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习题10-4 1. 设有一分布着质量的曲面S, 在点(x, y, z)处它的面密度为m(x, y, z), 用对面积的曲面积分表达这曲面对于x轴的转动惯量. 解. 假设m(x, y, z)在曲面S上连续, 应用元素法, 在曲面S上任意一点(x, y, z)处取包含该点的一直径很小的曲面块dS(它的面积也记做dS), 则对于x轴的转动惯量元素为 dIx=(y2+z2)m(x, y, z)dS, 对于x轴的转动惯量为 . 2. 按对面积的曲面积分的定义证明公式 , 其中S是由S1和S2组成的. 证明 划分S1为m部分, DS1, DS2, , DSm; 划分S2为n部分, DSm+1, DSm+2, , DSm+n , 则DS1, , DSm, DSm+1, , DSm+n为S的一个划分, 并且 . 令, , , 则当l0时, 有 . 3. 当S是xOy面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系？ 解 S的方程为z=0, (x, y)D, , 故 . 4. 计算曲面积分, 其中S为抛物面z=2-(x2+y2)在xOy面上方的部分, f(x, y, z)分别如下: (1) f(x, y, z)=1; 解 S: z=2-(x2+y2), Dxy: x2+y22, . 因此 . (2) f(x, y, z)=x2+y2; 解 S: z=2-(x2+y2), Dxy: x2+y22, . 因此 . (3) f(x, y, z)=3z. 解 S: z=2-(x2+y2), Dxy: x2+y22, . 因此 . 5. 计算, 其中S是: (1)锥面及平面z=1所围成的区域的整个边界曲面; 解 将S分解为S=S1+S2, 其中 S1: z=1 , D1: x2+y21, dS=dxdy; S1:, D2: x2+y21, . + . 提示: . (2)锥面z2=3(x2+y2)被平面z =0及z=3所截得的部分. 解 S:, Dxy: x2+y23, , 因而 . 提示: . 6. 计算下面对面积的曲面积分: (1), 其中S为平面在第一象限中的部分; 解 , , , . (2), 其中S为平面2x+2y+z=6在第一象限中的部分; 解 S: z=6-2x-2y, Dxy: 0y3-x, 0x3, , . (3), 其中S为球面x2+y2+z2=a2上zh (0ha )的部分; 解 S:, Dxy: x2+y2a2-h2, , (根据区域的对称性及函数的奇偶性). 提示: , (4), 其中S为锥面被x2+y2=2ax所截得的有限部分. 解 S: , Dxy: x2+y22ax, , . 提示: . 7. 求抛物面壳的质量, 此壳的面密度为m=z. 解 S: , Dxy: x2+y22, .故 . 8. 求面密度为m0的
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