西经课后题(课后大题-期末).doc

5假定某消费者关于某种商品的消费数量与收入M之间的函数关系为M100Q2。求：当收入M6 400时的需求的收入点弹性。解：由已知条件M100Q2，可得：于是有：进一步，可得：观察并分析以上计算过程及其结果可发现，当收入函数Ma2（其中a0且为常数）时，则无论收入M为多少，相应的需求的收入点弹性恒等于1/2。6假定需求函数为MPN，其中M表示收入，P表示商品价格，N（N0）为常数。求：需求的价格点弹性和需求的收入点弹性。解：由已知条件MPN可得：由此可见，一般地，对于幂指数需求函数（P）MPN而言，其需求的价格点弹性总等于幂指数的绝对值N。而对于线性需求函数（M）MPN而言，其需求的收入点弹性总是等于1。7假定某商品市场上有100个消费者，其中，60个消费者购买该市场的商品，且每个消费者的需求的价格弹性均为3；另外40个消费者购买该市场的商品，且每个消费者的需求的价格弹性均为6。求：按100个消费者合计的需求的价格弹性系数是多少？解：令在该市场上被100个消费者购买的商品总量为，相应的市场价格为P。根据题意，该市场的商品被60个消费者购买，且每个消费者的需求的价格弹性都是3，于是，单个消费者i的需求的价格弹性可以写为：即： （1）且： （2）相类似地，再根据题意，该市场的商品被另外40个消费者购买，且每个消费者的需求的价格弹性都是6，于是，单个消费者j的需求的价格弹性也可以写为：即： （3）且： （4）此外，该市场上100个消费者合计的需求的价格弹性可以写为：将（1）式、（2）式代入上式，得：再将（2）式、（4）式代入上式，得：所以，按100个消费者合计的需求的价格弹性系数是5。8假定某消费者的需求的价格弹性ed1.3，需求的收入弹性eM2.2。求：（1）在其他条件不变的情况下，商品价格下降2对需求数量的影响。（2）在其他条件不变的情况下，消费者收入提高5对需求数量的影响。解：（1）由于，于是将，2%代入，有：；所以在其他条件不变的情况下，价格降低2%使需求增加2.6%。（2）由于，于是有：；因此，其他条件不变收入提高5%时，需求增加11%。9假定在某市场上A、B两厂商是生产同种有差异的产品的竞争者；该市场对A厂商的需求曲线为PA200QA，对B厂商的需求曲线为PB3 000.5QB；两厂商目前的销售量分别为QA50，QB100。求：（1）A、B两厂商的需求的价格弹性edA和edB各是多少？（2）如果B厂商降价后，使得B厂商的需求量增加为QB160，同时使竞争对手A厂商的需求量减少为QA40。那么，A厂商的需求的交叉价格弹性eAB是多少？（3）如果B厂商追求销售收入最大化，那么，你认为B厂商的降价是一个正确的行为选择吗？解：（1）关于A厂商：由于PA200QA20050150，且A厂商的需求函数可以写成：QA200PA于是，A厂商的需求的价格弹性为：关于B厂商：由于PB3000.5QB3000.5100250，且B厂商的需求函数可以写成：QB 6002PB于是，B厂商的需求的价格弹性为：（2）令B厂商降价前后的价格分别为PB和PB，且A厂商相应的需求量分别为A和A，根据题意有：A 50A40因此，A厂商的需求的交叉价格弹性为：（3）由（1）可知，B厂商在PB250时的需求的价格弹性为edB5，也就是说，对B厂商的需求是富有弹性的。对于富有弹性的商品而言，厂商的价格和销售收入成反方向的变化，所以，B厂商将商品价格由PB 250下降为PB220，将会增加其销售收入。具体地有：降价前，当PB250且QB100时，B厂商的销售收入为：降价后，当PB20，且Q B100，B厂商的销售收入为：显然，即B厂商降价增加了它的销售收入，所以，对于B厂商的销售收入最大化的目标而言，它的降价行为是正确的。12.假定某商品销售的总收益函数为TR120Q3Q2。求：当MR30时需求的价格弹性。解答：由已知条件可得MR1206Q30(1)得Q15由式(1)式中的边际收益函数MR1206Q，可得反需求函数P1203Q(2)将Q15代入式(2)，解得P75，并可由式(2)得需求函数Q40。最后，根据需求的价格点弹性公式有ed13.假定某商品的需求的价格弹性为1.6，现售价格为P4。求：该商品的价格下降多少，才能使得销售量增加10% ？解答：根据已知条件和需求的价格弹性公式，有ed1.6由上式解得P0.25。也就是说，当该商品的价格下降0.25，即售价为P3.75时，销售量将会增加10%。2. 假设某消费者的均衡如图31(即教材中第96页的图322)所示。其中，横轴OX1和纵轴OX2分别表示商品1和商品2的数量，线段AB为消费者的预算线，曲线图31某消费者的均衡U为消费者的无差异曲线，E点为效用最大化的均衡点。已知商品1的价格P12元。(1)求消费者的收入；(2)求商品2的价格P2；(3)写出预算线方程；(4)求预算线的斜率；(5)求E点的MRS12的值。解答：(1)图中的横截距表示消费者的收入全部购买商品1的数量为30单位，且已知P12元，所以，消费者的收入M2元3060元。(2)图中的纵截距表示消费者的收入全部购买商品2的数量为20单位，且由(1)已知收入M60元，所以，商品2的价格P23元。(3)由于预算线方程的一般形式为P1X1P2X2M所以，由(1)、(2)可将预算线方程具体写为：2X13X260。(4)将(3)中的预算线方程进一步整理为X2X120。很清楚，预算线的斜率为。(5)在消费者效用最大化的均衡点E上，有MRS12，即无差异曲线斜率的绝对值即MRS等于预算线斜率的绝对值。因此，MRS12。6假定某消费者的效用函数为Ux13/8x25/8，两商品的价格分别为P1，P2，消费者的收入为M。分别求该消费者关于商品l和商品2的需求函数。解：建立拉格朗日函数：即令，得： 由联立可得：此即为二者的需求函数。7令某消费者的收入为M，两商品的价格为P、P2。假定该消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为a。求：该消费者的最优商品消费组合。解：据题意，可知预算方程为：，预算线斜率为由于无差异曲线是直线，且斜率为a，所以无差异曲线斜率的绝对值为：。 所以，该消费者的最优商品消费组合为：（1）当时，边角解是预算线与横轴的交点，如图3-9（a）所示。这时，由预算方程得：即最优商品组合为（2）当时，边角解是预算线与纵轴的交点，如图3-9（b）所示。这时，由预算方程得：即最优商品组合为（3）当时，无差异曲线与预算线重叠，预算线上各点都是最优商品组合点。 （a） （b） （c）图3-9 最优商品组合8假定某消费者的效用函数为，其中，q为某商品的消费量，M为收入。求：（1）该消费者的需求函数。（2）该消费者的反需求函数。（3）当q4时的消费者剩余。解：（1）由题意可得，商品的边际效用为：货币的边际效用为：于是，根据消费者均衡条件，有：整理得需求函数为q（2）由需求函数q可得反需求函数为：（3）由反需求函数可得消费者剩余为：将p,q4代人上式，则有消费者剩余：3已知生产函数，假定厂商目前处于短期生产，且K10。（1）写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MPL函数；（2）分别计算当劳动的总产量TP、劳动的平均产量AP和劳动的边际产量MPL各自达到极大值时的厂商的劳动投入量；（3）什么时候APLMPL？它的值又是多少？解：（1）将K10代入生产函数中，得：于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数：劳动的总产量函数 劳动的平均产量函数 劳动的边际产量函数 （2）令，解得即当劳动的投入量为20时，劳动的总产量TPL达到最大。令，解得（负值舍去）且有所以，当劳动投入量为时，劳动的平均产量APL达到最大。由劳动的边际产量函数可知，0，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。所以边际产量函数递减，因此当劳动投入量时劳动的边际产量MPL达到极大值。（3）当劳动的平均产量APL达到最大时，一定有APLMPL，即，得：此时APLMPL10。12令生产函数f（L，K）01（LK）1/22K3L，其中0i1，i0，1，2，3。（1）当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征？（2）证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。解：（1）f（L，K）01（LK）1/22K3L则如果该生产函数表现出规模报酬不变，则,这就意味着对于任何常数0都必有，解得。可见，当时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。（2）在规模报酬不变的情况下，生产函数为，这时有：00这表明在规模报酬不变的情况下，该函数相应的边际产量是递减的。13已知某企业的生产函数为L2/3K1/3，劳动的价格w2，资本的价格r1。求：（1）当成本C3 000时，企业实现最大产量时的L、K和的均衡值。（2）当产量800时，企业实现最小成本时的L、K和C的均衡值。解：（1）根据企业实现给定成本条件产量最大化的均衡条件：其中 w2，r1于是有：整理得： 即：KL再将KL代入约束条件2L1K3 000，有：2LL3 000解得：L*1 000且有：K*1 000将L*K*1 000代入生产函数，求得最大的产量：*（L*）2/3（K*）1/31 0002/3 + 1/31 000以上结果表明，在成本为C3 000时，厂商以L*1 000，K*1 000进行生产所达到的最大产量为*1 000此外，本题也可以用以下拉格朗日函数法来求解。 将拉格朗日函数分别对L、K和求偏导，得极值的一阶条件： 由式、式可得：，即KL将KL代入约束条件即式，可得：3 0002LL0解得L*1 000且有K*1 000再将L*K*1 000代入目标函数即生产函数，得最大产量：*（L*）2/3（K*）1/31 0002/3 + 1/31 000在此略去关于极大值得二阶条件的讨论。（2）根据厂商实现给定产量条件下成本最小化的均衡条件：其中 w2，r1于是有：整理得： 即：KL再将KL代入约束条件L2/3K1/3800，有：L2/3L1/3800解得L*800且有K*800将L*K*800代人成本方程2L1KC，求得最小成本：C*2L*1K*280018002 400本题的计算结果表示：在800时，厂商以L*800，K*800进行生产的最小成本为C*2 400。此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。将拉格朗日函数分别对L、K和求偏导，得极值的一阶条件： 由、两式可得：即：KL再将KL代入约束条件即式，有：L2/3K1/38000解得L*800且有K*800将L*K*800代人成本方程2L1KC，求得最小成本：C*2L*1K*280018002 4002下面是一张某厂商的LAC曲线和LMC曲线图5-5。请分别在Q1和Q2的产量上画出代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线。图5-5 短期成本曲线答：在产量Q1和Q2上，代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线是SAC1和SAC2以及SMC1和SMC2。SAC1和SAC2分别相切于LAC的A点和B点，SMC1和SMC2则分别相交于LMC的A和B点。见下图5-6。图5-6 成本曲线6某公司用两个工厂生产一种产品，其总成本函数为C212，其中1表示第一个工厂生产的产量，2表示第二个工厂生产的产量。求：当公司生产的总产量为40时能够使得公司生产成本最小的两工厂的产量组合。解:此题可以用两种方法来求解。（1）第一种方法：当一个厂商用两个工厂生产同一种产品时，它必须使两个工厂生产的边际成本相等，即MC1MC2,才能实现成本最小的产量组合。根据题意，第一个工厂生产的边际成本函数为：MC1 412第二个工厂的边际成本函数为：MC2 221于是，根据MC1MC2原则，得：22141 2解得：10.62 （1）又因为1240，于是，将（1）代入有：0.62240解得：2*25将其代入（1），解得：Q1*15（2）第二种方法：运用拉格朗日发来求解。 C212s.t. 12 40将以上拉格朗日函数分别对1、2和求导，得最小值的一阶条件为：由前两个式子可得：41 2221即：10.62将10.62代入第三个式子，得：400.6220解得：2*25再由10.62，得：1*157已知生产函数A1/4L1/4K1/2；各要素价格分别为PA1，PL1，PK2；假定厂商处于短期生产，且16。推导：该厂商短期生产的总成本函数和平均成本函数；总可变成本函数和平均可变函数；边际成本函数。解:由于是短期生产,且16，PA1，PL1，PK2，故总成本等式CPA APL LPK K可以写成：C1A1L32CAL32生产函数可以写成：A1/4L1/4（16）1/24A1/4L1/4而且，所谓的成本函数是指相对于给定产量而言的最小成本。因此，根据以上内容，相应的拉格朗日函数法表述如下： AL32s.t. A1/4L1/4 （其中，为常数）将以上拉格朗日函数分别对A、L、求偏导，得最小值的一阶条件为：由前两个式子可得：即：LA将LA代入约束条件即第三个式子，得：A1/4L1/40解得：A*且：L*于是，有短期生产的各类成本函数如下：总成本函数TC（）A + L + 32 平均成本函数AC（）总可变成本函数TVC（）平均可变成本函数AVC（）边际成本函数MC（）8已知某厂商的生产函数为Q0.5L1/3K2/3；当资本投入量K50时资本的总价格为 500；劳动的价格PL5。求：（1）劳动的投入函数LL（Q）。（2）总成本函数、平均成本函数和边际成本函数。（3）当产品的价格P100时，厂商获得最大利润的产量和利润各是多少？解：（1）已知K50时，其总价格为500，所以对于生产函数Q0.5L1/3K2/3可求出：由，可得：代入生产函数，得：（2）将L2Q代入成本等式C5L10K可得：总成本函数平均成本函数边际成本函数（3）由（1）可知，生产者达到均衡时，有：因为K50，所以：L50代入生产函数有：得：Q25此时利润为：4. 已知某完全竞争行业中的单个厂商的短期成本函数为STC0.1Q32Q215Q10。试求：(1)当市场上产品的价格为P55时，厂商的短期均衡产量和利润；(2)当市场价格下降为多少时，厂商必须停产？(3)厂商的短期供给函数。解答：(1)因为STC0.1Q32Q215Q10，所以SMCeq f(dSTC,dQ)0.3Q24Q15。根据完全竞争厂商实现利润最大化的原则PSMC，且已知P55，于是有0.3Q24Q1555整理得0.3Q24Q400，解得利润最大化的产量Q*20(已舍去负值)。将Q*20代入利润等式有TRSTCPQSTC5520(0.12032202152010)1 100310790即厂商短期均衡的产量Q*20，利润790。(2)当市场价格下降为P小于平均可变成本AVC即PAVC时，厂商必须停产。而此时的价格P必定小于最小的平均可变成本AVC。根据题意，有AVCeq f(TVC,Q)eq f(0.1Q32Q215Q,Q)0.1Q22Q15令eq f(dAVC,dQ)0，即有eq f(dAVC,dQ)0.2Q20解得Q10且eq f(d2AVC,dQ2)0.20故Q10时，AVC(Q)达到最小值。将Q10代入AVC(Q)，得最小的平均可变成本AVC0.1102210155于是，当市场价格P5时，厂商必须停产。(3)根据完全竞争厂商短期实现利润最大化的原则PSMC，有0.3Q24Q15P整理得0.3Q24Q(15P)0解得Qeq f(4r(161.2(15P),0.6)根据利润最大化的二阶条件MRMC的要求，取解为Qeq f(4r(1.2P2),0.6)考虑到该厂商在短期只有在P5时才生产，而在P5时必定会停产，所以，该厂商的短期供给函数Qf(P)为eq blcrc (avs4alco1(Qf(4r(1.2P2),0.6)，,P5Q0，,P5)5. 已知某完全竞争的成本不变行业中的单个厂商的长期总成本函数LTCQ312Q240Q。试求：(1)当市场商品价格为P100时，厂商实现MRLMC时的产量、平均成本和利润；(2)该行业长期均衡时的价格和单个厂商的产量；(