高考数学二轮复习 第2部分 八大难点突破 专项限时集训3 以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题

专项限时集训(三)以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题 (对应学生用书第117页)(限时：60分钟)1(本小题满分14分)(2017盐城市滨海县八滩中学二模)如图4是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4 m，东西向渠宽m(从拐角处，即图中A，B处开始)假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)图4(1)在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为，将线段PQ的长度l表示为的函数；(2)若从南面漂来一根长为7 m的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由. 【导学号：56394096】解(1)由题意，PA，QA，所以lPAQA，即l.4分(2)设f ()，.由f ()，6分令f ()0，得tan 0.8分且当(0，0)，f ()0；当，f ()0，所以，f ()在(0，0)上单调递减；在上单调递增，所以，当0时，f ()取得极小值，即为最小值当tan 0时，sin 0，cos 0，所以f ()的最小值为3，12分即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3 m.因为37，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.14分2(本小题满分14分)(2017江苏省宿迁市三模)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图5所示圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E为上切点)，与左右两边相交(F，G为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域已知圆的半径为1 m且，设EOF，透光区域的面积为S.图5(1)求S关于的函数关系式，并求出定义域；(2)根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好当该比值最大时，求边AB的长度解(1)过点O作OHFG于H，OFHEOF；又OHOFsin sin ，FHOFcos cos ，S4SOFH4S扇形OEF2sin cos 4 sin 22；，sin ，；S关于的函数关系式为Ssin 22，；6分(2)由S矩形ADAB22sin 4sin ，则透光区域与矩形窗面积比值为，设f ()，则f ()sin ；10分，sin 2，sin 20，f ()0，f ()在上是单调减函数；当时f ()取得最大值为，此时AB2sin 1(m)；当透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，所求AB的长度为1 m14分3(本小题满分14分)(扬州市2017届高三上学期期中)如图6，某市在海岛A上建了一水产养殖中心在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB30公里，AC80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为12.图6(1)求sinABC的大小；(2)设ADB，试确定的大小，使得运输总成本最少解(1)在ABC中，cosABC，所以sinABC.4分(2)在ABD中，由得：.所以AD，BD.6分设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，则运输总费用y(5CD3BD)2k8kAD2k5(70BD)3BD4AD20k20k.令H()，则H()，令H()0，解得：cos ，.10分当0时，H()0，H()单调递减；当时，H()0，H()单调递增，时，H()取最小值，同时y也取得最小值此时BD，满足070，所以点D落在BC之间所以时，运输总成本最小.14分4(本小题满分16分) 如图7所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据计算cos 的值图7 解由DAC15，DBC45可得BDA30，DBA135，BDC90(15)3045，4分由内角和定理可得DCB180(45)4590，根据正弦定理可得，即DB100sin 15100sin(4530)25(1)，10分又，即，得到cos 1.16分5(本小题满分16分)(镇江市2017届高三上学期期末)如图8，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC200 m，斜边AB400 m现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F.图8(1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2)设CEF，乙丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且DEF，请将甲乙之间的距离y表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离解(1)依题意得BD300，BE100，在ABC中，cos B，B，2分在BDE中，由余弦定理得：DE2BD2BE22BDBEcos B30021002230010070 000，DE100.6分即甲、乙两人之间的距离为100 m7分(2)由题意得EF2DE2y，BDECEF，在直角三角形CEF中，CEEFcosCEF2ycos ，9分在BDE中，由正弦定理得，即，y，0，12分所以当时，y有最小值50.14分故甲、乙之间的最小距离为50 m16分6(本小题满分16分)(2017江苏省盐城市高考数学三模)一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图9中实线所示ABCD是等腰梯形，AB20米，CBF(F在AB的延长线上，为锐角)圆E与AD，BC都相切，且其半径长为10080 sin 米EO是垂直于AB的一个立柱，则当sin 的值设计为多少时，立柱EO最矮？ 【导学号：56394097】图9解如图所示，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系因为B(10,0)，kBCtan ，所以直线BC的方程为：ytan (x10)，即xtan y10tan 0，4分设圆心E(0，t)(t0)，由圆E与直线BC相切，得10080sin ，所以EOt，8分令f ()，则f ()，设sin 0，0.列表如下：(0，0