高中数学 第二章 推理与证明 2_1 合情推理与演绎推理 2_1_1 导数的概念 第二课时 类比推理教学案 苏教版选修2-2

第二课时类 比 推 理为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家们把火星与地球作为类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在问题：科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？提示：在提出上述猜想的过程中，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的一个已知特征(有生命存在)出发，猜测火星也可能具有这个特征1类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法其思维过程为：2合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践结果_，以及个人的经验等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理类比推理的特点主要体现在以下几个方面：(1)类比推理是从特殊到特殊的推理(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征所以，类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征所以，进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征类比推理在数列中的应用例1在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立类比上述性质，相应地，在等比数列bn中，若b91，则有什么样的等式成立？思路点拨在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂精解详析在等差数列an中，a100，a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1.又由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana1a2a19n，若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n，相应的，在等比数列bn中，若b91，则可得b1b2bnb1b2b17n(n0，则数列dn_(nN*)也是等比数列答案：2已知命题：若数列an为等差数列，且ama，anb(mn，m，nN*)，则amn.现已知等比数列bn(bn0，nN*)，且bma，bnb(mn，m，nN*)，类比上述结论，求bmn.解：等差数列通项an与项数n是一次函数关系，等比数列通项bn与项数n是指数型函数关系利用类比可得bmn.类比推理在几何中的应用例2如图，在三棱锥SABC中，SASB，SBSC，SASC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为1、2、3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想思路点拨在DEF中，有三条边，三个角，与DEF相对应的是四面体SABC，与三角形三条边长对应的是四面体三个侧面的面积，三角形三个角对应的是SA，SB，SC与底面ABC所成的三个线面角1，2，3.在平面几何中三角形的有关性质，我们可以用类比的方法，推广到四面体、三棱柱等几何体中精解详析在DEF中，由正弦定理，得.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体SABC中，我们猜想成立一点通(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论(2)平面图形与空间图形类比平面图形空间图形点线线面边长面积面积体积线线角二面角三角形四面体3在平面中ABC的角C的内角平分线CE分ABC面积所成的比，将这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB且与AB交于E，则类比的结论为_ 图(1)(2)解析：平面中的面积类比到空间为体积，故类比成.平面中的线段长类比到空间为面积，故类比成.故有.答案：4.如图所示，在ABC中，射影定理可表示为abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想解：如图所示，在四面体PABC中，S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为SS1cos S2cos S3cos .合情推理的应用例3我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列an的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明；(3)在等和数列an中，如果a1a，a2b，求它的前n项和Sn.思路点拨可先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n项和精解详析(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列(2)由(1)知anan1an1an2，所以an2an.所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等(3)当n为奇数时，令n2k1，kN*，则SnS2k1S2k2a2k1(ab)a(ab)aab；当n为偶数时，令n2k，kN*，则SnS2kk(ab)(ab)所以它的前n项和Sn一点通(1)本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力(2)本题型是类比定义，对本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性5类比平面向量基本定理：“如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于平面内任一向量a，有且只有一对实数1，2，使得a1e12e2.”写出空间向量基本定理的是_答案：如果e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，那么对空间内任一向量a，有且只有一组实数1，2，3，使得a1e12e23e36已知椭圆C：1具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值试对双曲线1写出类似的性质，并加以证明解：类似的性质：若M，N是双曲线1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值证明如下：设M(m，n)，则N(m，n)，其中1.设P(x，y)，由KPM，KPN，得KPMKPN，将y2x2b2，n2m2b2代入得KPMKPN.1进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误2多用下列技巧会提高所得结论的准确性：(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面一、填空题1正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是_，结论是_答案：正方体正方体的体积为棱长的立方2给出下列推理：(1)三角形的内角和为(32)180，四边形的内角和为(42)180，五边形的内角和为(52)180，所以凸n边形的内角和为(n2)180；(2)三角函数都是周期函数，ytan x是三角函数，所以ytan x是周期函数；(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行其中属于合情推理的是_(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理答案：(1)(3)(4)3三角形的面积为S(abc)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为_解析：ABC的内心为O，连结OA，OB，OC，将ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c；类比：设四面体ABCD的内切球球心为O，连结OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V(S1S2S3S4)r.答案：(S1S2S3S4)r(S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径)4在平面几何中，有射影定理：“在ABC中，ABAC，点A在BC边上的射影为D，有AB2BDBC.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥ABCD中，AD平面ABC，点A在底面BCD上的射影为O，则有_”答案：SSBOCSBCD5已知结论：“在三边长都相等的ABC中，若D是BC的中点，G是ABC外接圆的圆心，则2”若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则_.”解析：如图，易知球心O在线段AM上，不妨设四面体ABCD的边长为1，外接球的半径为R，则BM，AM ，R ，解得R.于是，3.答案：3二、解答题6已知：等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，有如下的性质：(1)通项anam(nm)d.(2)若mnpq，且m，n，p，qN*，则amanapaq.(3)若mn2p，且m，n，pN*，则aman2ap.(4)Sn，S2nSn，S3nS2n构成等差数列类比上述性质，在等比数列bn中，写出相类似的性质解：设等比数列bn中，公比为q，前n项和为Sn.(1)通项anamqnm.(2)若mnpq，且m，n，p，qN*，则amanapaq.(3)若mn2p，且m，n，pN*，则aaman.(4)Sn，S2nSn，S3nS2n构成等比数列7类比圆的下列特征，找出球的相关特征(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；(3)圆的周长与面积可求解：(1)在空间中，与定点距离等于定长的点的集合是球；(2)空间中不共面的4个点确定一个球；(3)球的表面积与体积可求8若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b，则两边均含有运算符号“*”和“”，写出对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式解：由于本题是探索