高中数学 第一章 导数及其应用 1_5 定积分的概念 1_5_1-1_5_2 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程教学案 新人教a版选修2-2

15.1&1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程预习课本P3844，思考并完成下列问题(1)连续函数与曲边梯形的概念分别是什么？(2)曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤是什么？1连续函数如果函数yf(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数2曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图)(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：分割：把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形 (如图)；近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图)；求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积3求变速直线运动的位移(路程)如果物体作变速直线运动，速度函数为vv(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在atb内所作的位移s.点睛当n时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程()(2)当n很大时，函数f(x)x2在区间上的值，只能用2近似代替()(3)mii2，i30.()答案：(1)(2)(3)2将区间1,3进行10等分需插入_个分点，第三个区间是_答案：91.4,1.63做直线运动的物体的速度v2t(m/s)，则物体在前3 s内行驶的路程为_ m.答案：9求曲边梯形的面积典例求直线x0，x2，y0与曲线yx21所围成的曲边梯形的面积参考公式1222n2n(n1)(2n1)解令f(x)x21.(1)分割：将区间0,2n等分，分点依次为x00，x1，x2，xn1，xn2.第i个区间为(i1,2，n)，每个区间长度为x.(2)近似代替、求和：取i(i1,2，n)，Snx22(1222n2)222.(3)取极限：S Sn ，即所求曲边梯形的面积为.求曲边梯形面积(1)思想：以直代曲(2)步骤：分割近似代替求和取极限(3)关键：近似代替(4)结果：分割越细，面积越精确活学活用求由直线x1，x2，y0及曲线yx3所围成的图形的面积解：分割如图所示，用分点，把区间1,2等分成n个小区间，每个小区间的长度为x(i1,2,3，n)过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作S1，S2，Sn.近似代替各小区间的左端点为i，取以点i的纵坐标为一边，以小区间长x为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为Six3(i1,2,3，n)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，即SSi.取极限当分点数目越多，即x越小时，和式的值就越接近曲边梯形ABCD的面积S.因此n，即x0时，和式的极限，就是所求的曲边梯形ABCD的面积因为(ni1)3(n1)33(n1)2i3(n1)i2i3n(n1)33(n1)23(n1)(n1)(2n1)n2(n1)2，所以S311.求变速运动的路程典例一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t的速度v(t)，求汽车在t1到t2这段时间内运动的路程s.解(1)分割：把区间1,2等分成n个小区间(i1,2，n)，每个区间的长度t，每个时间段行驶的路程记为si(i1,2，n)故路程和sni.(2)近似代替：i(i1,2，n)，sivt62(i1,2,3，n)(3)求和：sn6n6n.(4)取极限：sli snli 6n3.求变速直线运动路程的方法求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限应特别注意变速直线运动的时间区间活学活用 已知一质点的运动速度为v(t)6t24(单位：m/s)，求质点开始运动后5 s内通过的路程解：(1)分割在时间区间0,5上等间隔地插入n1个点，将区间等分成n个小区间，其中，第i(1in)个小区间为，其区间长度为，每个小时间段内的路程记为s1，s2，sn.(2)近似代替根据题意可得第i(1in)个小时间段内的路程为si.(3)求和每个小时间段内的路程之和为Sn021222(n1)220(n1)n(2n1)20(2n23n1)20.(4)取极限当n时，Sn的极限值就是所求质点运动的路程，sliSnli 270，即质点运动的路程为270 m.层级一学业水平达标1和式(xi1)可表示为()A(x11)(x51)Bx1x2x3x4x51Cx1x2x3x4x55D(x11)(x21)(x51)解析：选C(xi1)(x11)(x21)(x31)(x41)(x51)x1x2x3x4x55.2在求由xa，xb(ab)，yf(x)(f(x)0)及y0围成的曲边梯形的面积S时，在区间a，b上等间隔地插入n1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是()n个小曲边梯形的面积和等于S；n个小曲边梯形的面积和小于S；n个小曲边梯形的面积和大于S；n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定A1个B2个C3个 D4个解析：选An个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.正确，错误，故应选A.3在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi，xi1上的近似值等于()A只能是左端点的函数值f(xi)B只能是右端点的函数值f(xi1)C可以是该区间内任一点的函数值f(i)(ixi，xi1)D以上答案均不正确解析：选C由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C正确，故应选C.4在求由函数y与直线x1，x2，y0所围成的平面图形的面积时，把区间1,2等分成n个小区间，则第i个小区间为()A. B.Ci1，i D.解析：选B把区间1,2等分成n个小区间后，每个小区间的长度为，且第i个小区间的左端点不小于1，排除A、D；C显然错误；故选B.5函数f(x)x2在区间上()Af(x)的值变化很小Bf(x)的值变化很大Cf(x)的值不变化D当n很大时，f(x)的值变化很小解析：选D当n很大时，区间的长度越来越小，f(x)的值变化很小，故选D.6.求由抛物线f(x)x2，直线x0，x1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间0,1 5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，则所有矩形的面积之和为_解析：S0.33.答案：0.337由直线x0，x1，y0和曲线yx22x围成的图形的面积为_解析：将区间0,1n等分，每个区间长度为，区间右端点函数值y22.作和Sn2n(n1)(2n1)，所求面积S .答案：8汽车以v(3t2)m/s做变速直线运动，在第1 s到第2 s间经过的路程是_解析：将1,2n等分，并取每个小区间的左端点的速度近似代替，则t，v(i)v32(i1)5.所以sn55，所以ssn56.5 (m)答案：6.5 m9. 求由抛物线yx2与直线y4所围成的图形的面积解：如图，yx2为偶函数，图象关于y轴对称，所求图形的面积应为yx2(x0)与直线x0，y4所围成的图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影由得交点为(2,4)先求由直线x0，x2，y0和曲线yx2围成的图形的面积(1)分割将区间0,2n等分，则x，取i(i1,2，n)(2)近似代替、求和Sn202122232(n1)2(3)取极限S .S阴影24.2S阴影.即抛物线yx2与直线y4所围成的图形的面积为.10汽车做变速直线运动，在时刻t的速度(单位：km/h)为v(t)t22，那么它在1t2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？解：将区间1,2等分成n个小区间，第i个小区间为(i1,2，n)第i个时间区间的路程的近似值为iiv(t)v，于是snin012(n1)021222(n1)233.所以s sn 3.故这段时间行驶的路程为 km.层级二应试能力达标1设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb，把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式Sn(i)x(其中x为小区间的长度)，那么Sn的大小()A与f(x)和区间a，b有关，与分点的个数n和i的取法无关B与f(x)和区间a，b的分点的个数n有关，与i的取法无关C与f(x)和区间a，b的分点的个数n，i的取法都有关D与f(x)和区间a，b的i的取法有关，与分点的个数n无关解析：选C用分点ax0x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式Sn(i)x.若对和式求极限，则可以得到函数yf(x)的图象与直线xa，xb，y0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关2对于由直线x1，y0和曲线yx3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是()A.B.C. D.解析：选A将区间0,1三等分为，各小矩形的面积和为s10333.3li的含义可以是()A求由直线x1，x5，y0，y3x围成的图形的面积B求由直线x0，x1，y0，y15x围成的图形的面积C求由直线x0，x5，y0，y3x围成的图形的面积D求由直线x0，x5，y0及曲线y围成的图形的面积解析：选C将区间0,5n等分，则每一区间的长度为，各区间右端点对应函数值为y，因此可以表示由直线x0，x5，y0和y3x围成的图形的面积的近似值4若做变速直线运动的物体v(t)t2，在0ta内经过的路程为9，则a的值为()A1 B2C3 D4解析：选C将区间0，a分为等长的n个小区间，第i个区间记为(i1,2，n)，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则t，所以v(ti)2，sn2(122n2)，于是ssn 9，得a3.故选C.5已知某物体运动的速度为vt，t0,10，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_解析：把区间0,1010等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n1,2.，10)，每个小区间的长度为1.物体运动的路程近似值S1(1210)55.答案：556.如图，曲线C：y2x(0x2)两端分别为M，N，且NAx轴于点A，把线段OA分成n等份，以每一段为边作矩形，使其与x轴平行的边的一个端点在曲线C上，另一端点在曲线C的下方，设这n个矩形的面积之和为Sn，则 (2n3)(1)Sn_.解析：依题意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首项为1，公比为2，则Sn(1222) .所以li(2n3)(1)Sn 12.答案：127汽车行驶的速度为vt2，求汽车在0t1这段时间内行驶的路程s.解：(1)分割将区间0,1等分为n个小区间，每个小区间的长度为t.(2)近似代替在区间(i1,2，n)上，汽车近似地看作以时刻处的速度v2作匀速行驶，则在此区间上汽车行驶的路程为2.(3)求和在所有小区间上，汽车行驶的路程和为sn022221222(n1)2.(4)取极限汽车行驶的路程ssn .8弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)kx(k为常数，x是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长b所做的功解：将物体用常力F沿力的方向拖动距离x，则所做的功WFx.(1)分割在区间0，b上等间隔地插入n