2012中考数学专题复习--数与式.docx

教师讲义 年 级： 初三 辅导科目：数学 课 题2012中考专题复习数与式教学目标数与式是初中数学的基础知识,且知识点较多,是以大容量、小综合的形式命题,试题的难度为中低档,主要考查灵活运用知识的能力,一般考生都 能解答.常见题型有填空题、选择题、计算题以及部分开放性探索型试题,这些题占总题量的4%6%,分值占总分的4%8%. 重点、难点数与式的综合练习。教 学 内 容知识梳理：数与式一 实数和代数式的有关概念1.实数分类：实数2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。数轴上所有的点与全体实数是一一对应关系，即每个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 -2 -1 0 1 2 3.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两边（0除外），并且与原点的距离相等。 -2 -1 0 1 2 4.倒数：1除以一个数的商，叫做这个数的倒数。一般地，实数a的倒数为。0没有倒数。两个互为倒数的数之积为1.反之，若两个数之积为1，则这两个数必互为倒数。5.绝对值：一个正实数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负实数的绝对值等于它的相反数。=，绝对值的几何意义：数轴上表示一个数到原点的距离。6.实数大小的比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（1）正数大于零，零大于负数。（2）两正数相比较绝对值大的数大，绝对值小的数小。（3）两负数相比较绝对值大的数反而小，绝对值大小的数反而大。（4）对于任意两个实数a和b，ab,a=b,ab,这三种情况必有一种成立，而且只能有一种成立。7.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独的一个数或字母也是代数式。8.整式：单项式与多项式统称为整式。单项式：只含有数与字母乘积形式的代数式叫做单项式。一个数或一个字母也是单项式。单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。多项式：几个单项式的代数和多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。一个多项式有n项且次数是m，我们就称这个多项式为m次n项式。9.分式：一般地，用A,B表示两个整式，若B中含有字母，且B0，则式子叫做分式。10.有理式：整式和分式统称为有理式。11.无理式：根号里含有字母的代数式叫做无理式。12.=1（a0），=（a0，p是正整数）。13.平方根：若=a（a0），则x叫做a的平方根（或二次方根）。一个整数有两个平方根，它们互为相反数，整数a的平方根记为+和；0的平方根是0；负数没有平方根。若=a（a0），则x=。14.算术平方根：整数a的正的平方根+叫做a的算术平方根，+可简记为。0的算术平方根仍为0.15.立方根：若=a，则x叫做a的立方根（或三次方根），记为，即x=。正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。16.有理数的开方：=a（a0），=17.科学记数法：把一个数写成a（110，n是整数），叫做科学记数法。18.有效数字：从最左边的不是零的数字算起，到最后一位要保留的数字为止。19.运算律：（1）加法交换律：a+b=b+a。（2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。（3）乘法交换律：a*b=b*a。（4）乘法结合律：（a*b）*c=a*（b*c）。（5）乘法分配律：（a+b）*c=a*c+b*c。20.*=，=（a0），=，=*。21.平方差公式：（a+b）（a-b）=-完全平方公式：=+2ab+，=-2ab+22.十字相乘法：+bx+c=（x+m）（x+n）其中b=m+n，c=mn。23.最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。24.分式的加减法：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。（2）异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分式，然后相加减。25.分式的乘除法：（1）分式乘分式，用分子的积作为分子，分母的积作为分母。（2）分式除以分式，等于被除式乘除式的倒数。26.二次根式：形如（a0）的式子，叫做二次根式。27.二次根式的性质：(1) =a(a0);(2)= =(3)= (a0, b0);(4)=( a0, b0)。28.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。（1）被开方数的因数是整数，因式是整式。（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式。29.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。30.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。注意：分母有理化时，分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。经典例题解析：例1. 在 A. 1B. 2C. 3D. 4 分析：应当知道，只有无限不循环的小数才是无理数，有限小数0.80108，无限循环小 例2. 已知下列5个命题 （1）零是最小的实数 （2）数轴上所有的点都表示实数 （3）两个无理数的和仍然是无理数 （5）任何实数都有两个互为相反数的平方根 其中正确命题的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 分析：（1）要正确区分实数的最小值和实数绝对值最小值的意义 （2）要正确区分平方根和立方根的相同点和不同点 （3）“任何数”就意味着没有例外，因此若能举出一个反例便可证明原命题是假命题。 因此可以得出5个命题中只有（2）是真命题，故选A。 例3. 解： 注意：这是一个条件求值问题，利用非负数的性质可以求出x、y、z的值，从而使问题得解。 例4. 解： 归纳： 其中a0，P是正整数，在本题中， 例5. 的值为（ ） 解： 例6. 解： 归纳：对分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一成乘法，最后再进行约分化简。课堂练习：一、选择题： 1. 下列各组数中，相等的是_ A. 和1B. 和1 C. 和1D. 2. 设a，b为两实数，则下列命题中是假命题的是_ A. 若a+b=0，则|a|=|b| B. 若|a|+|b|=0，则a=b=0 C. 若a2+b2=0，则a=b=0 D. 若|a+b|=0，则a=b=0 3. 一天的时间共86400秒，用科学记数法表示应为_ A. B. C. D. 4. 如果2（x+3）的值与3（1x）的值互为相反数，那么x等于_ A. 9B. 2C. 3D. 4 5. 已知，（其中x0，m、n为正整数），则的值等于_ A. B. C. D. 6. 若a0，代简的结果正确的是_ A. 0B. 2aC. 2aD. 2a或2a 7. 化简的结果为： A. B. 2C. D. 8. 如果表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果等于_ A. 2aB. 2bC. 2aD. 2b 9. 已知的值等于_ A. 5或5B. 1或1C. 5或1D. 5或1 10. 数轴上表示的点到原点的距离是_ A. B. C. 2D. 2 11. 已知二次三项式分解因式为，则b、c的值为_ A. B. C. D. 12. 已知a+b=3，ab=1，则的值是_ A. 7B. 47C. 49D. 81 13. 将分解因式，结果正确的是_ A. B. C. D. 14. 已知xy B=C D无法比较大小三、解答题：1比较下列各组算式结果的大小（在横线上选填“”、“”、“”）：； ； ； 通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并说明你的理由2在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所已知青少年宫在学校东300米处，商场在学校西200米处，医院在学校东500米处若将马路近似地看作一条直线，以学校为为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示100米 （1）在数轴上表示出四家公共场所的位置； （2）列式计算青少年宫与商场之间的距离3某商店积压了100件某种商品，为使这批货物尽快脱手，该商店采取了如下销售方案，将价格提高到原来的2.5倍，再作三次降价处理：第一次降价30，标出“亏本价”；第二次降价30，标出“破产价”；第三次降价30，标出“跳楼价”三次降价处理销售结果如下表：降价次数一二三销售件数1040一抢而光 问：（1）跳楼价占原价的百分比是多少？ （2）该商店按新销售方案，相比原价全部售完，哪一种方案更盈利？4请你先化简下式，再选取一个使原式有意义，而你又喜爱的数代入求值 5阅读下列题目的计算过程： 1上述计算过程，从哪一步开始出现错误？请你写出该步的代号 ；2错误的原因是 ；3本题目正确的结论是 6设正整数N的位数为，的整数部分的位数为，观察下表中和之间的关系：N的整数部分119131210993913100999103124100099993199251000099999100316361000009999993169993试用式子表示和之间的关系7观察点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）在和后面的横线上分别写出相应的等式； 第7题 （2）通过猜想写出与第个点阵相对应的等式 8在公式中，当a分别取1，2，3，n时，可得下列n个等式： ， ， 将这个n等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式123n？请你将推导过程写出来【提高训练答案】一、13；28.5106；3y2.1x；4；5答案不唯一，如或2等；625；7答案不唯一，符合即可，如1，2，2，1等； 8；9 4x（4x或4x2或1）；102；11（xy2）（xy2）； 121；1313；14二、1B； 2C； 3D； 4B； 5C； 6C； 7A； 8B； 9B； 10C三、1，结论为（当ab时，等式成立），即（当ab时，等式成立）-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 东 (商场) (学校) (青少年宫) (医院)2（1）各公共场所的位置如图所示：（2）3（2）5（单位长度），青少年宫与商场之间的距离为5100500（米）3（1）设原价为x，则跳楼价为：2.5x0.70.70.70.8575 x，跳楼价占