2015届广东省广州市高三冲刺高考查漏补缺文科数学试题及答案.doc

2015届广州市高三数学差缺补漏题（文科）1已知向量，函数（1）求函数的最大值，并写出相应的取值集合；（2）若，且，求的值解析： ：（1），当，即当时，；（2）由（1）得：，。，2. 已知函数（1）讨论函数在上的单调性；（2）设，且，求的值解析：（1）， 由得，当即时，递增；当即时，递减；当即时，递增综上，函数在区间、上递增，在区间上递减（2）由，即，得， 因为，所以，可得， 则 3. 在abc中，内角所对的边分别是，且满足：又.（1）求角a的大小； （2）若，求的面积解：（1）, 又 （2），即 ,又4. 设的内角a、b、c的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc （1） 求sina的值； （2）求的值解：（1）由余弦定理得又 （2）原式5某高中采取分层抽样的方法从应届高二学生中按照性别抽出20名学生作为样本，其选报文科理科的情况如下表所示性别科目男女文科25理科103（1）若在该样本中从报考文科的男生和报考理科的女生中随机地选出3人召开座谈会，试求3人中既有男生也有女生的概率；（2）用独立性检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？ （参考公式和数据：2（其中）解：（1）设报考文科的2名男生为 （2）2=4.433.841， 可知有95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关. 6某班同学利用寒假进行社会实践，对年龄在的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： （1）补全频率分布直方图，并求的值；（2）从年龄在的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在的概率.解析：（1）第二组的频率为，高为，补全频率分布直方图如下 第一组的人数为，频率为， 由题可知，第二组的频率为第二组的人数为， 第四组的频率为，第四组的人数为综上所述： （2）年龄在的“低碳族”与年龄在的“低碳族”的比值为采用分层抽样法抽取6人，岁的有人，岁的有2人设岁中的4人为，岁中的2人为，则选取2人作为领队的方法有，共15种 其中恰有1人年龄在 岁的有共8种 选取的2名领队中恰有1人年龄在岁的概率为 7某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录了6个抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图4.（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率.解析：(1)， ， 2， ， 甲车间的产品的重量相对较稳定 (2)从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法: ， 设表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，则的基本事件有4种: ，故所求概率为 8. 已知集合，设m=|,，在集合m内随机取出一个元素.（1）求以为坐标的点落在圆上的概率；（2）求以为坐标的点位于区域d：内（含边界）的概率.解：（1）集合m 的所有元素有(-2, -1)，(-2, 1)，(0, -1)，(0, 1)，(2, -1)，(2, 1)共6个记“以为坐标的点落在圆上”为事件a，则基本事件总数为6.因落在圆上的点有(0, -1)，(0, 1)2个，即a包含的基本事件数为， 所以 （2）记“以(x，y)为坐标的点位于区域d内”为事件b. 则基本事件总数为6.由右图知位于区域d内（含边界）的点有：(-2, -1)，(2, -1)，(0, -1)，(0, 1)共个，即b包含的基本事件数为4， 故. 9. 如图，四边形abcd为梯形，abcd，平面abcd， ，e为bc中点.（1）求证：平面平面pde；（2）线段pc上是否存在一点f，使pa/平面bdf？ 若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由.解析：（1）连结，所以，为中点，所以 ，又因为平面,所以，因为所以平面因为平面,所以平面平面（2）当点位于三分之一分点（靠近点）时, 平面连结交于点，,所以相似于又因为，所以，从而在中, 10分而，所以，而平面，平面所以平面10如图，在矩形中，点为边上的点，点为边的中点， ,现将沿边折至位置，且平面平面.（1）求证：平面平面；（2）求四棱锥的体积解析：（1）证明：在中,在中，,. 平面平面，且平面平面 平面,平面，平面平面. （2）解：过做,平面平面平面且平面平面， 平面,四棱锥的高. 则. 11已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形（1）证明：bn平面c1b1n； （2）求点解析：（1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.则 ,（2）由等体积法,则12. 如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面，且， （1）求证：平面；abcde（2）求凸多面体的体积证明：（1）平面，平面， 在正方形中，平面，平面（2）解法1：在中，abcdef过点作于点，平面，平面， ，平面，又正方形的面积， 故所求凸多面体的体积为 解法2：在中， abcde连接，则凸多面体分割为三棱锥和三棱锥 由（1）知，又，平面，平面，平面点到平面的距离为的长度 平面，故所求凸多面体的体积为13. 设等差数列的前项和为，满足：.递增的等比数列前项和为，满足：，（1）求、的通项公式（2）设数列对，均有成立，求解：由题意得，得则公差，则则是方程的两根，得又，则，则（2）两式相减得则又，则则14. 设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且恰好是等比数列的前三项（1）求数列、的通项公式； （2）记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围解：（1），当时，恒成立， 当时，是公差的等差数列. 构成等比数列，解得， 当时，由条件可知， 数列的通项公式为. ，数列的通项公式为 （2）， 对恒成立， 即对恒成立， 11分令，当时，当时， ， 15已知数列满足且。（1）求的值；（2）是否存在一个实数，使得且为等差数列？若存在，求出的值；如不存在，请说明理由；（3）求数列的前n项和解析：（1）当n=2时，当n=3时， （2）法一：当时， 要使为等差数列，则必须使, 即存在，使为等差数列 法二：利用，可得，再证明为等差数列.（3） 因为当时，为等差数列，且，所以 所以 所以 16已知数列中，（1）证明数列是等比数列；（2）若是数列的前n项和，求.解析：（1）设，则， 因为所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，即， 由，得， 所以， ， 17. 已知椭圆 经过点，且其离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆的右焦点，椭圆与y轴的正半轴相交于点b，经过点b的直线与椭圆相交于另一点a，且满足，求abf外接圆的方程.解：（1）因为椭圆经过点，所以.因为椭圆的离心率为，所以，即.联立解得，.所以椭圆的方程为.（2）由（1）得，椭圆的方程为，所以.设，则.因为，且，所以，即.联立解得，或，所以或.当为时，因为，所以abf的外接圆是以为圆心，1为半径的圆，此时外接圆的方程为.当为时，设abf的外接圆方程为，则解得此时外接圆的方程为.综上所述，abf的外接圆的方程为或.18已知圆，若椭圆的右顶点为圆m的圆心，离心率为（1）求椭圆c的方程；（2）已知直线，若直线与椭圆c分别交于a，b两点，与圆m分别交于g，h两点（其中点g在线段ab上），且，求的值解：（1）圆m的圆心为，则，故椭圆c的方程为（2）设，由直线与椭圆c交于两点a，b则 得所以，点m到直线的距离，则显然，若点h也在线段ab上，则由对称性可知，直线就是y轴，矛盾， 即， 解得，即19. 已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点（1）求椭圆的标准方程；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角，求直线的斜率的取值范围；（3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值解：（1）由题意得： 所以 又因为点在椭圆上，所以，可解得所以椭圆标准方程为 （2）设直线方程为，设、由得：， 因为，所以， 又， 因为为锐角，所以， 即，所以，所以 所以即，所以所以，解得或 （3）由题意：设点，,因为不在坐标轴上，所以直线的方程为化简得： 同理可得直线的方程为 把点的坐标代入、得所以直线的方程为， 令，得，令得，所以，又点在椭圆上，所以， 即为定值 20已知抛物线：的焦点为，点是直线与抛物线在第一象限的交点，且.（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线有唯一公共点，且直线与抛物线的准线交于点,试探究，在坐标平面内是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.（1）解法1： 点是直线与抛物线在第一象限的交点，设点 抛物线c的准线为，由结合抛物线的定义得 又点在抛物线c上， 由联立解得，所求抛物线的方程式为 解法2：点是直线与抛物线在第一象限的交点，设点 抛物线c的焦点为，由得即 又点在抛物线c上， 由联立解得，所求抛物线的方程式为 （2）解法1：由抛物线c关于轴对称可知，若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必在轴上，设 又设点，由直线与抛物线有唯一公共点知，直线与抛物线相切，由得， 直线的方程为 令得，点的坐标为， 点在以为直径的圆上， 要使方程对恒成立，必须有解得 在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为 解法2：设点，由与抛物线有唯一公共点知，直线与抛物线相切，由得， 直线的方程为 7分令得，点的坐标为 以为直径的圆方程为： 分别令和，由点在抛物线上得将的值分别代入得：联立解得或 在坐标平面内若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必为或将的坐标代入式得，左边=右边将的坐标代入式得，左边=不恒等于0 在坐标平面内是存在点，使得以为直径的圆恒过点，点坐标为为 21. 设函数(其中).(1) 当时,求函数的单调区间和极值；(2) 证明：当时，函数在上有且只有一个零点解: (1) 当k=1时, ,.当变化时,的变化如下表:减增增由表可知, f(x)的增区间(-,0), (ln2, +), 减区间为(0, ln2). 极大值为-1, 极小值为.(2) .当x1时, f(x)0, 所以f(x)在(-,1) 上无零点, 故只需证明f(x)在1, +)上有且只有一个零点.，若, 当x1时, , f(x)在1,+)上单调递增, ,所以f(x)在1,+)上有且只有一个零点.若, 则,f(1)=-k0, .令, .所以f(x)在1,+)上有且只有一个零点.综上得:f(x)在r上有且只有一个零点.22. 已知函数的图像在点处的切线与直线平行.（1）求a，b满足的关系式；（2）若上恒成立，求a的取值范围；（3）证明： （nn*）解：（1），根据题意，即.（2）由（）知，令，则，=当时， ，若，则，在减函数，所以，即在上恒不成立时，当时，在增函数，又，所以综上所述，所求的取值范围是.（3）由（2）知当时，在上恒成立取得令，得，即,所以上式中n=1，2，3，n，然后n个不等式相加得23. 已知函数有且只有一个零点.（1）求a的值；（2）若对任意的，有恒成立，求实数k的最小值；（3）设，对任意，证明：不等式恒成立.24. 已知函数. 求函数的单调增区间； 记函数的图象为曲线，设点是曲线上两个不同点，如果曲线上存在点，使得：；曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，请说明理由.解：（1）函数的定义域是. 由已知得，. 当时, 令,解得;函数在上单调递增 当时， 当时，即