高考数学二轮复习 3个附加题专项强化练（二）随机变量、空间向量、抛物线 理

3个附加题专项强化练(二)随机变量、空间向量、抛物线(理科)1.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14.(1)设，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，求的值；(2)若点D是AB的中点，求二面角DCB1B的余弦值解：(1)由AC3，BC4，AB5，得ACB90，故直线CA，CB，CC1两两垂直以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(3，0,0)，C1(0，0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，设D(x，y，z)，则由，得(33，4，0)，而1(3,0,4)，根据题意知，解得或.(2)由(1)知，1(0,4,4)，设平面CDB1的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即取x14，则y13，z13，故n1(4，3,3)为平面CDB1的一个法向量，而平面CBB1的一个法向量为n2(1,0,0)，并且n1，n2与二面角DCB1B相等，所以二面角DCB1B的余弦值为cosn1，n2.故二面角DCB1B的余弦值为.2甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B题(1)求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；(2)设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望E(X)解：(1)设“甲选做D题，且乙、丙都不选做D题”为事件E.甲选做D题的概率为，乙，丙不选做D题的概率都是.则P(E).故甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率为. (2)X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X0)，P(X1)2C，P(X2)CC2，P(X3)C2.所以X的概率分布为X0123P故X的数学期望E(X)0123.3.如图，以正四棱锥VABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中OxBC，OyAB，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有cos，.(1)求的值；(2)求二面角BVCD的余弦值解：(1)由题意，可得B(a，a,0)，C(a，a,0)，D(a，a,0)，V(0，0，h)，E，.故cos，又cos，解得.(2)由，得，.且(2a,0,0)，(0,2a,0)设平面BVC的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则即取y13，得n1(0,3,2)，设平面VCD的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则即取x23，得n2(3,0,2)，cosn1，n2.由图象知二面角BVCD的平面角为钝角二面角BVCD的余弦值为.4在平面直角坐标系xOy中，已知两点M(1，3)，N(5,1)，若点C的坐标满足t(1t) (tR)，且点C的轨迹与抛物线y24x交于A，B两点(1)求证：OAOB；(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)，使得过点P任作一条抛物线的弦，并以该弦为直径的圆都过原点若存在，求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由解：(1)证明：由t(1t) (tR)，可知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，所以点C的轨迹方程为y3(x1)，即yx4. 联立化简得x212x160, 设C的轨迹方程与抛物线y24x的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x212，x1x216，y1y2(x14)(x24)x1x24(x1x2)1616，因为x1x2y1y216160, 所以OAOB. (2)假设存在这样的P点，并设AB是过抛物线的弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，其方程为xnym，代入y24x得y24ny4m0, 此时y1y24n，y1y24m，所以kOAkOB1，所以m4(定值)，故存在这样的点P(4,0)满足题意设AB的中点为T(x，y)，则y(y1y2)2n，x(x1x2)(ny14ny24)(y1y2)42n24，消去n得y22x8.5某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)现有甲、乙两人独立来停车场停车(各停车一次)，且两人停车时间均不超过5小时设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示.取车概率停车人员(0,2(2,3(3,4(4,5甲xxx乙y0(1)求甲、乙两人所付车费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，求的概率分布和数学期望E()解：(1)由题意得3x1，解得x，由y1，解得y.记甲、乙两人所付车费相同的事件为A，则P(A)，故甲、乙两人所付车费相同的概率为.(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，的所有取值为0,1,2,3,4,5.P(0)，P(1)，P(2)，P(3)， P(4)，P(5).所以的概率分布为：012345P的数学期望E()012345.6.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x22py(p0)上的点M(m,1)到焦点F的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求EAB面积的最小值解：(1)抛物线x22py(p0)的准线方程为y，因为M(m,1)到焦点F的距离为2，由抛物线定义，知MF12，即p2，所以抛物线的方程为x24y. (2)因为yx2，所以yx.设点E，t0，则抛物线在点E处的切线方程为yt(xt)令y0，则x，即点P.因为P，F(0,1)，所以直线PF的方程为y，即2xtyt0.则点E到直线PF的距离为d. 联立方程消去x，得t2y2(2t216)yt20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为(2t216)24t464(t24)0，y1y2，所以ABy11y21y1y222. 所以EAB的面积为S.不妨设g(x)(x0)，则g(x)(2x24)因为x(0，)时，g(x)0，所以g(x)在(，)上