高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题2 数列 第3讲 等差数列、等比数列教学案 理

第3讲等差数列、等比数列题型1等差、等比数列的基本运算(对应学生用书第8页)核心知识储备1等差数列的通项公式及前n项和公式ana1(n1)d；Snna1d.2等比数列的通项公式及前n项和公式ana1qn1(q0)；Sn(q1)典题试解寻法【典题1】(考查等比数列的基本量运算)设等比数列an的前n项和为Sn，若Sm15，Sm11，Sm121，则m()A3B4C5D6解析Sm15，Sm11，Sm121，amSmSm116，am1Sm1Sm32.q2.又Sm11，am1a1(2)m32，a11，m5.答案C【典题2】(考查等差(比)数列的通项与求和)(2016全国卷)已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和. 【导学号：07804019】解(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2，得a12.所以数列an是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an3n1.(2)由(1)知anbn1bn1nbn，得bn1，因此bn是首项为1，公比为的等比数列记bn的前n项和为Sn，则Sn.类题通法在等差(比)数列问题中最基本的量是首项a1和公差d(公比q)，在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组，从而求出这两个量，其他问题也就会迎刃而解.这就是解决等差、等比数列问题的基本量的方法，这其中蕴含着方程的思想.提醒：应用等比数列前n项和公式时，务必注意公比q的取值范围.对点即时训练1九章算术是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为()A.升B升C.升D升A自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，a9，依题意有，因为a2a3a1a4，a7a92a8，故a2a3a8.选A.2已知数列an为等差数列，其中a2a38，a53a2.(1)求数列an的通项公式；(2)数列bn中，b11，b22，从数列an中取出第bn项记为cn，若cn是等比数列，求bn的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，依题意有，解得a11，d2，从而an的通项公式为an2n1，nN*.(2)c1ab1a11，c2ab2a23，从而等比数列cn的公比为3，因此cn13n13n1.另一方面，cnabn2bn1，所以2bn13n1，因此bn.记bn的前n项和为Sn，则Sn.题型强化集训(见专题限时集训T1、T4、T5、T9、T12、T13)题型2等差、等比数列的基本性质(对应学生用书第9页)核心知识储备1若m，n，p，qN*，mnpq，则在等差数列中amanapaq，在等比数列中，amanapaq.2若an，bn均是等差数列，Sn是an的前n项和，则mankbn，仍为等差数列，其中m，k为常数3若an，bn均是等比数列，则can(c0)，|an|，anbn，manbn(m为常数，m0)，a，仍为等比数列4(1)等比数列(q1)中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，其公比为qk.(2)等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列，公差为k2d.5若A2n1，B2n1分别为等差数列an，bn的前2n1项的和，则.典题试解寻法【典题1】(考查等比数列的性质)(2017福州五校二模联考)在等比数列an中，a3，a15是方程x27x120的两根，则的值为()A2B4C2D4解析a3，a15是方程x27x120的两根，a3a1512，a3a157，an为等比数列，又a3，a9，a15同号，a90，a92，a92.故选A.答案A【典题2】(考查等差数列的性质)(2017湘中名校联考)若an是等差数列，首项a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170，则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是()A2 016B2 017C4 032D4 033解析因为a10，a2 016a2 0170，a2 106a2 0170，所以d0，a2 0160，a2 0170，所以S4 0320，S4 0334 033a2 0170，所以使前n项和Sn0成立的最大正整数n是4 032，故选C.答案C【典题3】(考查数列的单调性与最值)(2017洛阳一模)等比数列an的首项为，公比为，前n项和为Sn，则当nN*时，Sn的最大值与最小值之和为()【导学号：07804020】ABC.D解析依题意得，Sn1n.当n为奇数时，Sn1随着n的增大而减小，1Sn1S1，Sn随着Sn的增大而增大，0Sn；当n为偶数时，Sn1随着n的增大而增大，S2Sn11，Sn随着Sn的增大而增大，Sn0.因此Sn的最大值与最小值分别为、，其最大值与最小值之和为，选C.答案C类题通法1.应用数列性质解题,关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.2数列中项的最值的求法常有以下两种：(1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f(n)an，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限制(2)转化为关于n的不等式组求解，若求数列an的最大项，则可解不等式组若求数列an的最小项，则可解不等式组求出n的取值范围之后，再确定取得最值的项对点即时训练1已知等比数列an，且a6a8dx，则a8(a42a6a8)的值为()A2B42C82D162D因为a6a8dx424，所以a8(a42a6a8)a8a42a6a8aa2a6a8a(a6a8)2162，故选D.2设等差数列an的前n项和为Sn，且满足S150，S160，S16160，a90，d0，故Sn最大为S8.又d0，所以an单调递减，因为前8项中Sn递增，所以Sn最大且an取最小正值时有最大值，即最大，故选C.题型强化集训(见专题限时集训T3、T6、T8、T10)题型3等差、等比数列的判定与证明(对应学生用书第10页)核心知识储备数列an是等差数列或等比数列的证明方法：(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法利用定义，证明an1an(nN*)为同一常数；利用中项性质，即证明2anan1an1(n2)(2)证明数列an是等比数列的两种基本方法利用定义，证明(nN*)为同一常数；利用等比中项，即证明aan1an1(n2)典题试解寻法【典题】(2014全国卷)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解(1)证明：由题设知anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)由题设知a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3.a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列类题通法(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法.(2)都是数列an为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零.对点即时训练已知数列an的前n项和为Sn，a12,2Sn(n1)2ann2an1，数列bn满足b11，bnbn12an.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正实数，使得bn为等比数列？并说明理由解(1)由2Sn(n1)2ann2an1，得到2Sn1n2an1(n1)2an，所以2an(n1)2ann2an1n2an1(n1)2an，所以2anan1an1，所以数列an为等差数列，因为2S1(11)2a1a2，所以48a2，所以a24，所以da2a1422，所以an22(n1)2n.(2)存在，因为bnbn12an4n，b11，所以b2b14，所以b24，所以bn1bn24n1，所以4，所以bn24bn，所以b34b14，若bn为等比数列，则(b2)2b3b1，所以16241，所以.题型强化集训(见专题限时集训T2、T7、T11、T14)三年真题| 验收复习效果(对应学生用书第11页)1(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1B2C4D8C设an的公差为d，则由得解得d4.故选C.2(2017全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为() 【导学号：07804022】A24B3C3D8A由已知条件可得a11，d0，由aa2a6可得(12d)2(1d)(15d)，解得d2.所以S66124.故选A.3(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏B3盏C5盏D9盏B设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7381，q2，S7381，解得a13.故选B.4(2015全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21B42C63D84B设数列an的公比为q.a13，a1a3a521，33q23q421，1q2q47，解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故选B.5(2016全国卷)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_64设等比数列an的公比为q，则由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2anaq12(n1)23n22.记t(n27n)，结合nN*可知n3或4时，t有最大值6.又y2t为增函数，从而a1a2an的最大值为2664.6(2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0. 【导学号：07804023】(1)证明an是等