高中数学 第一章 导数及其应用 1_2 导数的计算 第2课时 导数的运算法则教学案 新人教a版选修2-2

第二课时导数的运算法则预习课本P1518，思考并完成下列问题(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？(2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？1导数的四则运算法则(1)条件：f(x)，g(x)是可导的(2)结论：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)点睛应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程2复合函数的求导公式(1)复合函数的定义：一般形式是yf(g(x)可分解为yf(u)与ug(x)，其中u称为中间变量(2)求导法则：复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为：yxyuux.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x)2x，则f(x)x2.()(2)函数f(x)xex的导数是f(x)ex(x1)()(3)函数f(x)sin(x)的导数为f(x)cos x()答案：(1)(2)(3)2函数ysin xcos x的导数是()Aycos 2xsin 2xBycos 2xCy2cos xsin x Dycos xsin x答案：B3函数yxcos xsin x的导数为_答案：xsin x 4若f(x)(2xa)2，且f(2)20，则a_.答案：1利用导数四则运算法则求导典例求下列函数的导数：(1)yx2log3x；(2)yx3ex；(3)y.解 (1)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x.(2)y(x3ex)(x3)exx3(ex)3x2exx3exex(x33x2)(3)y.求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算活学活用求下列函数的导数：(1)ysin x2x2；(2)ycos xln x；(3)y.解：(1)y(sin x2x2)(sin x)(2x2)cos x4x.(2)y(cos xln x)(cos x)ln xcos x(ln x)sin xln x.(3)y复合函数的导数运算典例求下列函数的导数：(1)y；(2)yesin(axb)；(3)ysin2；(4)y5log2(2x1)解(1)设yu，u12x2，则y(u) (12x2)(4x)(12x2) (4x)2x(12x2).(2)设yeu，usin v，vaxb，则yxyuuvvxeucos vaacos(axb)esin(axb)(3)设yu2，usin v，v2x，则yxyuuvvx2ucos v24sin vcos v2sin 2v2sin.(4)设y5log2u，u2x1，则y5(log2u)(2x1).1求复合函数的导数的步骤2求复合函数的导数的注意点(1)内、外层函数通常为基本初等函数(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点活学活用 求下列函数的导数：(1)y(3x2)2；(2)yln(6x4)；(3)ye2x1；(4)y；(5)ysin；(6)ycos2x.解：(1)y2(3x2)(3x2)18x12；(2)y(6x4)；(3)ye2x1(2x1)2e2x1；(4)y(2x1) .(5)ycos3cos.(6)y2cos x(cos x)2cos xsin xsin 2x.与切线有关的综合问题典例(1)函数y2cos2x在x处的切线斜率为_(2)已知函数f(x)ax2ln x的导数为f(x)，求f(1)f(1)若曲线yf(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围解析(1)由函数y2cos2x1cos 2x，得y(1cos 2x)2sin 2x，所以函数在x处的切线斜率为2sin1.答案：1(2)解：由题意，函数的定义域为(0，)，由f(x)ax2ln x，得f(x)2ax，所以f(1)f(1)3a1.因为曲线yf(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x(0，)内导函数f(x)2ax存在零点，即f(x)02ax0有正实数解，即2ax21有正实数解，故有a0，所以实数a的取值范围是(，0)关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用活学活用若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a的值为()A1或B1或C或 D或7解析：选A设过点(1,0)的直线与曲线yx3相切于点(x0，x)，则切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x.又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x00或x0.当x00时，直线方程为y0.由y0与yax2x9相切可得a.当x0时，直线方程为yx.由yx与yax2x9相切可得a1.层级一学业水平达标1已知函数f(x)ax2c，且f(1)2，则a的值为()A1B.C1 D0解析：选Af(x)ax2c，f(x)2ax，又f(1)2a，2a2，a1.2函数y(x1)2(x1)在x1处的导数等于()A1 B2C3 D4解析：选Dy(x1)2(x1)(x1)2(x1)2(x1)(x1)(x1)23x22x1，y|x14.3曲线f(x)xln x在点x1处的切线方程为()Ay2x2 By2x2Cyx1 Dyx1解析：选Cf(x)ln x1，f(1)1，又f(1)0，在点x1处曲线f(x)的切线方程为yx1.4. 已知物体的运动方程为st2(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t2时的速度为()A. B.C. D.解析：选Ds2t，s|t24.5设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1C2 D3解析：选Dya，由题意得y|x02，即a12，所以a3.6曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_解析：y3x21，y|x131212.切线方程为y32(x1)，即2xy10.答案：2xy107已知曲线y12与y2x3x22x在xx0处切线的斜率的乘积为3，则x0_.解析：由题知y1，y23x22x2，所以两曲线在xx0处切线的斜率分别为，3x2x02，所以3，所以x01.答案：18已知函数f(x)fcos xsin x，则f的值为_解析：f(x)fsin xcos x，ff，得f1.f(x)(1)cos xsin x.f1.答案：19求下列函数的导数：(1)yxsin2x；(2)y；(3)y；(4)ycos xsin 3x.解：(1)y(x)sin2xx(sin2x)sin2xx2sin x(sin x)sin2xxsin 2x.(2)y .(3)y.(4)y(cos xsin 3x)(cos x)sin 3xcos x(sin 3x)sin xsin 3x3cos xcos 3x3cos xcos 3xsin xsin 3x.10偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图象过点P(0,1)，且在x1处的切线方程为yx2，求f(x)的解析式解：f(x)的图象过点P(0,1)，e1.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)故ax4bx3cx2dxeax4bx3cx2dxe.b0，d0.f(x)ax4cx21.函数f(x)在x1处的切线方程为yx2，切点为(1，1)ac11.f(x)|x14a2c，4a2c1.a，c.函数f(x)的解析式为f(x)x4x21.层级二应试能力达标1若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A1B2C2 D0解析：选Bf(x)4ax32bx为奇函数，f(1)f(1)2.2曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2e BeC2 D1解析：选C函数的导数为f(x)ex1xex1(1x)ex1，当x1时，f(1)2，即曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率kf(1)2，故选C.3已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x，则f(e)()Ae1 B1Ce1 De解析：选Cf(x)2xf(e)ln x，f(x)2f(e)，f(e)2f(e)，解得f(e)，故选C.4若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析：选Cf(x)x22x4ln x，f(x)2x20，整理得0，解得1x0或x2，又因为f(x)的定义域为(0，)，所以x2.5已知直线y2x1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_解析：yln(xa)，y，设切点为(x0，y0)，则y02x01，y0ln(x0a)，且2，解之得aln 2.答案：ln 26曲线y在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2y24x30上的点的最近距离是_解析：y，则y1，切线方程为y1(x1)，即xy20，圆心(2,0)到直线的距离d2，圆的半径r1，所求最近距离为21.答案：217已知曲线f(x)x3axb在点P(2，6)处的切线方程是13xy320.(1)求a，b的值；(2)如果曲线yf(x)的某一切线与直线l：yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解：(1)f(x)x3axb的导数f(x)3x2a，由题意可得f(2)12a13，f(2)82ab6，解得a1，b16.(2)切线与直线yx3垂直，切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，x01.由f(x)x3x16，可得y0111614，或y0111618.则切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.8设fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn(2)；(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0an.解：(1)由题设fn(x)12xnxn1.所以fn(2)122(n1)2n2n2n1，则2fn(2)2222(n1)2n1n2n，得，fn(2)12222n1n2nn