高考数学二轮复习14个填空题专项强化练十三双曲线和抛物线

14个填空题专项强化练(十三)双曲线和抛物线A组题型分类练题型一双曲线1在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的离心率为_解析：由已知得，a，b，则c3，所以e.答案：2已知双曲线1(a0)的一条渐近线方程为y2x，则该双曲线的焦距为_解析：由题意得，2，所以a，所以c5，所以该双曲线的焦距为10.答案：103已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为_解析：由e知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为yx，故由P(0,4)，知左焦点F的坐标为(4,0)，所以c4，则a2b28.故双曲线的方程为1.答案：14已知F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为_解析：由题意得E(a,0)，不妨设A，B，显然ABE是等腰三角形，故当ABE是锐角三角形时，AEB90，从而ac，化简得c2ac2a20，即e2e20，解得1e2，又e1，故1e2.答案：(1,2) 5若双曲线1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则PFPA的最小值是_解析：由题意知，双曲线1的左焦点F的坐标为(4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知，PFPA4PBPA4AB4459，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号答案：96F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为_解析：如图，由双曲线定义得，BF1BF2AF2AF12a，因为ABF2是正三角形，所以BF2AF2AB，因此AF12a，AF24a，且F1AF2120，在F1AF2中，4c24a216a222a4a28a2，所以e.答案：题型二抛物线1在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y24x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是_解析：因为抛物线方程为y24x，所以焦点F(1,0)，准线l的方程为x1，设PAl，A为垂足，所以PFPAxP(1)3，所以点P的横坐标是2.答案：22若点P到直线y1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是_解析：由题意可知点P到直线y3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y3为准线的抛物线，且p6，所以其标准方程为x212y.答案：x212y3一个顶点在原点，另外两点在抛物线y22x上的正三角形的面积为_解析：如图，根据对称性：A，B关于x轴对称，故AOx30.直线OA的方程yx，代入y22x，得x26x0，解得x0或x6.即得A的坐标为(6,2)，所以AB4.故正三角形OAB的面积为4612.答案：124在平面直角坐标系xOy中，抛物线y26x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足若直线AF的斜率k，则线段PF的长为_解析：抛物线方程为y26x，焦点F，准线l的方程为x.直线AF的斜率为，直线AF的方程为y，当x时，y3，由此可得A点坐标为.PAl，A为垂足，P点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P点坐标为，PFPA6.答案：65已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则QF_.解析：如图，过点Q作QQl交l于点Q，因为4，所以PQPF34，又焦点F到准线l的距离为4，所以QFQQ3.答案：36.如图，已知抛物线y24x的焦点为F，过点(0,3)的直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若AFBF6，则点D的横坐标为_解析：由题意知，抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线为x1，如图，设AB的中点为H，A，B，H在准线上的射影分别为A，B，H，连结AA，BB，HH，则HH(AABB)由抛物线的定义可得，AFAA，BFBB，又AFBF6，所以AABB6，HH63，故点H的横坐标为2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykx3(k0)，代入抛物线的方程，可得k2x2(6k4)x90，(6k4)236k20，解得k且k0，又x1x24，所以k2或k(舍去)，则直线AB的方程为y2x3，AB的中点为H(2，1)，AB的垂直平分线的方程为y1(x2)，令y0，得x4，故点D的横坐标为4.答案：4B组高考提速练1若抛物线y28x的焦点恰好是双曲线1(a0)的右焦点，则实数a的值为_解析：抛物线y28x的焦点为(2,0)，双曲线1(a0)的右焦点为(，0)，由题意得，2，解得a1.答案：12若双曲线x21的离心率为，则实数m_.解析：由双曲线的标准方程可知a21，b2m，所以a1，c，所以e，解得m2.答案：23已知直线2xy0为双曲线1(a0，b0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为_解析：由题意得，可设ak，b2k，则ck，所以离心率e.答案：4抛物线y22px(p0)的准线截圆x2y22y10所得的弦长为2，则p_.解析：抛物线y22px(p0)的准线方程为x，而圆化成标准方程为x2(y1)22，圆心坐标为(0,1)，半径为，圆心到准线的距离为，所以21()2，解得p2.答案：25已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则FN_.解析：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a1，b2，所以N(0,4)，|FN|6.答案：66已知双曲线C：y21与直线l：xky40，若直线l与双曲线C的一条渐近线平行，则双曲线C的右焦点到直线l的距离是_解析：由题意得，双曲线C：y21的右焦点F(2,0)，其渐近线方程为yx，又直线l：xky40与双曲线C的一条渐近线平行，所以k，所以直线l的方程为xy40，所以双曲线C的右焦点到直线l的距离d3.答案：37.如图所示，F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为_解析：连结AF1，依题意得AF1AF2，AF2F130，AF1c，AF2c，因此该双曲线的离心率e1.答案：18已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为_解析：根据双曲线C的渐近线方程为yx，可知.又椭圆1的焦点坐标为(3,0)和(3,0)，所以a2b29.根据可知a24，b25，所以C的方程为1.答案：19对于给定的双曲线C：1(a0，b0)，称圆心是双曲线的焦点且与双曲线只有一个公共点的圆是双曲线C的“焦点圆”若双曲线C的一个焦点为F1(5,0)，且经过点，则圆心为F1的“焦点圆”的方程是_解析：由条件得解得故双曲线的方程为1，右顶点为(3,0)，根据新定义可知，所求圆的半径r2，从而所求“焦点圆”的方程为(x5)2y24.答案：(x5)2y2410已知F1，F2分别是双曲线3x2y23a2(a0)的左、右焦点，P是抛物线y28ax与双曲线的一个交点，若PF1PF212，则抛物线的准线方程为_解析：将双曲线方程化为标准方程得1，其焦点坐标为(2a,0)，(2a,0)与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程得x3a，而由PF26a，PF23a2a6a，得a1，抛物线的方程为y28x，其准线方程为x2.答案：x211已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则ABDE的最小值为_解析：抛物线C：y24x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l1：yk(x1)，l2：y(x1)，由消去y，得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22，由抛物线的定义可知，|AB|x1x22224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|444k2848816，当且仅当k2，即k1时取等号，故|AB|DE|的最小值为16.答案：1612已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是_解析：设直线AB的方程为xnym，且与x轴的交点为M(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，2，x1x2y1y22.又yx1，yx2，y1y22.联立得y2nym0，y1y2m2，m2，即点M(2,0)又SABOSAMOSBMOOM|y1|OM|y2|y1y2，SAFOOF|y1|y1，SABOSAFOy1y2y1y123，当且仅当y1时，等号成立答案：313.如图，已知点P在以F1，F2为焦点的双曲线1(a0，b0)上，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该双曲线的离心率为_解析：由题意知四边形F1F2PQ的边长为2c，连结QF2，由对称性可知，QF2QF12c，则三角形QPF2为等边三角形过点P作PHx轴于点H，则PF2H60，因为PF22c，所以在直角三角形PF2H中，PHc，HF2c，则P(2c，c)，连结PF1，则PF12c.由双曲线的定义知，2aPF1PF22c2c2(1)c，所以双曲线的离心率为.答案：14已知直线l：y2x3a与双曲线1(a0，b0)的左支交于A，B两点，则双曲线的离心率e的取值范围是_解析：法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，得(b24a2)x212a3x9a4a2b20，x1x2，x1x2，直线AB与双曲线的左支交于A，B两