高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题2 数列 突破点4 等差数列、等比数列学案 文

突破点4等差数列、等比数列核心知识提炼提炼1 等差数列、等比数列的运算(1)通项公式等差数列：ana1(n1)d；等比数列：ana1qn1.(2)求和公式等差数列：Snna1d；等比数列：Sn(q1)(3)性质若mnpq，在等差数列中amanapaq；在等比数列中amanapaq.提炼2 等差数列、等比数列的判定与证明数列an是等差数列或等比数列的证明方法：(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法利用定义，证明an1an(nN*)为同一常数；利用中项性质，即证明2anan1an1(n2)(2)证明an是等比数列的两种基本方法利用定义，证明(nN*)为同一常数；利用等比中项，即证明aan1an1(n2).提炼3 数列中项的最值的求法(1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f(n)an，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数(2)利用数列的单调性求解，利用不等式an1an(或an1an)求解出n的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值(3)转化为关于n的不等式组求解，若求数列an的最大项，则可解不等式组若求数列an的最小项，则可解不等式组求出n的取值范围之后，再确定取得最值的项 高考真题回访回访1等差数列基本量的运算1(2015全国卷)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10()A.BC10 D12B公差为1，S88a118a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.故选B.2(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A5B7 C.9D11A法一：a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55a35，故选A.法二：a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1d5(a12d)5，故选A.3(2014全国卷)等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn()An(n1) Bn(n1)C. D.A由a2，a4，a8成等比数列，得aa2a8，即(a16)2(a12)(a114)，a12，Sn2n22nn2nn(n1)回访2等比数列基本量的运算4(2015全国卷)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2 B1C. D.C法一：a3a5a，a3a54(a41)，a4(a41)，a4a440，a42.又q38，q2，a2a1q2，故选C.法二：a3a54(a41)，a1q2a1q44(a1q31)，将a1代入上式并整理，得q616q3640，解得q2，a2a1q，故选C.5(2015全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.6a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列，又Sn126，126，n6.热点题型1等差、等比数列的基本运算题型分析：以等差(比)数列为载体，考查基本量的求解，体现方程思想的应用是近几年高考命题的一个热点，题型以客观题为主，难度较小【例1】(1)已知等比数列an的前n项和为Sn，a1a330，S4120，设bn1log3an，那么数列bn的前15项和为() 【导学号：04024053】A152 B135C80 D16(2)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1()A2 B2C. D(1)B(2)D(1)设等比数列an的公比为q，由a1a330，a2a4S4(a1a3)90，所以公比q3，首项a13，所以an3n，bn1log33n1n，则数列bn是等差数列，前15项的和为135，故选B.(2)由题意知S1a1，S22a11，S44a16，因为S1，S2，S4成等比数列，所以SS1S4，即(2a11)2a1(4a16)，解得a1，故选D.方法指津在等差(比)数列问题中最基本的量是首项a1和公差d(公比q)，在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组，从而求出这两个量，那么其他问题也就会迎刃而解这就是解决等差、等比数列问题的基本量的方法，这其中蕴含着方程的思想提醒：应用等比数列前n项和公式时，务必注意公比q的取值范围变式训练1 (1)在数列an中，a11，an1an3，Sn为an的前n项和，若Sn51，则n_.(2)(2017东北三省四市联考)等比数列an中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S38a13a2，a416，则S4_.(1)6(2)30(1)由a11，an1an3，得an1an3，所以数列an是首项为1，公差为3的等差数列由Snn351，即(3n17)(n6)0，解得n6或n(舍)(2)设数列an的公比为q(q0)，则解得所以S430.热点题型2等差、等比数列的基本性质题型分析：该热点常与数列中基本量的运算综合考查，熟知等差(比)数列的基本性质，可以大大提高解题效率【例2】(1)(2016南昌一模)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为()【导学号：04024054】A. B.C1 D2(2)(2017中原名校联考)若数列an满足d(nN*，d为常数)，则称数列an为调和数列已知数列为调和数列，且x1x2x20200，则x5x16()A10 B20C30 D40(1)D(2)B(1)由题意得S49，所以.由a1a1qa1q2a1q3(aq3)2得aq3.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为2，故选D.(2)数列为调和数列，xn1xnd，xn是等差数列，x1x2x20200，x1x2020，又x1x20x5x16，x5x1620.方法指津1若an，bn均是等差数列，Sn是an的前n项和，则mankbn，仍为等差数列，其中m，k为常数2若an，bn均是等比数列，则can(c0)，|an|，anbn，manbn(m为常数，m0)，a，仍为等比数列3公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2a1，a3a2，a4a3，成等比数列，且公比为q.4(1)等比数列(q1)中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，其公比为qk.(2)等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列，公差为k2d.5若A2n1，B2n1分别为等差数列an，bn的前2n1项的和，则.变式训练2(1)已知各项不为0的等差数列an满足2a2a2a120，数列bn是等比数列，且b7a7，则b3b11等于()A16 B8 C.4 D2(2)(2017武汉二模)等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A12 B10C8 D2log35(1)A(2)B(1)an是等差数列，a2a122a7，2a2a2a124a7a0.又a70，a74.又bn是等比数列，b3b11ba16.(2)由等比数列的性质知a5a6a4a79，所以log3a1log3a2log3a3log3a10log3(a1a2a3a10)log3(a5a6)5log39510，故选B.热点题型3等差、等比数列的证明题型分析：该热点在考查数列的通项公式，前n项和公式的同时，考查学生的推理论证能力【例3】(2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列解 (1)设an的公比为q.由题设可得2分解得q2，a124分故an的通项公式为an(2)n6分(2)由(1)可得Sn(1)n8分由于Sn2Sn1(1)n22Sn，10分故Sn1，Sn，Sn2成等差数列12分方法指津 判断或证明数列是否为等差或等比数列，一般是依据等差数列、等比数列的定义，或利用等差中项、等比中项进行判断提醒：利用aan1an1(n2)来证明数列an为等比数列时，要注意数列中的各项均不为0.变式训练3(2014全国卷)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解 (1)证明：由题设知anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，2分由于an10，所以an2an4分(2)由题设知a11，a1a2S11，可得a21.5分由(1)知，a316分令2a2a1a3，解得4