高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1 第三课时 直角三角形的射影定理学案 北师大版选修4-1

第三课时直角三角形的射影定理对应学生用书P9射影定理射影定理文字语言直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项符号语言在RtABC中ACCB，CDAB于D，则AC2ADAB，BC2BDBA，CD2BDAD.图形语言如图所示在直角三角形中，勾股定理与射影定理有什么联系？提示：在RtABC中，C90，CD是AB边上的高应用射影定理可以得到AC2BC2ADABBDAB(ADBD)ABAB2.可见利用射影定理证明勾股定理比用面积割补的方法证明更简洁对应学生用书P9利用射影定理解决计算问题例1如图，D为ABC中BC边上的一点，CADB，若AD6，AB10，BD8，求CD的长思路点拨本题主要考查利用射影定理计算直角三角形中的有关线段长问题解此题时要先判断ABC为直角三角形，进一步由射影定理求CD.精解详析在ABD中，AD6，AB10，BD8，满足AB2AD2BD2，ADB90，即ADBC.又CADB，且CCAD90，CB90，BAC90，在RtABC中，ADBC.由射影定理可知，AD2BDCD，628CD，CD.利用射影定理时注意结合图形同时可添加垂线创设更多的直角三角形，以利用射影定理与勾股定理解决计算问题1.如图，在RtABC中，ABC90，CD是斜边上的高，AC5，BC8，求SCDASCDB.解：CDA和CDB同高，.又AC2ADAB，CB2BDAB，.2.如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，DE是RtBCD斜边BC上的高，若BE6，CE2.求AD的长是多少解：因为在RtBCD中，DEBC，所以由射影定理可得：CD2CEBC，所以CD216，因为BD2BEBC，所以BD4 .因为在RtABC中，ACB90，CDAB，所以由射影定理可得：CD2ADBD，所以AD.利用射影定理解决证明问题例2如图，在ABC中，BAC90，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E.求证：(1)ABACADBC；(2)AD3BCBECF.思路点拨本题主要考查利用射影定理证明等积问题，解答此题时分别在三个直角三角形中应用射影定理，再将线段进行代换，即可证明等积问题精解详析(1)在RtABC中，ADBC，SABCABACBCAD，ABACADBC.(2)在RtADB中，DEAB，由射影定理得BD2BEAB，同理CD2CFAC.BD2CD2BEABCFAC.又在RtBAC中，ADBC，AD2BDDC.AD4BD2DC2，AD4BECFABAC.AD3BECFABAC.又ABACBCAD，AD3BECFBC.在同一问题中需多次应用射影定理时，一定要结合图形，根据要证的结论，选择好射影定理的表达式同时，注意线段的等量代换及比例式可化为乘积式的恒等变形3如图，在RtABC中，BAC90，ADBC于D，BE平分ABC交AC于E，EFBC于F.求证：EFDFBCAC.证明：BAC90，ADBC，由射影定理知AC2CDBC，即.BE平分ABC，EAAB，EFBC，AEEF.EFBC，ADBC，EFAD.，即EFDFBCAC.4如图，AD，BE是ABC的两条高，DFAB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H.求证：DF2GFHF.证明：在AFH与GFB中，因为HBAC90，GBFBAC90，所以HGBF.因为AFHGFB90，所以AFHGFB.所以，所以AFBFGFHF.因为在RtABD中，FDAB，所以DF2AFBF，所以DF2GFHF.本课时主要考查利用射影定理求线段长与证明问题，属中低档题考题印证如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CDAB，垂足为D，已知AD2，CB4 ，则CD .命题立意本题主要考查利用射影定理计算线段长问题自主尝试由射影定理知CD2ADBD，BC2BDABBC2(ABAD)AB.即AB22AB480.AB8，BD6，故CD22612，CD2.答案：2对应学生用书P11一、选择题1在RtABC中，BAC90，ADBC于点D，若，则()ABC D解析：选C由射影定理知，BD，CD，所以2又，所以.2如图，ABC中，ACB90，CDAB于D，AD3，BD2，则ACBC的值是()A32 B94C D解析：选C在RtABC中，ACB90，CDAB，由射影定理知AC2ADAB，BC2BDAB，又AD3，BD2，ABAD BD5.AC23515，BC22510.，即ACBC.3在ABC中，CDAB于点D，下列不能确定ABC为直角三角形的是()AAC2，AB2，CDBAC3，AD2，BD2CAC3，BC4，CDDAB7，BD4，CD2解析：选B在A中，AD，AC2ADAB，故ABC为直角三角形；在B中，CD，CD25ADDB4，故ABC不是直角三角形，同理可证C，D中三角形为直角三角形4在ABC中，AD是高，且AD2BDDC，则BAC()A大于90 B等于90C小于90 D不能确定图1解析：选D如图(1)，由AD2BDCD，有AB2AC2BD2CD22AD2BD2CD22BDCD(BDCD)2，图2即AB2AC2BC2，可得BAC90，如图(2)，显然AD2BDCD，D点在ABC外，则ACB90，所以ABC是直角或钝角三角形二、填空题5.如图所示，RtABC中，ACBC，点C在AB上的正射影为D，且AC3，AD2，则AB .解析：ACBC，又D是C在AB上的正射影，CDAB，AC2ADAB.又AC3，AD2，AB.答案：6.(湖北高考)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB3AD，则的值为 解析：连接AC，BC，则ACBC.；AB3AD，ADAB，BDAB，ODAB.又AB是圆O的直径，OC是圆O的半径，OCAB.在ABC中，根据射影定理有：CD2ADBDAB2.在OCD中，根据射影定理有：OD2OEOC，CD2CEOC，可得OEAB，CEAB，8.答案：87在RtACB中，C90，CDAB于D，若BDAD14，则tanBCD .解析：如图，由射影定理得：CD2ADBD，又BDAD14，设BDx，则AD4x(x0)，CD2ADBD4x2，CD2x.在RtCDB中，tanBCD.答案：8.如图，在ABC中，D，F分别在AC，BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，则AC .解析：；在ABC中，设ACx，因为ABAC，AFBC，FC1，根据射影定理，得AC2FCBC，即BCx2.再由射影定理，得AF2BFFC(BCFC)FC，即AF2x21.所以AF.在BDC中，过D作DEBC于E，因为BDDC1，所以BEEC.又因为AFBC，所以DEAF，所以，所以DE.在RtDEC中，因为DE2EC2DC2，即2212，所以1.整理得x64.所以x.所以AC.答案：三、解答题9如图所示，在ABC中CDAB，BDABAC，求BAC.解：因为BDABAC，所以ABBDACAD.因为CDAB，所以CDA90，在RtADC中， cosCAD.BAC60.10.如图，在ABC中，ABm，BACABCACB123，CDAB于点D.求BD，CD的长解：设BAC的度数为x，则由BACABCACB123，得ABC的度数为2x，ACB的度数为3x.因为BACABCACB180，所以x2x3x180，解得x30.所以ABC60，ACB90.因为ABm，所以BCm，又因为CDAB，所以BC2BDAB，即2BDm，所以BDm.ADABBDmmm.由CD2ADBDmmm2，得CDm.因此，BD的长是m，CD的长是m.11如图，已知BD，CE是ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G，H，交CE于F，且HBCF.求证：GD2GFGH.证明：因为HBCF，EBCGBH，所以BCEBHG，因为CEBH，所以BGH