高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2_2 空间向量的运算教学案 北师大版选修2-1

2 空间向量的运算 空间向量的加减法在射击时，为保证准确命中目标，要考虑风速、温度等因素其中风速对射击的精准度影响最大如某人向正北100 m远处的目标射击，风速为西风1 m/s.问题1：射手能否直接瞄准目标射击？提示：不能问题2：射手应怎样瞄准目标？提示：瞄准方向为北偏西一定角度问题3：问题2的原因是什么？提示：在射击过程中，子弹运行的实际位移是子弹与风位移的合成问题4：空间向量的加法与平面向量类似吗？提示：类似，满足平行四边形法则空间向量的加减法(1)空间向量的加法：设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量和，以，为边作平行四边形，则对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作ab，如图(2)空间向量的减法：a与b的差定义为a(b)，记作ab，其中b是b的相反向量(3)空间向量加减法的运算律：结合律：(ab)ca(bc)交换律：abba.空间向量的数乘a为一空间向量问题1：空间向量a与一个实数的乘积为a，a是向量吗？提示：是问题2：当0时，a0对吗？提示：不对，应为0.问题3：若a与a方向相反， 的取值范围是什么？提示：(，0)空间向量的数乘(1)定义：与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作a.(2)向量a与a的关系：的范围方向关系模的关系0方向相同a的模是a的模的|倍0a0，其方向是任意的0方向相反(3)空间向量的数乘运算律：交换律：aa(R)；分配律：(ab)ab，()aa a(R，R)；结合律：( )a(a)(R，R)(4)定理：空间两个向量a与b(b0)共线的充分必要条件是存在实数，使得ab.空间向量的数量积设a，b，c是任意空间向量，类比平面向量的数量积，回答以下问题问题1：由ab0，一定能推出a0或b0吗？提示：不一定，也可能a，b.问题2：由abac能得到bc吗？提示：不一定问题3：(ab)ca(bc)成立吗？提示：不一定空间向量的数量积(1)空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于|a|b|cosa，b，记作ab.(2)运算律：交换律：abba；分配律：a(bc)abac；(ab)(a)b(R)(3)常见结论：|a|；ab ab0；cosa，b(a0，b0)(4)对任意一个非零向量，把叫作向量a的单位向量，记作a0.a0与a同方向与平面向量类似，空间向量的加减、数乘、数量积运算有如下特点：(1)空间向量的加减法满足平行四边形和三角形法则，结果仍是一个向量(2)空间向量的数乘运算，结果仍是一个向量，方向取决于的正负，模为原向量模的|倍(3)两向量共线，两向量所在的直线不一定重合，也可能平行(4)空间向量数量积运算的结果是一个实数 空间向量的线性表示例1已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值：(1) xy；(2)xy.思路点拨要确定等式xy中x，y的值，就是看怎样用，来表示，同理要确定(2)中的x，y的值，只需把用，表示出来即可精解详析(1)如图()，xy.(2)2，2.又2，2.从而有2(2)22.x2，y2.一点通空间向量的线性运算即为向量的加减、数乘运算在进行向量的线性运算时，应注意结合图形的特点，利用三角形法则、平行四边形法则及数乘运算的运算律来进行化简、计算要特别注意把某些向量平移后转化为同一平面内进行相关计算1如图，已知空间四边形ABCD，设M，G分别是BC，CD的中点，则等于()A. B3C3 D2解析：()23.答案：B2设E，F是长方体ABCDA1B1C1D1中AC，A1D的中点，若向量xyz，求xyz的值解：()()，x，y0，z.xyz0.3.如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列表达式(1) ；(2)；(3)；(4).解：(1).(2)().(3).(4)0.共线向量例2如图，点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，其中E，H是中点，F，G是三等分点，且CF2FB，CG2GD.求证：与为共线向量思路点拨要证与共线，根据共线向量定理只要证明即可精解详析E，H分别是AB，AD的中点，().又CF2FB，CG2GD，.().与为共线向量一点通1判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数，使ab成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出ab，从而得到ab.2共线向量定理还可用来判定两直线平行、证明三点共线在证明两直线平行时，先取两直线的方向向量，通过证明此两向量共线来判定两直线平行当两共线的有向线段有公共点时，两直线即为同一直线，即此时三点共线4与共线是直线ABCD的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若与共线，则，此时AB与CD可能平行也可能为同一直线；而若ABCD，则必有与共线故选B.答案：B5设e1，e2是平面上不共线的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A，B，D三点共线，求k的值解：e14e2又2e1ke2，A，B，D三点共线，即2e1ke2e14e2.e1，e2是不共线向量，k8.6.如图所示，已知ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线解：M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，.又，.22()2.，即与共线.空间向量的数量积及应用例3已知空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OGBC.思路点拨要证OGBC，只需证0，关键是把，用一组已知向量，表示出来精解详析如图，连接ON，设AOBBOCAOC，又设a，b，c，则|a|b|c|，又()(abc)，cb，(abc)(cb)(acabbcb2c2bc)(|a|2cos |a|2cos |a|2|a|2)0.OGBC.一点通1向量的数量积是一个实数，只要知道|a|，|b|及cosa，b即可用公式ab|a|b|cosa，b求解2常用ab0证明ab，这是向量数量积的重要应用3常用cosa，b求两向量夹角余弦值，这是向量数量积的另一个重要应用7设|a|1，|b|2，且a，b120，则(2ab)2()A2 B12C2 D4解析：(2ab)24a24abb24412cos 12044.答案：D8已知非零向量a，b不平行，且|a|b|，则ab与ab的位置关系是_解析：(ab)(ab)a2b20.(ab)(ab)答案：垂直9.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点求下列向量的数量积：(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)在空间四边形ABCD中，|a，且，60，所以aacos 60a2.(2)|a，|a，60，所以a2cos 60a2.(3)|a，|a，又，所以a2cos a2.(4)因为|a，|a，所以，60.所以a2cos 60a2.1在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止2用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题，一般用向量共线定理；解决垂直问题一般可转化为求向量的数量积为零3灵活地应用向量的数量积公式是解决空间求模、夹角的关键 1如图，在平行六面体ABCDABCD中，设a，b，c，则下列与向量相等的表达式是()AabcBabcCabc Dabc解析：cababc.答案：D2已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a2ijk，bij3k，则ab()A2 B1C1 D2解析：ab(2ijk)(ij3k)2i2j23k22.答案：A3如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD.设M，N分别是BC，CD的中点，则()()A BC D.解析：().答案：A4设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0，则BCD为()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定解析：，cos，0，为锐角，同理cos，0，BCD为锐角，cos，0，BDC为锐角，即BCD为锐角三角形答案：B5如图，ABCD的对角线AC和BD交于点E，P为空间任意一点，若x，则x_.解析：过E作MNAB分别交BC，AD于点M，N.()()222()4.答案：46设a，b，c满足abc0，且ab，|a|1，|b|2，则|c|_.解析：abc0，cab.|c| .答案：7在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两互相垂直，且|1，|2，|3，G为ABC的重心，求()的值解：()()()()2(|2|2