高中数学 第二章 函数 2_1_2 函数的表示方法学案 新人教b版必修1

2.1.2函数的表示方法学习目标1.掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法，体会三种表示方法的特点.2.掌握函数图象的画法及分段函数的应用.知识链接1.在平面上，两个点可以确定一条直线，因此作一次函数的图象时，只需找到两个点即可.2.二次函数yax2bxc(a0)的顶点坐标为(，).3.函数yx22x3(x1)(x3)，所以函数与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0).预习导引1.函数的图象(1)函数yf(x)与其图象F的关系：图象F上任一点的坐标(x，y)都满足yf(x)；满足yf(x)关系式的点(x，y)都在F上.(2)函数yf(x)图象的作法：列表、描点、连线.2.函数的常用表示方法表示方法定义列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法.图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法.解析法(公式法)如果在函数yf(x)(xA)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法).3.分段函数(1)定义在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.(2)三要素定义域：由每一段上x的取值范围的并集.值域：所有函数值组成的集合.对应法则：在每一段上的对应法则不同.要点一作函数图象例1 作出下列函数的图象：(1)yx1(xZ)；(2)yx22x(x0,3).解(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线yx1上，如图(1)所示.(2)因为0x3，所以这个函数的图象是抛物线yx22x介于0x3之间的一部分，如图(2)所示.规律方法1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.2.函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，特别要分清区间端点是实心点还是空心点.跟踪演练1画出下列函数的图象：(1)yx1(x0)；(2)yx22x(x1或x1).解(1)yx1(x0)表示一条射线，图象如图(1).(2)yx22x(x1)21，(x1或x1)是抛物线yx2x去掉1x1之间的部分后剩余曲线.如图(2).要点二求函数的解析式例2(1)已知f(x)是二次函数，其图象的顶点是(1,3)，且过原点，求f(x).(2)已知f(1)x2，求f(x).解(1)由于图象的顶点是(1,3)，故设f(x)a(x1)23(a0)，因为图象过原点，所以a30，解得a3，所以f(x)3(x1)23.(2)方法一x2()2211(1)21，f(1)(1)21(11).即f(x)x21(x1).方法二令t1，则x(t1)2，t1.代入原式，有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.f(x)x21(x1).规律方法求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.(2)换元法：已知函数fg(x)的解析式求f(x)的解析式可用换元法，即令g(x)t，反解出x，然后代入fg(x)中求出f(t)，从而求出f(x).跟踪演练2(1)已知g(x1)2x6，求g(3).(2)一次函数的图象过点(0，1)，(1,1)，求其解析式.解(1)方法一令x1t，则xt1，g(t)g(x1)2(t1)62t8，g(x)2x8，g(3)23814.方法二令x13，则x4，g(3)24614.(2)设一次函数的解析式f(x)kxb(k0)，由题意知解析式为f(x)2x1.要点三分段函数及应用例3已知函数f(x)(1)求f(5)，f()，f(f()的值；(2)若f(a)3，求实数a的值.解(1)由5(，2，(2,2)，(，2，知f(5)514，f()()22()32.f()1，22，ff()f()()22()3.(2)当a2时，f(a)a1，a13，a22不合题意，舍去.当2a2时，a22a3，即a22a30.(a1)(a3)0，a1或a3.1(2,2)，3(2,2)，a1符合题意.当a2时，2a13，a2符合题意.综合，当f(a)3时，a1或a2.规律方法1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解.2.若所给变量的范围不明确，计算时应分类讨论.跟踪演练3(1)已知函数f(x)则ff()_；(2)已知函数f(x)若f(x)2，则x_.答案(1)(2)1或解析(1)由于|1，所以f()2，而|1，所以f()1()2.所以ff().(2)若x0，由x12，得x1；若x0，由2，得x，由于0，舍去x，所以x.故x1或.1.已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()x1x222x4f(x)123A.1 B.2 C.3 D.不存在答案C解析由表可知f(3)3.2.若f(x2)2x3，f(3)的值是()A.9 B.7 C.5 D.3答案C解析令x23，则x1，f(3)2135.3.设函数f(x)则ff(3)等于()A. B.3C. D.答案D解析f(3)，ff(3)21.4.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是()A.f(x)x21 B.f(x)(x1)21C.f(x)(x1)21 D.f(x)(x1)21答案D解析由二次函数的图象开口向上且关于直线x1对称，可排除A、B；又图象过点(0,0)，可排除C；D项符合题意.5.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f的值等于_.答案2解析由函数f(x)图象，知f(1)2，f(3)1，ff(1)2.1.函数三种表示法的优缺点2.描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线.3.求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法.4.理解分段函数应注意的问题：(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏.(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.(3