2016年陕西省中考数学专题复习复习试题四.doc

复习说明：圆这部分内容在陕西省中考试卷中是必考内容之一。每年中考试题圆的考点为填空题3分，解答题8分，共11分。2016年考试说明中三套样题中选择题部分增加了对圆知识的3分考查，但是填空题均未出现与圆有关的题型，而是改为以四边形为背景来进行考查，第23题解答题8分依然存在。在这部分的复习中，应重视学生逻辑思维能力的培养和书写的规范性。与圆有关的解答题多是以证明、解答题出现，学生在这部分最容易逻辑混乱，次序颠倒，甚至书写随意。在复习中要注意随时纠正。圆专题复习一.选择题(2015湖南株洲,第6题3分)如图，圆o是abc的外接圆，a68，则obc的大小是( )a22b26c32d68【试题分析】本题考点为：通过圆心角boc2a136，再利用等腰三角形aoc求出obc的度数答案为：a2、（2015湖南省常德市，第6题3分）如图，四边形abcd为o的内接四边形，已知bod100，则bcd的度数为：a、50b、80c、100d、130【解答与分析】圆周角与圆心角的关系，及圆内接四边形的对角互补：答案为d3, （2015四川南充,第8题3分）如图，pa和pb是o的切线，点a和b是切点，ac是o的直径，已知p40，则acb的大小是（ ）（a）60 （b）65 （c）70 （d）75 【答案】c考点：切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质.4、（2015四川自贡,第9题4分）如图，是o的直径，弦,则阴影部分的面积为 （ ）a. b. c. d. 考点：圆的基本性质、垂径定理，勾股定理、扇形的面积公式、轴对称的性质等.分析：本题抓住圆的相关性质切入把阴影部分的面积转化到一个扇形中来求.根据圆是轴对称图形和垂径定理，利用题中条件可知是弦的中点,是弧的中点；此时解法有三：解法一，在弓形cbd中，被eb分开的上面空白部分和下面的阴影部分的面积是相等的，所以阴影部分的面积之和转化到扇形cob来求；解法二，连接od,易证，所以阴影部分的面积之和转化到扇形bod来求；解法三，阴影部分的面积之和是扇形cod的面积的一半.略解：是o的直径， 是弦的中点,是弧的中点（垂径定理） 在弓形cbd中，被eb分开的上下两部分的面积是相等的(轴对称的性质) 阴影部分的面积之和等于扇形cob的面积. 是弦的中点， , . 在rt中，根据勾股定理可知：即. 解得:;扇形cob = .即 阴影部分的面积之和为.故选d.5. （2015浙江滨州,第11题3分） 若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( )a. b. c. d.1【答案】b【解析】试题分析：如图，等腰直角三角形abc中，d为外接圆，可知d为ab的中点，因此ad=2，ab=2ad=4，根据勾股定理可求得ac=，根据内切圆可知四边形efcg是正方形，af=ad,因此ef=fc=acaf=2.故选b考点：三角形的外接圆与内切圆6、（2015湖南邵阳第7题3分）如图，四边形abcd内接于o，已知adc=140，则aoc的大小是（）a80b100c60d40考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理.分析：根据圆内接四边形的性质求得abc=40，利用圆周角定理，得aoc=2b=80解答：解：四边形abcd是o的内接四边形，abc+adc=180，abc=180140=40aoc=2abc=80故选b点评：此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出b的度数是解题关键7 , （2015上海,第6题4分）如图，已知在o中，ab是弦，半径ocab，垂足为点d，要使四边形oacb为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）a、adbd； b、odcd；c、cadcbd； d、ocaocb【答案】b【解析】因ocab，由垂径定理，知adbd，若odcd，则对角线互相垂直且平分，所以，oacb为菱形。8 .（2015湖北荆州第5题3分）如图，a，b，c是o上三点，acb=25，则bao的度数是（）a55b60c65d70考点：圆周角定理分析：连接ob，要求bao的度数，只要在等腰三角形oab中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得aob=50，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得解答：解：连接ob，acb=25，aob=225=50，由oa=ob，bao=abo，bao=（18050）=65故选c点评：本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键9 . （2015浙江杭州,第5题3分）圆内接四边形abcd中，已知a=70，则c=( )a. 20b. 30c. 70d. 110【答案】d【考点】圆内接四边形的性质. 【分析】圆内接四边形abcd中，已知a=70，根据圆内接四边形互补的性质，得c=110.故选d10. （2015浙江湖州，第8题3分）如图，以点o为圆心的两个圆中，大圆的弦ab切小圆于点c，oa交小圆于点d，若od=2， tanoab=，则ab的长是( )a. 4b. 2c. 8d. 4【答案】c. 考点：切线的性质定理；锐角三角函数；垂径定理.11. （2015浙江宁波，第8题4分）如图，o为abc的外接圆，a=72，则bco的度数为【 】a. 15 b. 18 c. 20 d. 28【答案】b.【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理.【分析】如答图，连接ob，a和boc是同圆中同弧所对的圆周角和圆心角，.a=72，boc=144.ob=oc，.故选b.12 . （2015山东威海，第9 题3分）如图，已知ab=ac=ad，cbd=2bdc，bac=44，则cad的度数为（）a68b88c90d112考点：圆周角定理.分析：如图，作辅助圆；首先运用圆周角定理证明cad=2cbd，bac=2bdc，结合已知条件cbd=2bdc，得到cad=2bac，即可解决问题解答：解：如图，ab=ac=ad，点b、c、d在以点a为圆心，以ab的长为半径的圆上；cbd=2bdc，cad=2cbd，bac=2bdc，cad=2bac，而bac=44，cad=88，故选b点评：该题主要考查了圆周角定理及其推论等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助圆，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论等几何知识点来分析、判断、推理或解答13（2015甘肃兰州,第9题，4分）如图，经过原点o的p与、轴分别交于a、b两点，点c是劣弧上一点，则acb=a. 80 b. 90 c. 100 d. 无法确定【 答 案 】b【考点解剖】本题考查了圆周角的相关知识点以及平面直角坐标系的概念【知识准备】在同一个圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；当圆周角为直角时，其所对的弦是直径。【解答过程】acb和aob都是p中同一条弧所对的圆周角，所以它们相等【归纳拓展】在其它类似题目中，我们有可能需要区分优弧和劣弧的不同；再换一种场合，如果连结ab，还有可能需要说明ab是直径，或者点p在ab上。【题目星级】14.（2015山东临沂,第8题3分）如图a，b，c是上的三个点，若，则等于（ ）(a) 50.(b) 80. (c) 100.(d) 130.【答案】d【解析】试题分析：根据圆周的度数为360，可知优弧ac的度数为360100=260，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得b=130.故选d考点：圆周角定理15(2015深圳，第9题 分)如图，ab为o直径，已知为dcb=20o,则dba为（ ）a、 b、 c、 d、【答案】d【解析】ab为o直径，所以，acb=90o，dbadca16(2015南宁，第11题3分)如图6，ab是o的直径，ab=8，点m在o上，mab=20,n是弧mb的中点,p是直径ab上的一动点，若mn=1，则pmn周长的最小值为（ ）. （a）4 （b）5 （c）6 （d）7图6考点：轴对称最短路线问题；圆周角定理.分析：作n关于ab的对称点n，连接mn，nn，on，on，由两点之间线段最短可知mn与ab的交点p即为pmn周长的最小时的点，根据n是弧mb的中点可知a=nob=mon=20，故可得出mon=60，故mon为等边三角形，由此可得出结论解答：解：作n关于ab的对称点n，连接mn，nn，on，onn关于ab的对称点n，mn与ab的交点p即为pmn周长的最小时的点，n是弧mb的中点，a=nob=mon=20，mon=60，mon为等边三角形，mn=om=4，pmn周长的最小值为4+1=5故选b点评：本题考查的是轴对称最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点17. （2015四川凉山州,第10题4分）如图，abc内接于o，obc=40，则a的度数为（ ）a80 b100 c110 d130【答案】d考点：圆周角定理18、 （2015四川泸州,第8题3分）如图，pa、pb分别与o相切于a、b两点，若c=65，则p的度数为 a. 65 b. 130 c. 50 d. 100 考点：切线的性质.分析：由pa与pb都为圆o的切线，利用切线的性质得到oa垂直于ap，ob垂直于bp，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知c的度数求出aob的度数，在四边形pabo中，根据四边形的内角和定理即可求出p的度数解答：解：pa、pb是o的切线，oaap，obbp，oap=obp=90，又aob=2c=130，则p=360（90+90+130）=50故选c点评：本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键19. （2015四川眉山，第11题3分）如图，o是abc的外接圆，aco=45，则b的度数为（）a30b35c40d45考点：圆周角定理.分析：先根据oa=oc，aco=45可得出oac=45，故可得出aoc的度数，再由圆周角定理即可得出结论解答：解：oa=oc，aco=45，oac=45，aoc=1804545=90，b=aoc=45故选d点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键20（2015甘肃武威,第8题3分）abc为o的内接三角形，若aoc=160，则abc的度数是（ ）a80b160c100d80或100 考点：圆周角定理分析：首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案abc的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得abc的度数解答：解：如图，aoc=160，abc=aoc=160=80，abc+abc=180，abc=180abc=18080=100abc的度数是：80或100故选d点评：此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解二.填空题1.（2015福建泉州第17题4分）在以o为圆心3cm为半径的圆周上，依次有a、b、c三个点，若四边形oabc为菱形，则该菱形的边长等于3cm；弦ac所对的弧长等于2或4cm解：连接ob和ac交于点d，四边形oabc为菱形，oa=ab=bc=oc，o半径为3cm，oa=oc=3cm，oa=ob，oab为等边三角形，aob=60，aoc=120，=2，优弧=4，故答案为3，2或42.（2015湖北鄂州第15题3分）已知点p是半径为1的o外一点，pa切o于点a，且pa=1， ab是o的弦，ab=，连接pb，则pb= 【答案】1或. 考点：1.垂径定理；2.圆的认识；3.切线的性质3, （2015上海,第17题4分）在矩形abcd中，ab5，bc12，点a在b上如果d与b相交，且点b在d内，那么d的半径长可以等于_(只需写出一个符合要求的数)【答案】15【解析】4(2015江苏南昌,第10题3分)如图，点a, b, c在o上，co的延长线交ab于点d,a=50,b=30则adc的度数为 .答案：解析：a=50, boc=100, bod=80, adc=bbod=30 80=1105(2015江苏南京,第15题3分)如图，在o的内接五边形abcde中，cad=35，则b+e= _ 【答案】215考点：圆内接四边形的性质6、（2015四川自贡,第13题4分）已知，是o的一条直径 ，延长至点，使,与o相切于点，若,则劣弧的长为 .考点：圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等.分析：本题劣弧的长关键是求出圆的半径和劣弧所对的圆心角的度数.在连接od后，根据切线的性质易知,圆的半径和圆心角的度数可以通过rt获得解决.略解：连接半径od.又与o相切于点 又 在rt 在rt根据勾股定理可知： 解得： 则劣弧的长为. 故应填 7. （2015四川省宜宾市，第14题，3分）如图，ab为o的直径，延长ab至点d，使bd=ob，dc切o于点c，点b是的中点，弦cf交ab于点f若o的半径为2，则cf= .8.（2015江苏泰州,第12题3分）如图，o的内接四边形abcd中，a=115，则bod等于_. 【答案】150. 考点：1.圆内接四边形的性质；2.圆周角定理.9.（2015江苏徐州,第15题3分）如图，ab是o的直径，弦cdab，垂足为e，连接ac若cab=22.5，cd=8cm，则o的半径为4 cm考点：垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理.专题：计算题分析：连接oc，如图所示，由直径ab垂直于cd，利用垂径定理得到e为cd的中点，即ce=de，由oa=oc，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形coe为等腰直角三角形，求出oc的长，即为圆的半径解答：解：连接oc，如图所示：ab是o的直径，弦cdab，ce=de=cd=4cm，oa=oc，a=oca=22.5，coe为aoc的外角，coe=45，coe为等腰直角三角形，oc=ce=4cm，故答案为：4点评：此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键10（2015四川甘孜、阿坝，第23题4分）如图，ab是o的直径，弦cd垂直平分半径oa，则abc的大小为30度考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理.分析：根据线段的特殊关系求角的大小，再运用圆周角定理求解解答：解：连接oc，弦cd垂直平分半径oa，oe=oc，ocd=30，aoc=60，abc=30故答案为：30点评：本题主要是利用直角三角形中特殊角的三角函数先求出oce=30，eoc=60然后再圆周角定理，从而求出abc=3011（2015四川广安，第12题3分）如图，a、b、c三点在o上，且aob=70，则c=35度考点：圆周角定理.分析：由a，b，c三点在o上，且aob=70，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案解答：解：aob=70，c=aob=35故答案为：35点评：此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是：熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半12（2015甘肃兰州,第20题，4分）已知abc的边bc=4cm，o是其外接圆，且半径也为4cm，则a的度数是_【 答 案 】30【考点解剖】本题考查同（等）弧所对圆周角和圆心角的关系，正三角形的性质【知识准备】在同圆或等圆中，圆周角等于同弧（等弧）所对圆心角的一半，在同一个三角形中相等的边所对的角也相等。【思路点拔】bc=半径，那么bc与对应的两条半径所构成的三角形就是等边三角形，这样，自然就将构造出的圆心角与目标中的圆周角建立起了联系。【解答过程】分别连结ob和oc，因为bc=ob=oc，所以o=60，则在o中，a=b=30.【题目星级】 三.解答题1.（2015山东威海，第22题9分）如图，在abc中，ab=ac，以ac为直径的o交ab于点d，交bc于点e（1）求证：be=ce；（2）若bd=2，be=3，求ac的长考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理.专题：证明题分析：（1）连结ae，如图，根据圆周角定理，由ac为o的直径得到aec=90，然后利用等腰三角形的性质即可得到be=ce；（2）连结de，如图，证明bedbac，然后利用相似比可计算出ab的长，从而得到ac的长解答：（1）证明：连结ae，如图，ac为o的直径，aec=90，aebc，而ab=ac，be=ce；（2）连结de，如图，be=ce=3，bc=6，bed=bac，而dbe=cba，bedbac，=，即=，ba=9，ac=ba=9点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形也考查了角平分线的性质和圆周角定理2（2015四川资阳,第22题9分）如图11，在abc中，bc是以ab为直径的o的切线，且o与ac相交于点d，e为bc的中点，连接de.（1）求证：de是o的切线；（2）连接ae，若c=45，求sincae的值.考点：切线的判定；勾股定理；解直角三角形.分析：（1）连接do，db，由圆周角定理就可以得出adb=90，可以得出cdb=90，根据e为bc的中点可以得出de=be，就有edb=ebd，od=ob可以得出odb=obd，由的等式的性质就可以得出ode=90就可以得出结论（2）作efcd于f，设ef=x，由c=45，得出cef、abc都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得be=ce=x，ab=bc=2x，ae=x，进而就可求得sincae的值解答：解：（1）连接od，bd，od=obodb=obdab是直径，adb=90，cdb=90e为bc的中点，de=be，edb=ebd，odb+edb=obd+ebd，即edo=ebobc是以ab为直径的o的切线，abbc，ebo=90，ode=90，de是o的切线；（2）作efcd于f，设ef=xc=45，cef、abc都是等腰直角三角形，cf=ef=x，be=ce=x，ab=bc=2x，在rtabe中，ae=x，sincae=点评：本题考查了圆周角定理的运用，直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，切线的判定定理的运用，勾股定理的运用，解答时正确添加辅助线是关键3, （2015浙江滨州,第21题9分） 如图,o的直径ab的长为10，弦ac的长为5，acb的平分线交o于点d.（1）求弧bc的长；（2）求弦bd的长.【答案】（1）（2）（2）连接od.cd平分acb，acd=bcd, aod=bod，ad=bd，bad=abd=45在rtabd中，bd=.考点:圆周角定理，解直角三角形，弧长公式4. （2015浙江杭州,第19题8分）如图1，o的半径为r(r0)，若点p在射线op上，满足opop=r2，则称点p是点p关于o的“反演点”，如图2，o的半径为4，点b在o上，boa=60，oa=8，若点a、b分别是点a，b关于o的反演点，求ab的长.【答案】解：o的半径为4，点a、b分别是点a，b关于o的反演点，点b在o上， oa=8，即.点b的反演点b与点b重合.如答图，设oa交o于点m，连接bm，om=ob，boa=60，obm是等边三角形.，bmom.在中，由勾股定理得.【考点】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理. 【分析】先根据定义求出，再作辅助线：连接点b与oa和o的交点m，由已知boa=60判定obm是等边三角形，从而在中，由勾股定理求得ab的长.5（2015广东省,第24题，9分）o是abc的外接圆，ab是直径，过的中点p作o的直径pg交弦bc于点d，连接ag， cp，pb.（1）如题图1；若d是线段op的中点，求bac的度数；（2）如题图2，在dg上取一点k，使dk=dp，连接ck，求证：四边形agkc是平行四边形；（3）如题图3，取cp的中点e，连接ed并延长ed交ab于点h，连接ph，求证：phab.【答案】解：（1）ab为o直径，点p是的中点，pgbc，即odb=90.d为op的中点，od=.cosbod=. bod=60.ab为o直径，acb=90. acb=odb.acpg. bac=bod=60.（2）证明：由（1）知，cd=bd，bdp=cdk，dk=dp，pdbcdk（sas）.ck=bp，opb=ckd.aog=bop，ag=bp. ag=ck.op=ob，opb=obp.又g=obp，agck.四边形agck是平行四边形.（3）证明：ce=pe，cd=bd，depb，即dhpb.g=opb，pbag. dhag. oag=ohd.oa=og，oag=g. odh=ohd. od=oh.又odb=hop，ob=op，obdhop（sas）.ohp=odb=90. phab.【考点】圆的综合题；圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；平行的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定.【分析】（1）一方面，由锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求出bod=60；另一方面，由证明acb=odb=90得到acpg，根据平行线的同位角相等的性质得到bac=bod=60.（2）一方面，证明通过证明全等并等腰三角形的性质得到ag=ck；另一方面，证明agck，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证.（3）通过应用sas证明obdhop而得到ohp=odb=90，即phab.6. （2015绵阳第22题，11分）如图，o是abc的内心，bo的延长线和abc的外接圆相交于点d，连接dc，da，oa，oc，四边形oadc为平行四边形（1）求证：boccda；（2）若ab=2，求阴影部分的面积考点：三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算.专题：计算题分析：（1）由于o是abc的内心，也是abc的外心，则可判断abc为等边三角形，所以aob=boc=aoc=120，bc=ac，再根据平行四边形的性质得adc=aoc=120，ad=oc，cd=oa=ob，则根据“sas”证明boccda；（2）作ohab于h，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到boh=30，根据垂径定理得到bh=ah=ab=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到bh=ah=ab=1，oh=bh=，ob=2oh=，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用s阴影部分=s扇形aobsaob进行计算即可解答：（1）证明：o是abc的内心，也是abc的外心，abc为等边三角形，aob=boc=aoc=120，bc=ac，四边形oadc为平行四边形，adc=aoc=120，ad=oc，cd=oa，ad=ob，在boc和cda中，boccda；（2）作ohab于h，如图，aob=120，oa=ob，boh=（180120）=30，ohab，bh=ah=ab=1，oh=bh=，ob=2oh=，s阴影部分=s扇形aobsaob=2=点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算7. （2015四川省内江市，第27题，12分）如图，在ace中，ca=ce，cae=30，o经过点c，且圆的直径ab在线段ae上（1）试说明ce是o的切线；（2）若ace中ae边上的高为h，试用含h的代数式表示o的直径ab；（3）设点d是线段ac上任意一点（不含端点），连接od，当cd+od的最小值为6时，求o的直径ab的长考点：圆的综合题；线段的性质：两点之间线段最短；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值.专题：综合题分析：（1）连接oc，如图1，要证ce是o的切线，只需证到oce=90即可；（2）过点c作chab于h，连接oc，如图2，在rtohc中运用三角函数即可解决问题；（3）作of平分aoc，交o于f，连接af、cf、df，如图3，易证四边形aocf是菱形，根据对称性可得df=do过点d作dhoc于h，易得dh=dc，从而有cd+od=dh+fd根据两点之间线段最短可得：当f、d、h三点共线时，dh+fd（即cd+od）最小，然后在rtohf中运用三角函数即可解决问题解答：解：（1）连接oc，如图1，ca=ce，cae=30，e=cae=30，coe=2a=60，oce=90，ce是o的切线；（2）过点c作chab于h，连接oc，如图2，由题可得ch=h在rtohc中，ch=ocsincoh，h=ocsin60=oc，oc=h，ab=2oc=h；（3）作of平分aoc，交o于f，连接af、cf、df，如图3，则aof=cof=aoc=（18060）=60oa=of=oc，aof、cof是等边三角形，af=ao=oc=fc，四边形aocf是菱形，根据对称性可得df=do过点d作dhoc于h，oa=oc，oca=oac=30，dh=dcsindch=dcsin30=dc，cd+od=dh+fd根据两点之间线段最短可得：当f、d、h三点共线时，dh+fd（即cd+od）最小，此时fh=ofsinfoh=of=6，则of=4，ab=2of=8当cd+od的最小值为6时，o的直径ab的长为8点评：本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，把cd+od转化为dh+fd是解决第（3）小题的关键8. （2015浙江省台州市，第22题）如图，四边形abcd内接于o，点e在对角线ac上，ec=bc=dc（1）若cbd=39，求bad的度数（2）求证：1=29. （2015呼和浩特，24，9分）(9分)如图，o是abc的外接圆，p是o外的一点，am是o的直径，pac=abc(1) 求证：pa是o的切线； (2) 连接pb与ac交于点d，与o交于点e，f为bd上的一点，若m为的中点，且dcf=p，求证： = = .考点分析：圆垂径定理、相切 相似三角形 逻辑推理逆推 解析：什么是逆推？就是在做几何证明题时，从要证的结论出发进行推导，即假定结论成立，将该结论作为已知条件进行推理，同时从题目中的已知条件出发推理，向中间过程中的某关键步骤靠拢。说过，在圆里证明直角有三种方法。方法一，假设该直角成立，且该直角由两个锐角组成，那么就去分别找与这两个角相等或互余的角，看看他们的关系；方法二，与一个直角是同位角或内错角的关系；方法三，用勾股逆定理算出来。先看第一问，首先你要在草稿纸上精确地把图画一遍，否则卷面的图一会就被你的尝试标花了。做圆的题目，有相切或证相切，马上先将切点或要证的切点连接到圆心；做圆的题目，有过直径的弦，马上把直角三角形画出来，连接了bm和mc。这两步在证相切时经常用到，因为前者需要一个包括两个锐角的直角，而后者能提供两个互余关系的锐角。从本题图上看，标的1既是要证直角中的一个锐角，也是rtacm中的一个锐角，很明显，我们找到思路了，继续往下走。下一步就是要看pac=amc？这个两个角离得还不近，通常做法是，我们继续寻找与这两个角分别相等或有互余关系的角。已知有一个：pac=abc，那么要看abc是否能等于amc？能相等吗？你能看出来吗？为什么？ 该第二问了。讲过，一般圆的题目中给出两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积（可能有两条是同一条）。或者给出线段的比值等于线段比值，基本上是相似问题，因为圆周角太容易相等了。如果出现的是乘积形式，就写比值形式，看他们处于那两个三角形中，这个就是解题思路，一般而言，呼市相似题目还没有出到需要倒腾线段或进行线段加减后才能参与相似线段比的运算。先看哪些线段的比， = = ，还有哪些新的已知条件，这些已知条件的加入能推导出什么结论，哪些结论对证明相似有利。m为的中点，什么意思？垂径定理，还是等弧对着的圆周角相等？不知道，的做法是两个结论都标到图上，然后装在心里，呵呵，不是埋在心底，那太深了，一会提不出来。等弧对着等角，但好像我们用不上这两个三角形，看看垂径定理。在考前重点突破讲过，两个等弦或两个等弧共一点，八成用垂径定理，没错，是八成，就是80%。如果没有从共点出发的直径，你一定给他搞一条，看看会有什么突破方向。本题，直径已经存在，就是am，垂径定理及其推论，你因该会。在图上早就标了垂足h。你先前已经证得amap，根据垂径定理的推论，唾手可得ambc，则两条直线同时垂直一条直线，则两条直线是平行，常说有平行出内错。在考前重点突破中中，如果在几何题中有平行，85%的情况是用内错角，10%的情况用同位角，5%是同旁内角，千万别瞧不起5%这个，有时候你在以算角为主的几何题中还真的不好绕过他。不管他是1和3的内错，还是pac和bca的内错，足以使bdc和pda相似，相似的目的只有一个，就是对应边长度比例相同，则有 = 。其实这道题目这个结论有点小损，应该把写在中间，我想出卷人故意写到最后的，这样会有些小思考，所以你需要更大的视野，尤其在圆的题目中。你的眼界有多大，世界就有多大！其实我们老百姓都是井底之蛙，只是井口大小不一样而已，但我们只要经营得好，照样是我们的一片天，一片地！曾刚哎，又拽文采、哲理了。其实就是想把数学教好，这就是的天，的地，你们的天和地呢？1=2这个条件还没有用上，先看看 = 涉及到的线段所在哪些成对的三角形中，如果你看不出来，也没办法，还是有的：重新画图后用红色笔将这个四根线段着重描一描，起码先看出个对顶角吧。好吧，先认为你能看出来，连接ae。不用说如果ade和cdb不相似，你倔死也写不出来 = 。已经有对顶角了，再找一对角，我们先看下aed和cfd，cfd不再圆周上，不好倒腾，先弃之！再看4和2，离得比较远，好在两个角都在圆周上，能倒腾！2=1，那么1等于什么？平行出内错呀，你找不到1的同位角和同旁内角，所以1=3，那么再看3是否能与4相等，一看，这个两个圆周角共弦，但图上没有连接ec，那我们是否需要把ec连接上呢？不用，这个两个圆周角共。证明：(1) 连接mc。 am为o直径 acm=90 amc+mac =90 又amc=abc abc+mac=90 又abc=pac pac+mac=90pam=90,即maap ap为o的切线.(2)连接ae.m为中点，am为o的直径ambc又amapapbcadpcdb （这里，用的是两条直线被一组平斜线所截，所得对应线段成比例，更为朴素、本质） = .ap/bccbe =p又cbe=caep=cae又p=dcfdcf=caeade=cdfadecdf = .综上，可证得： = = .10（2015广东广州,第23题12分）如图，ac是o的直径，点b在o上，acb=30（1）利用尺规作abc的平分线bd，交ac于点e，交o于点d，连接cd（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，求abe与cde的面积之比 考点：作图复杂作图；圆周角定理分析：（1）以点b为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角abc两边于点m，n；分别以点m，n为圆心，以大于mn的长度为半径画弧，两弧交于一点；作射线be交ac与e，交o于点d，则线段bd为abc的角平分线；（2）连接od，设o的半径为r，证得abedce，在rtacb中