高中数学 第三章 三角恒等变形章末复习课学案 北师大版必修4

第三章 三角恒等变形学习目标1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明1两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()_.cos()_.sin()_.sin()_.tan()_.tan()_.2二倍角公式sin 2_.cos 2_.tan 2_.3升幂公式1cos 2_.1cos 2_.4降幂公式sin xcos x_，cos2x_，sin2x_.5和差角正切公式变形tan tan _，tan tan _.6辅助角公式yasin xbcos x_.类型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例1已知，为锐角，cos ，tan()，求cos 的值反思与感悟给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如2，()，()，()()，()()等跟踪训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan()的值；(2)求的值类型二整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2求函数f(x)sin xcos xsin xcos x，xR的最值及取到最值时x的值反思与感悟在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来跟踪训练2求函数ysin xsin 2xcos x(xR)的值域类型三转化与化归思想在三角恒等变换中的应用例3已知函数f(x)2sin(x3)sin2sin21，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos 2x0的值反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质跟踪训练3已知cos，x，求的值类型四构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用例4已知sin x2cos y2，求2sin xcos y的取值范围反思与感悟在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决跟踪训练4已知关于的方程cos sin a0在区间(0,2)上有两个不相等的实数解，求cos()的值1若是第三象限角，且sin()cos sin cos()，则tan 等于()A5 B C. D52已知是第三象限角，且sin4cos4，则sin 2等于()A. BC. D3已知sin cos ，sin cos ，则sin()_.4设为锐角，若cos，则sin的值为_5已知函数f(x)cos xsin(x)cos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间，上的最大值和最小值本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质答案精析知识梳理1cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 22sin cos cos2sin22cos21 12sin232cos22sin24.5tan()(1tan tan ) tan()(1tan tan )6.sin(x)题型探究例1解是锐角，cos ，sin ，tan .tan tan().是锐角，cos .跟踪训练1解(1)由题可知，cos ，cos .由于，为锐角，则sin ，sin ，故tan ，tan ，则tan().(2)因为tan()1，sin ，sin ，即0，故.例2解设sin xcos xt，则tsin xcos xsin，t，sin xcos x.f(x)sin xcos xsin xcos x，g(t)t(t1)21，t，当t1，即sin xcos x1时，f(x)min1，此时，由sin，解得x2k或x2k，kZ.当t，即sin xcos x时，f(x)max，此时，由sin，即sin1，解得x2k，kZ.综上，当x2k或x2k，kZ时，f(x)取得最小值1；当x2k，kZ时，f(x)取得最大值.跟踪训练2解令sin xcos xt，则由tsin知，t，又sin 2x1(sin xcos x)21t2，y(sin xcos x)sin 2xt1t22.当t时，ymax；当t时，ymin1.函数的值域为.例3解(1)因为f(x)(2sin xcos x)(2cos2x1)sin 2xcos 2x2sin，所以f(x)的最小正周期为.又因为x0，所以2x，所以f(x)的最大值为2，最小值为1.(2)由(1)可知，f(x0)2sin.又因为f(x0)，所以sin.由x0，得2x0，所以cos ，cos 2x0coscoscos sinsin .跟踪训练3解sin 2xtan.x，x2，又cos，sin.tan.cos xcoscoscos sinsin .sin xsinsincos sin cos，sin 2x，tan x7.例4解设2sin xcos ya.由解得从而解得1a.故2sin xcos y的取值范围是.跟踪训练4解设xcos ，ysin ，则有消去y，并整理得4x22axa210.由已知得cos ，cos 是的两个实数解，由根与系数的关系，得sin sin (cos a)(cos a)3cos cos (cos cos )aa2.cos()cos cos sin sin .当堂训练1A2.A3.4.5解(1)由已知，有f(x)cos x(sin xcos x)cos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)所以f(x)的最小正周期为T.(2)因为f(x)