高中数学 阶段质量检测（二）推理与证明 新人教a版选修2-2

阶段质量检测（二） 推理与证明(时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1根据偶函数定义可推得“函数f(x)x2在R上是偶函数”的推理过程是()A归纳推理B类比推理C演绎推理 D非以上答案解析：选C根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.2自然数是整数，4是自然数，所以4是整数以上三段论推理()A正确B推理形式不正确C两个“自然数”概念不一致D“两个整数”概念不一致解析：选A三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的3设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，b四个数，有以下说法：四个数可能都是正数；四个数可能都是负数；四个数中既有正数又有负数则说法中正确的个数有()A0 B1C2 D3解析：选B可用反证法推出，不正确，因此正确4下列推理正确的是()A把a(bc)与loga(xy)类比，则有loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与sin(xy)类比，则有sin(xy)sin xsin yC把a(bc)与axy类比，则有axyaxayD把(ab)c与(xy)z类比，则有(xy)zx(yz)解析：选D(xy)zx(yz)是乘法的结合律，正确5已知f(x1)，f(1)1(xN*)，猜想f(x)的表达式为()Af(x) Bf(x)Cf(x) Df(x)解析：选Bf(2)，f(3)，f(4)，猜想f(x).6求证：.证明：因为和都是正数，所以为了证明，只需证明()2()2，展开得525，即20，此式显然成立，所以不等式成立上述证明过程应用了()A综合法B分析法C综合法、分析法配合使用D间接证法解析：选B证明过程中的“为了证明”，“只需证明”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式7已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为()Aa1a2a3a929 Ba1a2a929Ca1a2a929 Da1a2a929解析：选D由等差数列性质，有a1a9a2a82a5.易知D成立8若数列an是等比数列，则数列anan1()A一定是等比数列B一定是等差数列C可能是等比数列也可能是等差数列D一定不是等比数列解析：选C设等比数列an的公比为q，则anan1an(1q)当q1时，anan1一定是等比数列；当q1时，anan10，此时为等差数列9已知abc0，则abbcca的值()A大于0 B小于0C不小于0 D不大于0解析：选D法一：abc0，a2b2c22ab2ac2bc0，abacbc0.法二：令c0，若b0，则abbcac0，否则a，b异号，abbcacab0，排除A、B、C，选D.10已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*都成立，那么a，b，c的值为()Aa，bc BabcCa0，bc D不存在这样的a，b，c解析：选A令n1,2,3，得所以a，bc.11已知数列an的前n项和Sn，且a11，Snn2an(nN*)，可归纳猜想出Sn的表达式为()ASn BSnCSn DSn解析：选A由a11，得a1a222a2，a2，S2；又1a332a3，a3，S3；又1a416a4，得a4，S4.由S1，S2，S3，S4可以猜想Sn.12设函数f(x)定义如下表，数列xn满足x05，且对任意的自然数均有xn1f(xn)，则x2 016()x12345f(x)41352A.1 B2C4 D5解析：选Dx1f(x0)f(5)2，x2f(2)1，x3f(1)4，x4f(4)5，x5f(5)2，数列xn是周期为4的数列，所以x2 016x45，故应选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填在题中的横线上)13已知x，yR，且xy0，b0，mlg，nlg，则m，n的大小关系是_解析：ab00ab2ab()2()2lglg .答案：mn15已知 2， 3， 4， 6，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a，b的值，则ab_.解析：由题意归纳推理得 6，b62135，a6.ab63541.答案：4116现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为_解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b0，则lg ；(2)622.证明：(1)当a，b0时，有，lglg，lglg ab.(2)要证 22，只要证()2(22)2，即22，这是显然成立的，所以，原不等式成立18(本小题满分12分)若a10，a11，an1(n1,2，)(1)求证：an1an；(2)令a1，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an(不要求证明)解：(1)证明：若an1an，即an，解得an0或1.从而anan1a2a10或1，这与题设a10，a11相矛盾，所以an1an不成立故an1an成立(2)由题意得a1，a2，a3，a4，a5，由此猜想：an.19(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处(1)求证：四边形的内角和等于360.证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有ABCD90909090360，所以四边形的内角和为360.(2)已知 和 都是无理数，试证：也是无理数证明：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以必是无理数(3)已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0，用反证法证明：关于x的方程x22x5m20无实根证明：假设方程x22x5m20有实根由已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0，解得2m，而关于x的方程x22x5m20的判别式4(m24)，2m，m24，0，即关于x的方程x22x5m20无实根解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法20(本小题满分12分)等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：(1)由已知得d2.故an2n1，Snn(n)(2)由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0，p，q，rN*，2pr，(pr)20.pr，与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列21(本小题满分12分)设f(n)1(nN*)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)证明：当n2时，左边f(1)1，右边21，左边右边，等式成立假设nk(k2，kN*)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当nk1时结论仍然成立f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)22(本小题满分12分)已知f(x)，且f(1)log162，f(2)1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)已知数列xn的项满足xn(1f(1)(1f(2)(1f(n)，试求x1，x2，x3，x4；(3)猜想xn的通项公式，并用数学归纳法证明解：(1)把f(1)log162，f(2)1，代入函数表达式得即解得(舍去a)，f(x)(x1)(2)x11f(1)1，x2(1f(2)，x3(1f(3)，x4.(3)由(2)知，x1，x2，x3，x4，由此可以猜想xn.证明：当n1时，x1