即有当时，；当时，而 所以【点评】（1）抽象函数虽然没有解析式，但是在判断证明函数的单调性的方法上和具体函数是一致的，同样利用函数的单调性的定义和导数.（2）利用单调性的定义时，关键在于分解化简，这是解答的关键，想方设法把变量或，按照已知条件拆开，并严格说明它的符号. 【反馈检测4】已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,. (1)证明:； (2)证明: 在上单调递减.【反馈检测5】已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意，都有，且当时，.（1）求证是偶函数；（2）在上时增函数；（3）解不等式.【例6】设函数是奇函数（）的导函数，且，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A B C D【解析】设在上是减函数，又（）是奇函数，所以，所以是偶函数，作出图象如下图，由，故选A.【点评】（1）这个抽象函数的单调性，不能通过单调性的定义来推导，只能通过导数的性质来推导. (2)解答本题的关键是根据已知条件联想到商的导数，还原公式，再构造函数，得到新函数的单调性、奇偶性和特殊点，再作草图分析.【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，则a，b，c的大小关系为（ ）A.B. C.D.题型五抽象函数的周期性解题步骤一般先结合已知猜想函数的周期，再利用周期性的定义严格证明.【例7】已知函数是定义域为的奇函数,且它的图象关于直线对称. (1)求的值； (2)证明: 函数是周期函数； (3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.【解析】(1)解:为上的奇函数, 对任意都有,令则 =0 (3)当时，当时，当时， 图象如下：【点评】（1）对于抽象函数的周期性，一般如果1不是它的周期，就猜想2是它的周期，如果2不是它的周期，就猜4是它的周期（偶数倍），再证明.（2）如果函数满足，则函数的周期为，如果函数满足，则函数的周期为. 【反馈检测7】已知函数满足，若，试求.高考数学热点难点突破技巧第01讲：抽象函数的图像和性质问题的处理参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】由的定义域为，知中的，从而，对函数而言，有，解之得：.所以函数的定义域为【反馈检测2答案】（1）；（2） （II）任意且，则 【反馈检测3答案】（1）奇函数；（2）.【反馈检测3详细解析】（1）由已知对于任意的实数都有成立.令，得，令，得对于任意，都有 是奇函数.（2）设任意且，则，由已知（1）又（2）由（1）（2）得,根据函数单调性的定义知在上是减函数.在上的最大值为.要使恒成立，当且仅当，又, 【反馈检测4答案】（1）见解析；（2）见解析.【反馈检测4详细解析】(1)证明:令,则 当时,故,当 时,当时, ,则【反馈检测5答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）.【反馈检测5详细解析】 . 【反馈检测6答案】【反馈检测6详细解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，所以是上的偶函数.当时