高中数学 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1_2_1 圆的切线学案 新人教b版选修4-1

12.1圆 的 切 线对应学生用书P15读教材填要点1直线与圆的位置关系(1)相离：直线和圆没有公共点，称直线和圆相离(2)相交：如果圆心到一条直线的距离小于半径，则这条直线和该圆一定相交于两点，此时称直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线(3)相切：如果一条直线与一圆只有一个公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点2圆的切线判定定理经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线3圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等推论2：经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角4三角形的内切圆、旁切圆(1)内切圆：与一三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆(2)旁切圆：与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆，一个三角形有三个旁切圆小问题大思维1下列关于切线的说法中，正确的有哪些？与圆有公共点的直线是圆的切线；垂直于圆的半径的直线是圆的切线；与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线提示：由切线的定义及性质可知，只有正确2圆的切线的判定方法有哪些？提示：圆的切线的判定方法有：(1)定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)几何法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线(3)判定定理：过圆的半径的外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线对应学生用书P16切线的判定例1如图所示，已知AB是O的直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是O的切线思路点拨本题考查圆的切线的判定方法解决本题只要证明ODCD即可精解详析如图，连接OD.OCAD，31，42.ODOA，12，43.ODOB，OCOC，DOCBOC.CDOCBO.AB是直径，BC是切线，CBO90，CDO90.DC是O的切线证明某条直线是圆的切线，有以下规律：(1)若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为“连半径，证垂直”；(2)若直线与圆的公共点没确定，应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径”1如图所示，在ABC中，已知ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，DEAC于点E.求证：DE是O的切线证明：连接OD和AD，如图所示AB是O的直径，ADBC.又ABAC，BDCD.AOOB，ODAC.DEAC，DEOD，DE是O的切线切线的性质及判定定理的应用例2如图，OA和OB是O的半径，并且OAOB，P是OA上任意一点，BP的延长线交O于Q，过Q作O的切线交OA的延长线于R，求证：PQR为等腰三角形思路点拨本题考查切线的性质的应用解答本题需要证明PQR中的两个角相等，因为QR为切线，故可考虑连接OQ，得到垂直关系，然后再证明精解详析连接OQ.因为QR是O的切线，所以OQQR.因为OBOQ，所以BOQB.因为BOOA，所以BPO90BRPQ，PQR90OQP.所以RPQPQR.所以RPRQ，所以PQR为等腰三角形(1)圆的切线的性质定理及它的两个推论，概括起来讲就是三点：经过圆心；切线长相等；平分切线的夹角(2)若题目条件中有圆的切线，可考虑连接圆心和切点，则得垂直关系2.如图，AB是O直径，弦CDAB，连接AD，并延长交O过B点的切线于E点，作EGAC交AC的延长线于G点求证：ACCG.证明：如图，连接BC交AE于F点ABCD，13.又23，12，即AFBF.AB为O的直径，BE为O的切线，45，即FEBF.由得AFFE.又AB为O的直径，BCAG.又EGAG，BCEG.由得ACCG.例3某海域直径为30海里的暗礁区中心有一哨所，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45海里的B处向哨所驶来，哨所及时向轮船发出危险信号，但是轮船没有收到这一信号，直到又继续前进了15海里到达C处才收到此哨所第二次发出的紧急危险信号(1)若轮船收到第一次信号后，为避免触礁，航向改变角度至少为东偏北多少度(2)当轮船收到第二次信号后，为避免触礁，轮船航向改变的角度至少应为东偏南多少度？思路点拨(1)根据题意转化为B作暗礁区域圆的切线问题(2)与(1)问思路一致，在C处作暗礁区域圆的切线求解精解详析(1)如图所示，圆心A为暗礁区中心的哨所位置，A的半径为15海里过点B作A的切线，D是切点，连接DA.由切线的性质定理，知ADB90.在RtABD中，sinABD.sin 20，ABD20.当轮船第一次收到危险信号时，所改变角的度数应至少为东偏北20.(2)过点C作A的切线，E为切点，连接AE.由切线的性质定理，知AEC90.在RtACE中，AC451530，sinACE，ACE30.当轮船第二次收到危险信号时，所改变角的度数应至少为东偏南30.解决实际问题要善于抓住问题的特征动切线的特殊位置，分析切线的变化规律，从“变”中找出“不变”，使问题简单化3如图，AD是O的直径，BC切O于点D，AB、AC与圆相交于点E、F.则AEAB与AFAC有何关系？请给予证明解：AEABAFAC.证明如下：连接DE.AD为O的直径，DEA90.又BC与O相切于点D，ADBC，即ADB90.由射影定理知，AD2ABAE.同理AD2AFAC.AEABAFAC.对应学生用书P17一、选择题1AB是O的切线，在下列给出的条件中，能判定ABCD的是()AAB与O相切于直线CD上的点CBCD经过圆心OCCD是直径DAB与O相切于C，CD过圆心O解析：圆的切线垂直于过切点的半径或直径答案：D2如图所示，AB是O的直径，BC是O的切线，AC交O于D，AB6，BC8，则BD()A4B4.8C5.2 D6解析：BC是O的切线，ABC是直角三角形AC 10.AB是直径，ACBD.AB2ADAC，AD.CD10.BD2CDAD，BD4.8.答案：B3如图所示，EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，ACBC于C，且AC是半圆的切线，切点为D，连接OD，若AC12，BC9，则OD的长为()A5 BC6 D4解析：AC12，BC9，AB15.AC为半圆的切线，ODAC.又ACBC，ODBC.，OD.答案：B4已知O的直径AB与弦AC的夹角为30，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC5，则O的半径是()A. BC10 D5解析：如图，连接OC，则OCPC，PACOCA30COP60，在 RtPCO中，PC5，则OC.答案：A二、填空题5.如图，在RtABC中，C90，AC15 cm，AB25 cm，以C点为圆心，12 cm为半径的圆和AB的位置关系是_解析：过点C作CDAB，AC15 cm，AB25 cm，BC20 cm.CD12(cm)半径为12 cm的C与AB相切答案：相切6如图，在菱形ABCD中，对角线AC6 cm，BD8 cm，以A为圆心，r为半径的圆与BC相切，则r为_ cm.解析：AC6 cm，BD8 cm，OB4 cm，OC3 cm.BC5 cm.SABCACBO6412 cm2，又SABCBCAE5r，12.r cm.答案：7如图，是两个滑轮工作的示意图，已知O1，O2的半径分别为4 cm,2 cm，圆心距为10 cm，AB是O1，O2的公切线，切点分别为A，B，则公切线AB的长为_ cm.解析：如图所示分别连接O1A，O2B.设AB与O1O2交于C，则有BCO2ACO1，即.解得O1C.O2C10.AB 8.答案：88如图，AB为O的直径，过B点作O的切线BC，OC交O于点E，AE的延长线交BC于点D，若ABBC2 cm，则CE_，CD_.解析：BC是O切线，AB为直径，ABD90.AB2.OB1.又BC2，OC.又OE1，CE(1) cm.连接BE.不难证明CEDCBE，.CE2CBCD.(1)22CD.CD(3) cm.答案：(1) cm(3) cm三、解答题9.如图，已知AB是O的直径，点D在AB的延长线上，BDOB，点C在圆上，CAB30，求证：DC是O的切线证明：连接OC、BC，AB是O的直径，ACB90.CAB30，BCABBO，又BDBO，BCBOBD.则OCD是直角三角形OCCD，OC是O的半径DC是O的切线10.如图，已知两个同心圆O，大圆的直径AB交小圆于C、D，大圆的弦EF切小圆于C，ED交小圆于G，若小圆的半径为2，EF4，试求EG的长解：连接GC，则GCED.EF和小圆切于C，EFCD，ECEF2.又CD4，在RtECD中，有ED2.由射影定理可知EC2EGED，EG.11如图，已知AB是O的直径，锐角DAB的平分线AC交O于点C，作CDAD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E.(1)求证：直线CD为O的切线；(2)当AB2BE，且CE 时，求AD的长解：(1)证明：连接OC，AC平分DAB，DACCAB.OAOC，O