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第一章 算法初步一、算法与程序框图1.算法：算法指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。2.算法与计算机：计算机解决任何问题都要依赖于算法。只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题。3.算法的特征：有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的。确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果。可行性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一个都准确无误才能完成问题。不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以由不同的算法。普遍性：一个算法应该适用于求某一类问题的解，而不是只用来解决一个具体的问题。【注意：有限性、确定性和可行性是算法特征里最重要的特征，是检验一个算法的主要依据。】4.程序框图：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形。5.程序框图的组成：程序框图由程序框及流程线组成；在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序。6.基本程序框及其功能：图形符号名 称功 能终端框（起止框）表示一个算法的起始和结束输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息处理框（执行框）赋值、计算判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处表明“是”或“Y”；不成立时表明“否”或“N”流程线连接程序框连接点连接程序框图的两部分【注意：起、止框是任何流程不可少的，表明程序的开始和结束。输入和输出可用在算法中任何需要输入、输出的位置。算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内。一个算法步骤到另一个算法步骤用流程线连接。如果一个框图需要分开来画，要在断开处画上连接点，并标出连接的号码。】7.程序框图的画法：画一个算法的程序框图，应先对问题进行算法分析，必要时可先用自然语言设计该问题的算法，弄清算法的流程，然后把算法步骤逐个转化为框图表示，最后用流程线依步骤顺序连接成程序框图。画程序框图的规则：使用标准的框图符号；框图一般按从上到下、从左到右的方向画；除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种公式多分支判断，有几种不同的结果。在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。8.算法的基本逻辑结构：顺序结构：顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，其特点是步骤与步骤之间，框与框之间是按从上到下的顺序依次执行，不会引起程序步骤的“跳转”，它是任何一个算法都离不开的基本结构。条件结构：概念：在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，这种先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为条件结构。这是一种依据指定条件选择执行不同指令的指控结构。结构形式满足条件？否 是步骤B步骤A步骤A满足条件？否 是循环结构：概念：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的步骤称为循环体。结构形式循环体满足条件？否 是满足条件？循环体是 否.直到型循环的结构特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环。.当型循环的结构特征：在每次执行循环体前，先对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环。二、基本算法语句1.任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它们分别是输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。2.输入语句：输入语句是指程序运行中由用户输入数据的语句。它的一般格式是INPUT “提示内容”；变量。【注意： “提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息；输入语句中，提示内容要写在“ ”中，并且与变量之间要用“；”隔开；一个输入语句可以输入多个变量，中间用“，”隔开；输入语句不仅能够输入具体的常数，还可以输入单个或多个字符，但不能是函数、变量或表达式。】3.输出语句：输出语句是将程序运行的信息显示出来的语句。它的一般格式是PRINT “提示内容”；表达式。【注意：“提示内容”一般是提示用户输出什么样的信息；输出语句中，提示内容与表达式之间要用“；”隔开；一个输出语句可以输出多个变量的值，中间用“，”隔开；输出语句中的表达式是指程序要输出的数据，输出语句可以输出常量、变量或表达式的值，输出语句具有计算功能。】4.赋值语句：赋值语句是赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。它的一般格式是变量=表达式。其中，“=”叫做赋值号，其作用是先计算“=”右边表达式的值，然后把这个值赋给“=”左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。【注意：赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式；赋值号左右两边不能对换。赋值语句是将赋值号右边的表达式赋给赋值号左边的变量；不能利用赋值语句进行代数式（或符号）的演算；赋值号与数学中的等号的意义不同，赋值号左边的变量如果原来没有值，则在执行赋值语句后，获得一个值，如果原已有值，则执行该语句后，以赋值号右边表达式的值代替该变量的原值，即将原值“冲掉”。】5.语句中的常用符号运算符号加减运算：，在程序语句中还是写为，；乘法运算：在程序语句中写作；除法运算：或在程序语句中写作；乘方运算：在程序语句中写作，也可用连乘的形式。函数符号算术平方根：表示；绝对值：表示；取整：表示不大于的最大整数。6.条件语句：概念：条件语句是处理条件结构的算法语句。条件语句的格式：图一满足条件？否 是步骤B步骤A图二满足条件？否步骤A 是IF 条件 THEN 语句体1ELSE 语句体2END IFIF 条件 THEN 语句体END IF与图一相对应的条件语句的格式是IFTHENELSE格式 与图二相对应的条件语句的格式是IFTHEN格式其功能是：当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条 其功能是：当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果（IF）条件符合，那么（THEN）执行 件进行判断，如果（IF）条件符合，那么（THEN）执行语句体1，否则（ELSE）执行语句体2。 语句体，否则执行END IF之后的语句。两种条件语句的区别与联系共同点：两种语句都首先对条件进行判断，然后才执行相应的语句体；执行完语句体后退出条件结构。从形式上看，都以IF开始，最后以END IF结束。区别：第一种语句包含两个语句体，满足条件时执行一个语句体，不满足条件时执行另一个语句体；而第二种语句只有一个语句体，是满足条件时执行的语句体。【注意：利用条件语句编写程序应该：明确该程序解决什么问题，这个问题有几种不同的情况，每一种情况成立的条件是什么；确定需要使用几个条件语句来设计程序，每一个条件语句能解决问题的哪一种情况，可以先设计解决问题的算法，画出相应的程序框图，然后把算法步骤及框图内容使用相应语句描述。】7.循环语句：循环语句的格式与功能：1.直到型循环结构对应的UNTIL语句图三循环体满足条件？否 是图四满足条件？循环体是 否与直到型循环结构（图三）相对应的程序语句称为UNTIL 与当型循环结构（图四）相对应的程序语句为WHILE语句，它的一般格式是： 语句，它的一般格式是：WHILE 条件 循环体WEND DO 循环体LOOP UNTIL 条件功能：当计算机执行上述语句时，先执行一次DO和UNTIL 功能：当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真之间的循环体，再对UNTIL后的条件进行判断。如果条件不 假，如果条件符合，就执行WHILE和WEND之间的循符合，继续执行循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍不 环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执符合，再次执行循环体，直到条件符合时为止。这时，计算机 行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合不再执行循环体，直到跳到UNTIL语句后，接着执行UNTIL 为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句之后的语句。 语句后，接着执行WEND之后的语句。WHILE语句和UNTIL语句的关系：UNTILWHILE区别计算机的执行顺序先执行循环体，在判断条件，然后再循环体，再条件，反复执行，直到条件满足先判断条件，再执行循环体，然后再判断条件，再循环体，反复执行，直至条件不满足“UNTIL先循环后判断，WHILE先判断后循环”条件的内容此语句中条件是循环结束的条件，即满足此条件时，循环结束，执行循环结构后面的语句；不满足时，才执行循环体此语句的条件是执行循环体的条件，即满足条件时，执行循环体；不满足时，退出循环，执行循环结构后面的语句“WHILE满足就循环，UNTIL满足就停止”对循环体的执行次数此语句由于先执行循环体，后判断条件，因此，在任何一个这样的语句中，循环体至少要执行一次此语句由于现判断条件，后执行循环体，因此循环体可以一次也不执行而退出循环结构联 系这两种语句都可以实现计算机反复执行循环体的目的，一般来说，WHILE语句与UNTIL语句都可以相互转化几种对应关系：变量初始值与循环体中变量值的对应。初始值有时会直接影响循环体中的变量值。变量的初始值与循环条件的对应。一般来讲，初始值可以确定循环条件。三、算法案例1.辗转相除法：辗转相除法是求两个正整数的最大公约数的方法。2.辗转相除法具体算法：用两个数中较大的数除以较小的数判断玉树是否为0，若不为0，则用较小的数除以余数再判断余数是否为0，反复进行上述步骤，直到余数为0为止。这时的除数就是最大公约数。3.更相减损术：更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法。4.更相减损术的内容：任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，则以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，这个数就是所求的最大公约数。5.更相减损术与辗转相除法比较：更相减损术是作减法运算，而辗转相除法是作除法运算；更相减损术运算次数较多，但每一次的计算都较简单。6.秦九昭算法：秦九昭算法是能求多项式函数值的一种算法。7.秦九昭算法步骤：对于任意一元n次多项式，首先将多项式改写为令则递推公式为 其中所谓递推，就是在一系列数中已知第一个数，则其后的每一个数都可由前面的数求出。根据上面的递推公式，我们可由依次求出所有的。在上述公式中，是反复执行的，因此可用循环结构实现。8.进位制：概念：进位制是人们为了计数或计算方便而约定的计数系统。约定“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几。如果是大于1的整数，那么以为基数的进制数可以表示为为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数。十进制数一般不标基数；由于每一种进制的基数不同，所以，每一种进制所用的数字个数也不同；任何一个进制数都可以写成不同位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式；不同进制之间的互化：进制数化为十进制数：先把进制数写成不同数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，再按十进制数的运算法则计算出结果。十进制数转化为进制数：可以用进制数的基数去除十进制数，再用去除所得的商，反复进行，直至商为0，把每次相除所得的余数取出即可。此法称为除取余法。两个非十进制数之间的互化：将进制的数化为进制的数，可以先将进制的数化为十进制数，再将所得十进制数化为进制的数。第二章 统计一、随机抽样1.简单随机抽样：一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。2.简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数较少；从总体中逐个地抽取；不放回抽取；每一次抽取时，总体中各个个体被抽到的可能性相同，在整个抽样过程中各个个体被抽到的机会也都相等（即等可能性）。从而保证了抽样方法的公平性。3.两种简单随机抽样方法：抽签法（抓阄法）；随机数法4.抽签法（抓阄法）步骤：一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本。【上述步骤可简写为：编号；制签：大小相同，形状一样，质地均匀；抽签：不透明容器，均匀搅拌；依号取样。】5.随机数法步骤：编号；随机确定开始数字；从选定的数开始读数；根据号码得到样本。6.随机数法就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。7.系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样。8.系统抽样的特点：适用于总体容量较大的情况；由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也称作等距抽样。在进行大规模的抽样调查时，系统抽样比简单随机抽样要方便；不放回抽样；等可能抽样。9.系统抽样步骤：一般地，假设要从容量为的总体中抽取容量为的样本，可以按下列步骤进行系统抽样：先将总体的个个体编号；确定分段间隔，对编号进行分段。当（是样本容量）是整数时，取；在第一段用简单随机抽样确定一个个体编号；按照一定的规则抽取样本。通常是将加上间隔得到第2个个体编号，再加得到第3个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本。10.分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样。11.分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；更充分的反映了总体的情况；等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性都是。12.三种抽样方法的比较：类 别共 同 点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的可能性相等从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成二、用样本估计总体1.两种估计方式：用样本的频率分布估计总体的分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征。2.分析数据的两种基本方法：作图【作图可以达到两个目的：从数据中提取信息；利用图形传递信息。】画表格【画表格可以达到的目的是：通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式】。3.频率分布直方图：在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示。各小长方形的面积的总和等于1【】。直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，是我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式。但直方图也丢失了一些信息，如原始数据不能在图中表示出来。4.频率分布折线图：连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。随着样本容量的增加，作图时所分的组数也增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精确地反映出总体在各个范围内取值的百分比。5.茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好。它不但可以保留原始数据，而且能够展示数据的分布情况，给数据的记录和表示都带来了方便。6.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。7.中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。8.平均数：如果有个数，那么叫做这个数的平均数。总体中所有个体的平均数叫做总体平均数；样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。【任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，平均数可以反映出更多关于样本数据全体的信息。】9.用频率分布直方图估计中位数和平均数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等；平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。10.标准差：考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示。11.方差：从数学的角度考虑，有时用标准差的平方方差代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具。12.补充：标准分：【是个人成绩；是整体平均分；是标准差。】在、中，为事件多发区；为事故必发区。三、变量间的相关关系1.相关关系：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系。2.正相关与负相关：从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系成为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系成为负相关。3.回归直线：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。4.回归直线方程：回归直线方程为。其中：是回归方程的斜率；是截距。 5.回归方法：由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归方法。6.最小二乘法：通过求的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。第三章 概率一、随机事件的概率1.必然事件：一般地，我们把在条件下，一定会发生的事件，叫做相对于条件的必然事件，简称必然事件。2.不可能事件：在条件下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件的不可能事件，简称不可能事件。3.确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件的确定事件，简称确定事件。4.随机事件：在条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件的随机事件，简称随机事件。5.事件：确定事件和随机事件统称为事件。一般用大写字母表示。6.频数与频率：在相同条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率。【由于发生的次数至少为0，至多为，因此频率总在0与1之间，即】7.概率：一般地，在次重复进行的试验中，事件发生的频率，当很大时，总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这是就把这个常数叫做事件的概率，记作。注意：频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率；频率本身是随机的，在试验前是不能确定的；概率是一个确定的常数，是客观存在的，与试验的次数无关。二、概率的意义1.概率的正确理解：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，具有偶然性，但当试验次数增大时，必然性的一面就表现出来了，这个必然性就是频率的稳定性。2.游戏的公平性：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，当大量重复这一过程时，随机中又含有着规律，因此利用概率知识可以判断一些游戏规则是否公平、公正。3.决策中的概率思想：知道时间的概率可以为人们作决策提供依据，概率是用来度量事件发生的可能性大小的量，小概率事件很少发生，而大概率事件则经常发生，利用概率思想进行决策时，极大似然估计法（简称极大似然法）【极大似然法：若面临从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法。】是重要的统计思想方法之一。4.天气预报的概率：概率天气预报是用概率值表示预报某种天气现象出现可能性的大小，它所提供的不是某种天气现象的“有”或“无”，某种气象要素值的“大”或“小”，而是天气现象出现的可能性有多大。三、概率的基本性质1.事件的关系与运算：对于事件与事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或称事件包含于事件），记作。如果事件发生，那么事件一定发生，反过来也对，这时我们说这两个事件相等，记作。一般地，若，那么称事件与事件相等，记作。若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作。若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件与事件的交事件（或积事件），记作。若为不可能事件，那么称事件与事件互斥，其含义是：事件与事件在任何一次试验中不会同时发生。若为不可能事件，为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生。即。2.概率的几个基本性质概率的取值范围：.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.记作当事件A与事件B互斥时，发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而的频率.由此得到概率的加法公式：特例：若与为对立事件，则.【注意：这里的常用表示】如果为互斥事件，那么如果，不是互斥事件，则四、古典概型1.基本事件：在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件成为基本事件。2.基本事件的特点：任何两个基本事件是互斥的；任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。3.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：试验中有可能出现的基本事件只有有限个每个基本事件出现的可能性相等古典概型的概率公式