2013届天津南开中学高三第四次月考理科数学试卷及答案.doc

天津南开中学2013届高三第四次月考数学试卷（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第卷本卷共8小题，每小题5分，共40分。一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. i是虚数单位，复数（ ）a. b. c. d. 2. 已知条件，条件，且是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）a. b. c. d. 3. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为25时，输出x的值为（ ）a. 1b. 1c. 3d. 94. 数列的前n项和为，则数列的前50项的和为（ ）a. 49b. 50c. 99d. 1005. 二项式的展开式中的常数项是（ ）a. 28b. 7c. 7d. 286. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）a. 向左平移个长度单位b. 向右平移个长度单位c. 向左平移个长度单位d. 向右平移个长度单位7. 平面向量与的夹角为，则（ ）a. b. c. 7d. 38. 设是定义在r上的周期函数，周期为，对都有，且当时，若在区间内关于x的方程0恰有3个不同的实根，则a的取值范围是（ ）a. （1，2）b. c. d. 第卷本卷共12小题，共110分。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9. 某校高中生共有2000人，其中高一年级560人，高二年级640人，高三年级800人，现采取分层抽样抽取容量为100的样本，那么高二年级应抽取的人数为 人。10. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为 。11. 已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为 。12. 已知双曲线的左右焦点为，p为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围是 。13. 如图所示，圆o是abc的外接圆，过点c的切线交ab的延长线于点d，cd，abbc3，则ac的长为 。14. 若不等式对任意都成立，则实数a取值范围是 。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15. （本小题13分）已知向量，函数（1）求函数的最小正周期t及单调减区间（2）已知分别是abc内角a，b，c的对边，其中a为锐角，且，求a，b和abc的面积s16. （本小题13分）张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个公交站，这四个公交站将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟，假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是（1）求张师傅此行时间不少于16分钟的概率（2）记张师傅此行所需时间为y分钟，求y的分布列和均值17. （本小题13分）如图，已知四棱锥eabcd的底面为菱形，且abc60，abec2，aebe（1）求证：平面eab平面abcd（2）求二面角aecd的余弦值18. （本小题13分）已知数列满足，（1）证明：数列是等比数列，并求出的通项公式（2）设数列的前n项和为，且对任意，有成立，求19. （本小题14分）设点p是曲线c：上的动点，点p到点（0，1）的距离和它到焦点f的距离之和的最小值为（1）求曲线c的方程（2）若点p的横坐标为1，过p作斜率为的直线交c与另一点q，交x轴于点m，过点q且与pq垂直的直线与c交于另一点n，问是否存在实数k，使得直线mn与曲线c相切？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。20. （本小题14分）已知函数的最小值为0，其中。（1）求a的值（2）若对任意的，有成立，求实数k的最小值（3）证明【试题答案】一、选择题1. b 2. c 3. c 4. a 5. c 6. a 7. a 8. d二、填空题9. 32 10. 11. 1112. 13. 14. 三、解答题15. 解：（1）所以，最小正周期为所以，单调减区间为（2），由得，解得故16. 解：（1） （2）记张师傅此行遇到红灯的次数为x，则，依题意，则y的分布列为y1516171819py的均值为17. 解：（1）证明：取ab的中点o，连接eo，coaeb为等腰直角三角形eoab，eo1又abbc，abc60，abc是等边三角形，又eo平面abcd，又eo平面eab，平面eab平面abcd（2）以ab的中点o为坐标原点，ob所在直线为y轴，oe所在直线为z轴，如图建系则，（0，2，0）设平面dce的法向量为，则，即，解得：同理求得平面eac的一个法向量为，所以二面角aecd的余弦值为18. 解：（1）由可得，是以2为首项，3为公比的等比数列（2）时，时，设则综上，19. 解：（1）依题意知，解得，所以曲线c的方程为（2）由题意设直线pq的方程为：，则点由，得，所以直线qn的方程为由，得所以直线mn的斜率为过点n的切线的斜率为所以，解得故存在实数k使命题成立。20. 解：（1）的定义域为，由，得，当x变化时，的变化情况如下表：x0极小值因此，在处取得最小值，故由题意，所以。（）解：当时，取，有，故不合题意。当时，令，即。，令，得1。（1）当时，在上恒成立，因此在上单调递减，从而对于任意