高考数学 经典错题深度剖析及针对训练 专题27 古典概型和几何概型1

专题27 古典概型和几何概型【标题01】忽略了对数函数中底数的范围【习题01】先后抛掷两枚骰子，出现的点数分别记为，则事件 发生的概率为 .【经典错解】，根据题意得试验的全部结果有个基本事件，事件包含的基本事件有 ，共3个.由古典概型的概率公式得,故填.【详细正解】，根据题意得试验的全部结果有个基本事件， 所以事件包含的基本事件有和， 共2个.由古典概型的概率公式得,故填.【习题01针对训练】先后抛掷两枚骰子，出现的点数分别记为，则事件发生的概率为 .【标题02】事件构成的区域找错了【习题02】在半径为1的圆周上有一定点 ,以为端点连一弦，另外一端点在圆周上等可能的选取，则弦长超过1的概率为 .【经典错解】如图所示，当点在优弧 上时，弦长超过1，根据几何概型的概率公式得.故填.【详细正解】如图所示，当点在优弧 上时，弦长超过1，根据几何概型的概率公式得.故填.【深度剖析】(1)经典错解错在事件构成的区域找错了. （2）错解错在寻找事件构成的区域时，只顾及了一边，忽略了另外一边.所以在寻找事件的全部结果构成的区域时，要考虑周全，不能受习惯思维的影响.【习题02针对训练】有一长、宽分别为、的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（ ）A B C D【标题03】对组合数实际意义理解不清【习题03】甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙依次各抽一题.求甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？【经典错解】甲从选择题抽到一题的结果为，乙从判断题中抽到一题的结果为，而甲、乙依次抽到一题的结果为 所求概率为【详细正解】甲从选择题抽到一题的结果为，乙从判断题中抽到一题的结果为，而甲、乙依次抽到一题的结果为 所求概率为.【习题03针对训练】一纸箱中放有除颜色外，其余完全相同的黑球和白球，其中黑球2个，白球3个.（1）从中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率；（2）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.【标题04】“事件的全部结果”和“事件的全部结果”对应的区域找错了【习题04】在中，=,=3，若在线段上任取一点 ,则为锐角的概率是 .【经典错解】在中，由余弦定理得=. 又由余弦定理得，所以为锐角的概率是.【详细正解】当时，所以为锐角的概率是.【习题04针对训练】在中，过直角顶点作射线交线段 于，使的概率是【标题05】“试验的全部结果构成的区域”和“事件A的全部结果构成的区域”理解错误【习题05】在面积为的 的边上任取一点 ，则的面积大于的概率为 .【经典错解】由题得试验的全部结果构成的区域是如图所示的，事件“的面积大于”的全部结果构成的区域是如图所示的，根据几何概型概率的公式得 ,故填 .【详细正解】由题得试验的全部结果构成的区域是如图所示的线段，事件“的面积大于”的全部结果构成的区域是如图所示的线段，根据几何概型概率的公式得 ,故填 .【深度剖析】（1）经典错解错在“试验的全部结果构成的区域”和“事件A的全部结果构成的区域”理解错误. （2）在做概率题时，一定要认真审题，弄清“试验的全部结果构成的区域”和“事件A的全部结果构成的区域”.【习题05针对训练】设不等式组，表示平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于的概率是（ ）A B C D【标题06】考虑问题不周全没有分类讨论【习题06】在中，在上任取一点，则使为钝角三角形的概率为（ ）A B C D【经典错解】由题意得，过作，则， ，若使得为钝角三角形，则在线段上，所以对应的概率为，故选.【详细正解】（1）当为钝角时，由题意得，过作，则， ，若使得为钝角三角形，则在线段上；（2）当为钝角时，过点 作,则,若使得为钝角三角形，则在线段上.故由几何概型的概率公式得 .故选.【习题06针对训练】向顶角为的等腰三角形（其中）内任意投一点, 则小于的概率为（ ） A B C D 【标题07】审题错误导致把几何概型看成了古典概型【习题07】设关于的一元二次方程（1）若都是从集合中任取的数字，求方程无实根的概率；（2）若是从区间中任取的数字，是从区间中任取的数字，求方程有实根的概率【经典错解】（1）设事件为“方程无实根”，记为取到的一种组合，则所有的情况有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）一共16种且每种情况被取到的可能性相同 关于的一元二次方程无实根， 事件包含的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.共6种 = 方程无实根的概率 （2）关于的一元二次方程有实根，, 设事件为“方程有实根”，记为取到的一种组合，则其包含的基本事件有：（1，1），（2，1），(2，2)（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.一共10种且每种情况被取到的可能性相同 所以方程有实根的概率是 .【详细正解】（1）同上 （2）设事件=“方程有实根”，记为取到的一种组合 是从区间中任取的数字， 是从区间中任取的数字，点所在区域是长为4，宽为3的矩形区域又满足的点的区域是如图所示的阴影部分. 方程有实根的概率是【习题07针对训练】已知关于的二次函数（1）设集合和，分别从集合，中随机取一个数作为和，求函数在区间上是增函数的概率.（2）设点是区域内的随机点，求函数在区间上是增函数的概率【标题08】审题不清把总事件没有理解清楚【习题08】有一个半径为的圆，现在将一枚半径为的硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，则硬币完全落入圆内的概率为 .【经典错解】由题得此概型为几何概型，所有结果组成的区域是以原点为圆心，以4为半径的圆，事件A的所有结果构成的区域是以原点为圆心，以3为半径的圆，所以由几何概型的定义得.【详细正解】由题得此概型为几何概型，所有结果组成的区域是以原点为圆心，以5为半径的圆，当硬币和圆外切时，也是满足题意的，它不是完全落在圆外，因为此时两圆有公共点)，事件A的所有结果构成的区域是以原点为圆心，以3为半径的圆，所以由几何概型的定义得.【深度剖析】（1）经典错解错在审题不清，把总事件没有理解清楚. （2）学习数学，必须养成严谨认真细心的学习习惯，审题必须认真，错解就是审题不清，导致的错误.【习题08针对训练】甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一天二十四小时内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为1小时，乙船停泊时间为2小时，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率【标题09】对随机模拟求近似值原理理解不清【习题09】从区间上随机抽取个数，构成个数对，其中两数的平方和小于的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为. A B C D 【经典错解】由题得圆周率的近似值为.所以选择.【详细正解】由题得数学试验的全部结果表示为，它们构成的是边长为1的正方形，事件的全部结果表示为，它们构成的是个单位圆，它是分布在第一象限的扇形. 根据古典概型和几何概型的概率公式得 . 所以选择.【习题09针对训练】某同学动手做实验：用随机模拟的方法估计圆周率的值，在左下图的正方形中随机撒豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，若他随机地撒粒统计得到落在圆内的豆子数为粒，则由此估计出的圆周率的值为 （精确到）高中数学经典错题深度剖析及针对训练第27讲：古典概型和几何概型参考答案【习题01针对训练答案】 【习题02针对训练答案】 【习题02针对训练解析】这是一个几何概型问题， 所有可能结果用周长表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和表示，所以.【习题03针对训练答案】（1）；（2）.【习题03针对训练解析】（1）摸出两球颜色恰好相同，即两个黑球或两个白球，共有4(种)可能情况.故所求概率为=. （2）有放回地摸两次，两球颜色不同，即“先黑后白”或“先白后黑”.故所求概率为=.【习题04针对训练答案】 【习题04针对训练解析】如图，不妨设，则，图中点恰好使得，当点位于段时，满足，由三角形的知识易得 使的概率. 故填.【习题05针对训练答案】 【习题06针对训练答案】 【习题06针对训练解析】由题可得示意图，试验的全部结果构成的区域是，事件“小于”的全部结果构成的区域是扇形，由题可知为几何概型：则小于的概率为： ，故选.所以区域内满足且的面积为. 所以，所求概率. 【习题08针对训练答案】 【习题08针对训练解析】这是一个几何概型问题设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为与，为“甲、乙两船都不需要等待码头